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        ANA 誤差下非參數(shù)回歸模型中估計(jì)量的相合性

        2020-10-16 02:10:02何其慧

        何其慧

        考慮如下非參數(shù)回歸模型:

        其中:xni為緊集A?Rp上的固定設(shè)計(jì)點(diǎn)列,g為A上待估的回歸函數(shù),εni,1 ≤i≤n,n≥1為隨機(jī)誤差.考慮如下關(guān)于g的線性加權(quán)估計(jì):

        其中:Wni(x) =Wni(x;xn1,xn2,…,xnn),i= 1,2,…,n為權(quán)函數(shù).

        上面的估計(jì)量(2)最早由Georgiev[1]提出.由于其廣泛的適用性,很多學(xué)者都對(duì)此估計(jì)量進(jìn)行了深入的研究,如文獻(xiàn)[2-8].由于獨(dú)立假設(shè)的不合理性,近些年來很多學(xué)者都將獨(dú)立場合下經(jīng)典的極限理論和統(tǒng)計(jì)大樣本理論推廣到各種相依情形.本文將在一類非常寬泛的相依結(jié)構(gòu)——漸近負(fù)相協(xié)(ANA)誤差下繼續(xù)研究估計(jì)量(2)的相合性.ANA(或ρ--混合)隨機(jī)變量的概念是由文獻(xiàn)[9]提出的.

        定義混合系數(shù)如下:

        其中? 是非降函數(shù)的集合.若混合系數(shù)

        本文引用如下一些記號(hào):C代表正的常數(shù),在不同的地方可以取不同的值,I(A)為事件A的示性函數(shù),[x]表示不超過x的最大整數(shù),a+=aI(a≥0)且a-= -aI(a< 0).

        1 預(yù)備知識(shí)

        下面介紹關(guān)于隨機(jī)控制的概念.

        定 義1[9]若存在常數(shù)C,使得對(duì)所有的x≥0及n≥1,都有

        則稱隨機(jī)變量序列{ }Xn,n≥1 被隨機(jī)變量X隨機(jī)控制.

        為證明本文的主要結(jié)果,還需要下述幾個(gè)重要引理.

        引 理1[9]設(shè)隨機(jī)變量{Xn,n≥1}為ANA的.若為單調(diào)非降(或非增)函數(shù)序列,那么仍為ANA 的,且其控制系數(shù)不大于ρ-(n).

        引 理2[12]假設(shè)為均值是0 的ANA 隨機(jī)序列且存在p≥2,使得則存在僅依賴于p及的常數(shù)C,使得

        由引理2 及文獻(xiàn)[13]中定理2.1 的方法,可得到如下關(guān)于ANA 隨機(jī)變量的Marcinkiewicz-Zygmund 型矩不等式.

        引 理3[13]假 設(shè){Xn,n≥1}為均值是0 的ANA 隨機(jī)序列且存在1

        引 理4[14]假 設(shè)是被隨機(jī)變量X隨機(jī)控制的隨機(jī)序列,則對(duì)任意的a> 0,b>0 及n≥1,都有

        其中:C1和C2代表不同的正常數(shù).

        2 主要結(jié)果

        在給出主要結(jié)果之前,需要列舉下列3 個(gè)基本條件:

        基于以上條件,可以建立如下關(guān)于ANA誤差下估計(jì)量(2)的完全相合性的結(jié)果.

        定理 1 假設(shè)條件①~③成立 .為均值是0 的ANA 隨機(jī)誤差陣列且被隨機(jī)變量ε隨機(jī)控制,若存在s> 0,使得且

        則對(duì)g(x)的所有連續(xù)點(diǎn)x與任意的δ> 0 都有

        進(jìn)而有

        證明 類似文獻(xiàn)[6]中(4.3)式的證明,可以由條件①~③推出

        因此,由式(5)知只需證明對(duì)任意的δ> 0,

        由引理1 可知{Xni,1≤i≤n,n≥1}仍然為ANA 隨機(jī)變量陣列.因此式(6)可分解為

        下面將證明I<∞及J<∞.

        由條件①、E|ε|1+1/s<∞及引理4,可得

        下面證明J<∞.首先證明當(dāng)n→∞時(shí),

        事實(shí)上,由Eεni= 0,Wni(x) ≤n-s,以及引理4可得

        因此,當(dāng)n充分大時(shí)故由Markov 不 等 式、引 理2、Cr不等式及Jensen 不等式可得對(duì)p> max{2,2/s,1+1/s},

        由Cr不等式,定義1 及引理4 可知

        由I<∞的證明可得

        而對(duì)于J11,可將其分解為

        同樣由I<∞的證明可得此外由可得

        最后來證明J2<∞.注意到由Cr不等式及引理4 可得

        而若0

        從而式(3)得證.式(4)可由式(3)及由Borel-Cantelli 引理立即得到.

        注1:文獻(xiàn)[6]在-混合誤差下建立了估計(jì)量(2)的完全相合性的結(jié)果,而本文則是在較-混合更加寬泛的ANA 誤差下建立的,因此具有更廣泛的適用性.此外定理1 的證明和文獻(xiàn)[6]的證明是有很大不同的,事實(shí)上,定理1 的證明要簡單的多.

        下面給出定理1 在最近鄰估計(jì)中的應(yīng)用.不 失 一 般 性,取A= [0,1],xni=i/n,1 ≤i≤n.對(duì)任意的x∈A,將|xn1-x|,|xn2-x|,…,|xnn-x|重新排序如下:

        其中,若存在i

        從而模型(1)中關(guān)于函數(shù)g的最近鄰估計(jì)可定義如下:

        基于以上論述,下面給出關(guān)于模型(1)中最近鄰估計(jì)量的完全相合性的結(jié)果.

        定理2 假設(shè){εni,1≤i≤n,n≥1}為均值是0 的ANA 隨機(jī)誤差陣列且被隨機(jī)變量ε隨機(jī)控制. 若存在0 0 都有

        進(jìn)而有

        證明 由定理1 可知,只需驗(yàn)證W~ni(x)滿足條件(H1)~(H3).由于g(x)在緊集A上連續(xù),故在A上必有界,記為對(duì) 任 意的x∈A,由的定義可知

        及?a> 0,有

        證明 由Cr不等式可得

        故由式(5),為了證明式(8),下面只需證明

        不失一般性,仍然假設(shè)Wni(x) ≥0,從而仍然為均值是0 的ANA 隨機(jī)誤差陣列.若1

        而若r> 2,由引理2 可得

        注2:文獻(xiàn)[5]在誤差為線性過程下建立了估計(jì)量(2)的矩相合性的結(jié)果.在其結(jié)果中要求存在r≥2,使得且而 定 理3 中 將r的 范 圍 由r≥2 改進(jìn)到r> 1.

        3 結(jié)語

        本文主要利用關(guān)于ANA 序列的Rosenthal-型矩不等式,建立了ANA 誤差下非參數(shù)回歸模型中加權(quán)估計(jì)量的完全相合性,其結(jié)果推廣改進(jìn)了WANG 等人關(guān)于-混合誤差下的相應(yīng)結(jié)果.作為應(yīng)用,還得到了ANA 誤差下最近鄰估計(jì)量的完全相合性.此外,利用ANA序列的Marcinkiewicz-Zygmund 型矩不等式,進(jìn)一步得到了加權(quán)估計(jì)量的矩相合性,所得結(jié)果改進(jìn)了胡舒合等人所得結(jié)果中的矩條件.

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