竇海斌, 文國興

(1.濱州學院 機電工程學院， 山東 濱州 256600；2.濱州學院 理學院， 山東 濱州 256600)

引言

液壓作動系統(tǒng)在人們的生產和生活中有著廣泛的應用，常見的應用包括同步舉升系統(tǒng)[1]、大型客機的非相似冗余作動系統(tǒng)[2]以及負載模擬器[3]等，保證液壓作動系統(tǒng)能夠有效的工作是十分必要的。在液壓系統(tǒng)中常見的故障有4類，分別是：液壓泵失效，液壓泵和液壓執(zhí)行元件的泄漏，傳感器線路的老化和故障，油液污染[4]。本研究將液壓作動系統(tǒng)的傳感器故障作為研究對象，傳感器故障通常是一種慢變的故障，起始時往往不被注意并且通常會被系統(tǒng)的擾動所覆蓋，因此增加了故障檢測的難度。

目前雖然有一些學者對傳感器的故障檢測進行了研究但仍然有一些不足。比如所用的方法只允許一個故障發(fā)生，不能處理多故障的情況；對于非線性系統(tǒng)的傳感器故障而言，需要提前知道Lipschitz常數(shù)，而Lipschitz常數(shù)的獲得通常是比較難的，特別是對于液壓系統(tǒng)而言。以上問題限制了這些方法的應用，本研究提出了一種傳感器故障的檢測方法，能夠克服以上的缺陷。首先利用模型轉換實現(xiàn)了系統(tǒng)不確定項與傳感器故障的解耦，得到了2個子系統(tǒng)。針對2個子系統(tǒng)分別設計了滑模觀測器和Luenberger觀測器，利用滑模觀測器消除擾動，利用Luenberger觀測器使觀測器的評估誤差趨于0?；＠碚摫徽J為是一種有效的控制方法來處理系統(tǒng)的擾動問題。當該理論用于設計觀測器時，能夠保證偏差動態(tài)的軌跡保持在滑模面上而不受外部擾動的影響，從而保證了觀測器能夠可靠的觀測所需變量。Luenberger觀測器是一種傳統(tǒng)的觀測器，它的原理是根據(jù)系統(tǒng)的輸入和輸出關系建立觀測器模型，然后取觀測器的輸出與估計做比較，最終使得穩(wěn)態(tài)誤差為0來保證觀測器的穩(wěn)定。對于Luenberger觀測器的詳細介紹請參閱文獻[5]。

本研究的設計方法能夠實現(xiàn)多個傳感器故障的檢測，而不必假設每次只有一個故障發(fā)生；在Lipschitz常數(shù)未知的情況下能夠基于非線性模型實現(xiàn)傳感器故障的有效檢測。

1 液壓作動系統(tǒng)的建模與模型轉換

1.1 液壓系統(tǒng)建模

液壓系統(tǒng)如圖1所示，該系統(tǒng)主要包括了1個液壓缸和1個伺服閥。下面將針對該液壓作動系統(tǒng)進行數(shù)學建模。對于伺服閥而言，滑閥閥芯位移xv與控制輸入u相關，并且可以表示成一階模型的形式[6]：

圖1 液壓作動系統(tǒng)的原理圖

(1)

式中，τv——時間常數(shù)

kv——伺服閥增益

用qh表示負載流量，負載流量關于xv和負載壓力ph的表達式為[7]：

(2)

式中，Cd——伺服閥的流量系數(shù)

ω——伺服閥的閥口面積梯度

ps——供油壓力

壓力動態(tài)模型可表示為[3]：

(3)

式中，βe——油液彈性模量

Vt——液壓缸及其余伺服閥管路的總容積

A——活塞面積

Ctm——總的泄漏系數(shù)

xc——液壓缸的位移

ph——負載壓力

由作動器的受力可得：

(4)

式中，m——負載的質量

Bh——黏性摩擦系數(shù)

Ff——系統(tǒng)不確定性和擾動

聯(lián)合方程式(1)～式(4)得模型為：

其中，Δψ(t)=Ff。在不考慮傳感器故障時，模型的抽象形式為：

(5)

1.2 模型轉換

考慮傳感器故障的情況下，可得:

(6)

推論1：非線性項f(x,t)滿足Lipschitz條件為，該條件可通過文獻[8]獲得。

其中，Lf為Lipschitz常數(shù)并且假設為未知量。

假設1：函數(shù)Δψ(t)未知且有上界，即滿足||Δψ(t)||≤ρd。傳感器故障fs滿足||fs||≤ρs。

推論2：rank(E)=1,并且rank(CE)=rank(E)

推論2可通過簡單的計算獲得。如果推論2成立，則存在狀態(tài)和輸出轉換為：

(7)

其中，z1∈R1，z2∈R3×1，η1∈R1andη2∈R2×1， 并且:

其中,T∈R4×4，A11∈R1，A22∈R3×3。

其中，B1∈R1

其中，E1∈R1

其中，C11∈R1，C22∈R2×3，S∈R3×3

其中，D2∈R2×2。

利用T和S2個矩陣可將初始系統(tǒng)轉換為2個子系統(tǒng)式(8)和式(9)：

(8)

(9)

通過觀察式(8)和式(9)可得初始系統(tǒng)實現(xiàn)了傳感器故障和系統(tǒng)不確定性的完全解耦。下一步引入1個新的狀態(tài)。定義z3為：

(10)

對式(10)進行微分得：

(11)

利用式(9)和式(11)可得：

(12)

增廣系統(tǒng)式(12)可化成抽象形式為：

(13)

子系統(tǒng)式(8)可以寫為：

(14)

推論3：有非負實部復數(shù)s滿足下式：

(15)

其中，n=4。推論3為最小相位條件，可通過簡單的計算獲得。

引理1：如果推論3成立，則(A0,C0)可觀測，即存在矩陣L0∈R5×2使得A0-L0C0穩(wěn)定，并且對任意Q0>0以下方程：

(A0-L0C0)TP0+P0(A0-L0C0)=-Q0

(16)

有唯一解P0。引理1的證明可參考文獻[9]。

2 傳感器故障的檢測

基于子系統(tǒng)式(14)，滑模觀測器設計為：

(17)

(18)

(19)

其中，lk1是正常數(shù)。

對子系統(tǒng)式(13)，一種Luenberger觀測器設計為：

(20)

(21)

其中，lk2是正常數(shù)。聯(lián)立式(13)、式(14)、式(17)、式(20)得誤差動態(tài)方程為：

(22)

(23)

(24)

證明：構造Lyapunov函數(shù)：

V(t)=V1(t)+V0(t)+V2(t)+V3(t)

由推論1可得：

Lf||T-1|||e0||

通過一個簡單的計算可得：

其中，Lf1=||T1||Lf，Lf2=||T2||Lf。

對V1(t)求微分可得：

(25)

使用不等式2XTY≤(1/α)XTX+αYTY，其中α>0，于是可得：

(26)

(27)

(28)

對V0(t)求時間微分可得：

(29)

使用不等式2XTY≤(1/α)XTX+αYTY，則得到：

(30)

(31)

其中，V2(t)的時間微分為：

(32)

其中，V3的時間微分為：

(33)

使用式(28)、式(31)、式(32)和式(33)可得：

(34)

不等式(34)暗示了評估誤差e1和e0能夠漸進收斂到0。

證畢。

推論4：如果l1滿足如下要求：

l1≥(||A2||+Lf1||T-1||)||e0||+γ1

(35)

其中，γ1為一個正的標量。

則誤差動態(tài)式(22)能夠到達滑模面：

S={(e1,e0)|e1=0}

證明：構造Lyapunov函數(shù):

對V1進行時間微分可得：

(36)

由式(36)可得：

(37)

由式(37)可得到達條件是滿足的[10]。

證畢。

如果在模型中考慮了傳感器故障，則式(22)和式(23)變?yōu)椋?/p>

(38)

(39)

3 仿真

為了驗證提出方法的有效性，以液壓系統(tǒng)為例進行仿真。仿真參數(shù)[11-13]如表1所示。

表1 仿真參數(shù)[11-13]

在仿真過程中假設只有液壓缸的位移和液壓缸的負載壓力是被測量。位置傳感器故障用fs1表示，壓力傳感器故障用fs2表示。系統(tǒng)的不確定性假設為Δψ=100+200sin(πt)N。轉換矩陣設計為：

不等式(24)可轉換為以下線性矩陣不等式的可行性問題，即存在矩陣P1>0,P01>0,P02>0,X,Y01,Y02使以下的不等式成立：

(40)

利用MATLAB的LMI工具箱解線性不等式(40)可得:

下面通過2個例子來驗證提出方法的有效性。

示例1：假設位置傳感器故障為：

假設壓力傳感器沒有故障，即fs2=0,?t。仿真曲線如圖2所示。通過圖2可知當傳感器故障未發(fā)生時殘差為0，一旦位置傳感器故障發(fā)生，殘差偏離0。當該殘差超過閾值0.4時可得至少有1個傳感器故障發(fā)生，傳感器故障被成功檢測到。

圖2 示例1殘差曲線

示例2：位置傳感器故障和壓力傳感器故障分別假設為：

仿真曲線如圖3所示。

圖3 示例2殘差曲線

通過圖3可得殘差曲線在10 s和15 s時偏離0，當殘差超過0.4時說明故障發(fā)生，所以本研究提出的方法能夠有效的檢測多個傳感器故障。

此外，仿真中所使用的閾值通過多次調試獲得，因此需要提前獲知故障的相關參數(shù)。如圖2和圖3所示，在初始階段由于初值選擇問題使殘差超過了給定的閾值，從而會導致虛警的發(fā)生。為解決該問題可令系統(tǒng)開機一定時間之后再啟動故障檢測系統(tǒng)，通過一定的延時跳過虛警階段，保證故障檢測系統(tǒng)可靠的工作。

4 結論

針對液壓作動系統(tǒng)的傳感器故障檢測開展研究工作。首先將液壓初始模型分解為2個解耦的子模型，其中一個子模型只含系統(tǒng)的不確定性而另一個子模型只含傳感器故障。針對這2個子模型分別設計了滑模觀測器和Luenberger觀測器。最后通過仿真驗證了提出方法的有效性。