莫邦哲 李基磊

【摘?要】知性是素養(yǎng)的主要成分，知性對核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重要的作用。在教學中，教師重視直觀的設計，讓學生對知識的理解始于直觀，經(jīng)歷概念的感性直觀、理性直觀、感性與理性相統(tǒng)一的過程，幫助學生從具體對象的問題解決過程中掌握解決單元問題的基本方法，在運用基本方法解決基本問題的過程中建立模型直觀，領悟數(shù)學思想方法，培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】知性;素養(yǎng);直觀;等差數(shù)列

【作者簡介】莫邦哲，正高級教師，廣西特級教師，廣西八桂教育家搖籃工程學員，廣西師范大學基礎教育研究院兼職研究員;李基磊，一級教師。

【基金項目】廣西“十三五”規(guī)劃2019年度課題“新時代西部示范性高中卓越課程建設研究——以柳州鐵一中學為例”（2019C292）

人的生命，作為一種有意識的存在，屬于能知者的王國[1]。如果把我們心靈的接受力——心靈在任何方式中被刺激時接受表象的能力叫做感性，那么，相反，心靈從其自身產(chǎn)生表象的能力，即認識的主動性，則被稱為知性[2] 。知性又是教養(yǎng)中的主要成分[3]?？梢?，知性對核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有著重要的作用。在教學實踐中，如果教師過于重視學生的感性體驗而缺乏對感性體驗的理性認識，就會使學生的學習局限于經(jīng)驗的層面而難以形成理性的思維。同樣地，如果過于重視理性的思維活動而缺乏對知識的感性體驗，學習就會顯得功利而壓抑人性?？档掳阎R分為概念和直觀兩種成分，只有概念而沒有與之相對應的直觀，或者只有直觀而沒有概念，都不能產(chǎn)生知識?？梢?，以知性為導向的教學設計，對于學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有著重要的意義。但是以知性為導向，立足于核心素養(yǎng)的復習課程如何設計？基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的復習設計與以能力立意的復習設計有何不同？知性和直觀對基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的復習設計有何作用？筆者以“求等差數(shù)列通項公式”的高考復習設計為例，從知性的角度進行分析。

一、教學分析

數(shù)列是高考的一個重要考點，而求數(shù)列的通項公式是數(shù)列的基本問題之一。為了幫助學生解決求等差數(shù)列的通項公式，復習鞏固等差數(shù)列的概念，很多教師常以如下題組（以下簡稱“變式題組”）為藍本展開復習。

這是典型的以能力立意的復習設計，其典型性表現(xiàn)在兩個方面：一是分類，以知識模塊的單元問題（基本問題）為分類對象，把核心概念隱藏在具體問題中;二是訓練，把思想方法與單元問題（基本問題）相聯(lián)系。上文7道題都以求an這一單元問題為主題進行教學設計，力求突出常見題型變形構(gòu)造的方法， 強調(diào)單元問題的一般性和方法性。這種以能力要求為目標，按單元問題分類進行訓練的教學設計，對于學生的能力培養(yǎng)有促進作用，但是也存在概念與概念直觀分離的弊端。分類方法雖然突出了目標要求和學科框架問題，但是容易忽略具體問題情境豐富的感性直觀，以及這些感性直觀對勾勒概念本質(zhì)的支撐作用，造成在邁向理性的過程中缺失了感性直觀的支持;解題訓練過程把思想方法與單元問題（基本問題）進行聯(lián)系，雖然突出了知識的表征和方法分類，但是沒有體現(xiàn)出在不同情境中核心概念的運用。知識的表征和對應的處理方法是在具體情境中動態(tài)生成的，條塊式的訓練會剝離理性直觀與感性直觀的思辨聯(lián)系，造成概念直觀的缺失?？梢?，能力立意造成概念與概念直觀分離的原因是對情境設計重視不夠。以核心素養(yǎng)為導向的高考非常重視情境的設計，我們從高考對數(shù)列的考查要求可見一斑：能利用等差（比）數(shù)列的公式、性質(zhì)，簡化運算，進行推理;能將等差（比）數(shù)列的定義式或前n項和公式經(jīng)運算變?yōu)橐粋€遞推關系式，通過數(shù)列的基本運算和變形，求通項公式、項數(shù)、參數(shù)的值，以及數(shù)列求和等。高考是從運算的角度把等差（比）作為數(shù)列的結(jié)構(gòu)關系來分析，賦予情境豐富的對象意識、關系意識以及關聯(lián)能力，在具體的情境中分析出概念所依托的對象，通過對象呈現(xiàn)概念的直觀，抽象出問題的本質(zhì)，再推廣到更一般的情形，成為更高一級抽象的感性直觀對象?？梢?，以核心素養(yǎng)為立意的教學設計，是依托對象的情境展開思辨的，而不是依托問題的解決展開思辨。因此，在教學設計中，教師應突出知性的作用，重視直觀的設計。教師不僅要重視感性直觀的設計，以目標數(shù)列引導變形，勾勒知識的直觀畫像，幫助學生掌握解題技巧，還要重視理性直觀的設計，通過變式訓練幫助學生掌握解決單元問題的基本方法，通過提煉數(shù)學模型，感悟數(shù)學思想方法，培育數(shù)學核心素養(yǎng)。

二、以素養(yǎng)為導向，直觀為基礎的教學設計

（一）以變形設計作感性直觀，聚焦知識畫像的描繪

直觀是知識的畫像，重視知識的直觀性，可以防止概念的對象與概念分離，有利于學生對概念本質(zhì)的認識。高考把等差（比）作為一種關系來考查，因此，在高考復習中，教師應聚焦這種關系的直觀，培養(yǎng)學生的關系意識，幫助學生在畫像的過程中掌握必要的學習技能，并設計以下變形題組。

變形是一種創(chuàng)造性直觀，只有創(chuàng)造性直觀才是自我通向理智的第一步[4]。與求通項公式的變式題組相比，變形題組以求證的等差數(shù)列為目標數(shù)列，勾勒遞推式中隱含的等差關系，為等差畫像，直觀地呈現(xiàn)遞推關系中的等差關系，變靜態(tài)的概念理解為動態(tài)的關系畫像，幫助學生理解不同形式中所蘊含的等差關系，完成對等差數(shù)列這一概念從對象到關系的抽象，實現(xiàn)概念形式與本質(zhì)的統(tǒng)一，為解決數(shù)列求通項公式、求和奠定知識和方法的基礎。

（二）以變式設計作理性直觀，聚焦思維方法的感悟

我們的一切知識都從經(jīng)驗開始，這是不容置疑的[2]。知性是產(chǎn)生概念的能力，用概念統(tǒng)攝感性的具體。在直觀的基礎上實現(xiàn)對感性的抽象，必然要經(jīng)過邏輯的思辨和實踐的生成，而變式是實現(xiàn)這一目標的有效手段。因此，在完成變形題組后，筆者呈現(xiàn)變式題組。變式題組把問題從目標數(shù)列的證明凝聚為求數(shù)列通項公式這一基本問題，把變形的技巧提升為化歸與轉(zhuǎn)換的思想方法，實現(xiàn)從知識、技能到思想方法的深化。學生在完成變式題組后，筆者又增設了以下四道變式練習，強化思辨和實踐的生成，營造思想方法創(chuàng)生的情境，培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

變式練習是訓練學生思辨能力的有效策略，能幫助學生從對象的意識上升到關系的思維意識，再發(fā)展關聯(lián)能力，從而感悟思維方法。練習2強化從遞推關系中尋找等差（比）關系的意識，鞏固通過變形分析出具有等差（比）關系的目標對象的能力。練習3把等差的直觀通過變式平行地推廣到等比的情形，以等比的直觀強化對等差的理解，培養(yǎng)學生的關系思維。練習3和練習4以靈活、思辨的方式強化對等差概念本質(zhì)的理解，向?qū)W生滲透形式與本質(zhì)和諧統(tǒng)一的數(shù)學觀念，培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

（三）以模型設計作抽象直觀，聚焦核心素養(yǎng)的提升

知性是理性實現(xiàn)的基礎，沒有抽象、普遍意義的知性，理性就是虛無，就是形式;不上升到理性，知性只不過是人類認識的化石，就會束縛人的思維。從對象出發(fā)、從關系入手，教師通過構(gòu)建模型，在幫助學生掌握學習技能的同時，使學生感悟數(shù)學的思想方法，建立認知的思維模式，形成普遍性和必然性的概念、規(guī)則知識，達到理性認識。沒有模型的直觀，學生的學習就會被具體的內(nèi)容和方法所束縛。因此，重視模型的直觀抽象能力，有利于學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。在復習等比數(shù)列之后，教師引導學生從關系的結(jié)構(gòu)進行分析，建立認知模型，深化對等差（比）數(shù)列的認識。

第一步：設計“模樣”

從結(jié)構(gòu)來看，等差（比）數(shù)列的定義具有線性的特征，可化歸為等差（比）數(shù)列的問題，也可以轉(zhuǎn)化為線性形式的問題來解決，問題“模樣”如下。

第二步：揭示“模法”

第三步：提煉模型

具有線性的形式，或者可化為線性形式的數(shù)列，都可以運用待定系數(shù)法來求解。按次數(shù)分類，上述8個“模樣”可分為3種基本模型。

模型的構(gòu)建從結(jié)構(gòu)的角度來解剖等差（比）數(shù)列，讓學生對等差（比）的認識從形式的定義深入到運算結(jié)構(gòu)與關系的構(gòu)建，揭示出等差（比）的運算屬性，突出等差（比）在數(shù)列中的地位，有利于學生形成數(shù)列問題解決的認知策略，實現(xiàn)從感性到理性的升華。

三、結(jié)語

從知識的學習到核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，知性在其中起到重要的作用。直觀是知識的畫像，通過變形設計呈現(xiàn)概念的感性直觀，通過變式設計抽象出概念的理性直觀，再通過模型設計實現(xiàn)感性直觀與理性直觀的和諧統(tǒng)一。重視直觀的設計，讓學生對知識的理解始于直觀，經(jīng)歷概念的感性直觀、理性直觀、感性與理性相統(tǒng)一的過程，幫助學生從具體對象的問題解決過程中掌握解決單元問題的基本方法，在運用基本方法解決基本問題的過程中建立模型直觀，領悟數(shù)學思想方法，培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

（注：本文系廣西八桂教育家搖籃工程系列成果之一）

參考文獻：

[1]雅斯貝斯.時代的精神狀況[M].王德峰，譯.上海：上海譯文出版社，1997.

[2]康德.純粹理性批判[M].藍公武，譯.上海：生活·讀書·新知三聯(lián)書店，1957.

[3]黑格爾.小邏輯[M].賀麟，譯.北京：商務印書館，2003.

[4]謝林.先驗唯心論體系[M].梁志學，石泉，譯.北京：商務印書館，1976.

（責任編輯：陸順演）