唐 歆 龔曉峰 雒瑞森

(四川大學(xué)電氣工程學(xué)院 四川 成都 610065)

0 引 言

空間譜估計(jì)是一種在時(shí)域譜估計(jì)、自適應(yīng)陣列信號處理的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的空域陣列信號處理技術(shù)，其原理是用傳感器陣列中各個(gè)傳感器陣元在空間中不同位置點(diǎn)之間的關(guān)系，再結(jié)合具體算法去估計(jì)空間信號的參數(shù)。多信號分類(Multiple Signal Classification,MUSIC)[1]算法則是在工程中被廣泛使用的一種特征結(jié)構(gòu)類算法，它利用接收信號協(xié)方差矩陣分解的兩個(gè)子空間的正交特性來求解信號來波方向，相比傳統(tǒng)的常規(guī)Bartlett波束形成方法有更好的角度分辨力。

特征結(jié)構(gòu)類算法首先需要獲取接收信號的協(xié)方差矩陣，一般的方法是一個(gè)陣元對應(yīng)一個(gè)接收通道進(jìn)行信號的輸出。文獻(xiàn)[2-4]利用權(quán)微擾算法，降低了對接收通道數(shù)量的依賴程度，簡化了空間譜測向的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。與此同時(shí)，對于實(shí)際天線陣列與理想陣列間的幅相差異造成的空間譜估計(jì)誤差問題，文獻(xiàn)[5-6]從不同情形下提出了對于陣列誤差的有源校正方法，但其基于迭代算法的思想使得算法復(fù)雜度較高。本文提出了一種簡易的陣列幅相誤差有源校正方法，并將其應(yīng)用在雙通道空間譜測向結(jié)構(gòu)中，最后通過實(shí)驗(yàn)得出該實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)下校正方法的仿真結(jié)果。

1 系統(tǒng)模型及問題描述

假設(shè)存在M陣元的無耦合理想天線陣列，同時(shí)有N個(gè)遠(yuǎn)場非相干窄帶信號sn(t)(n=1,2,…,N)被陣列接收，其入射水平角度為θn。天線陣列輸出信號表達(dá)式為[1]：

或表示為：

X(t)=A·S(t)+N(t)

(1)

由式(1)得到天線陣列輸出協(xié)方差矩陣為:

(2)

對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，在輸入非相干信號的情況下，得到M個(gè)特征值并對其按從大到小進(jìn)行排序，得到:

λ1≥λ2≥…≥λN>λN+1=…=λM

(3)

式中：假定前N個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量為[u1u2…uN]，將其記為信號子空間Es，而后M-N個(gè)分解得到的特征值對應(yīng)的特征向量為[uN+1uN+2…uM]，記為噪聲子空間EN。根據(jù)MUSIC算法，信號來波方向可以估計(jì)為：

(4)

根據(jù)信號子空間與噪聲子空間的正交性，在θ=θi(i=1,2,…,N)，即來波方向時(shí)，式(4)取得極大值，由此實(shí)現(xiàn)對信號方向角的估計(jì)。

當(dāng)天線陣列存在增益幅度和相位差異時(shí)，天線陣列輸出可以表示為[7]：

(5)

2 算法描述

2.1 權(quán)微擾算法

由上述可知，經(jīng)典空間譜測向?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)中，M陣元的天線陣列就需要M個(gè)接收通道，由此帶來的巨大成本問題對工程應(yīng)用造成了較大的影響。基于權(quán)微擾算法的空間譜測向?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)則較好地解決了這一問題。

自適應(yīng)信號處理中，有：

Y(t)=WH·X(t)

(6)

式中：Y(t)為天線陣列總輸出；W=[w1w2…wn]T為復(fù)權(quán)向量；H代表復(fù)共軛轉(zhuǎn)置；X(t)代表陣元響應(yīng)，即經(jīng)典多通道空間譜測向?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)中的陣列輸出。根據(jù)式(6)可知，權(quán)微擾空間譜測向?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)下，天線陣列的輸出功率為：

(7)

以雙通道空間譜估計(jì)結(jié)構(gòu)為例[3]，結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 權(quán)微擾雙通道結(jié)構(gòu)示意圖

其中：y+和y-都為接收通道，取W+=Wnormal+ΔW，W-=Wnormal-ΔW，Wnormal為標(biāo)準(zhǔn)權(quán)，W+和W-分別對應(yīng)接收通道y+和y-的權(quán)向量，ΔW為標(biāo)準(zhǔn)權(quán)的擾動量，于是可以得到：

ΔWH·RX·ΔW=

(W+-Wnormal)HRX(Wnormal-W-)=

(8)

令ΔW=ΔWr+j·ΔWi，RX=Rr+j·Ri，其中:ΔWr和Rr分別表示權(quán)微擾矩陣和協(xié)方差矩陣的實(shí)部;ΔWi和Ri分別表示權(quán)微擾矩陣和協(xié)方差矩陣的虛部。對式(8)左邊部分變化得到：

(9)

結(jié)合式(8)和式(9)得到：

(10)

由式(10)可知，通過調(diào)整微擾矩陣就能夠通過兩個(gè)輸出通道分步計(jì)算出協(xié)方差矩陣各元素的值。

2.2 幅相校正算法

在陣列幅相誤差是造成空間譜估計(jì)結(jié)果出現(xiàn)偏差的主要原因時(shí)，可以只考慮天線陣列的幅相誤差[9]。此時(shí)可以通過設(shè)置一個(gè)方向角為θs的輔助信號源天線陣列對幅相誤差矩陣進(jìn)行估計(jì)。

(11)

由式(10)得到離散傅里葉變換中的信號子空間為[10]：

(12)

式中：Us為變換前信號子空間，γ是一個(gè)復(fù)常數(shù)。又由于:

(13)

最終得到：

(14)

2.3 算法步驟

步驟2令ΔWr=em1+em2(m1

(15)

步驟3由Hermitian矩陣性質(zhì)，協(xié)方差矩陣對角線元素虛部為零，令ΔWr=em2，ΔWi=em1，則協(xié)方差矩陣上三角元素虛部為：

(16)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

定義仿真實(shí)驗(yàn)中均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)計(jì)算方法為：

(17)

實(shí)驗(yàn)1假設(shè)天線陣列為半徑0.35 m的理想9陣元圓陣，分別使用多通道以及雙通道實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)進(jìn)行100次角度估計(jì)，快拍數(shù)為100，得到角度估計(jì)均方根誤差仿真結(jié)果如圖2所示。需要注意的是，由于雙通道實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)下需要多次估計(jì)才能得到完整的協(xié)方差矩陣，假設(shè)為D次，為了保持一致性，仿真中多通道結(jié)構(gòu)的快拍數(shù)就為D×100。

圖2 兩種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的角度估計(jì)誤差對比

可以看出，多通道結(jié)構(gòu)相對于雙通道結(jié)構(gòu)，其角度估計(jì)誤差更小，但是差異隨著信噪比的增大而減小。從工程應(yīng)用的角度，雙通道結(jié)構(gòu)可以使制造成本大幅度減少，這種情況下帶來的少量角度估計(jì)誤差是可以接受的。

實(shí)驗(yàn)2假設(shè)天線陣列為半徑0.35 m的9陣元圓陣，以第一陣元為參考陣元，其余陣元幅度誤差因子服從在[0.2,2]上的均勻分布，相位誤差服從在[-1.5,1.5]上的均勻分布，兩個(gè)非相干信號方位角為[45°,70°]，信噪比參數(shù)為10 dB，快拍數(shù)為128次。圖3表示雙通道實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)下存在幅相誤差陣列與理想陣列的空間譜對比圖。

圖3 存在陣列幅相誤差的空間譜圖

可以看出，陣列幅相誤差會導(dǎo)致空間譜估計(jì)角度出現(xiàn)偏差和譜峰降低的情況，與文獻(xiàn)[8]的結(jié)論相符。

實(shí)驗(yàn)3假設(shè)天線陣列滿足實(shí)驗(yàn)2的假設(shè)條件，信號方位角為45°，快拍數(shù)為125，進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。圖4和圖5分別表示雙通道實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)下，使用校正算法前后估計(jì)角度RMSE和信噪比為10 dB時(shí)使用本文方法與文獻(xiàn)[9]方法校正前后的空間譜估計(jì)對比圖。仿真結(jié)果表明，本文提出的校正算法在雙通道結(jié)構(gòu)下對陣列幅相誤差有較好的校正能力，且校正效果與文獻(xiàn)[9]提出的幅相校正算法效果相近，校正后的空間譜結(jié)果與理想結(jié)果近似相等。

圖4 雙通道結(jié)構(gòu)下幅相校正前后RMSE

圖5 雙通道結(jié)構(gòu)下幅相校正前后空間譜

4 結(jié) 語

對于經(jīng)典MUSIC空間譜估計(jì)結(jié)構(gòu)和該結(jié)構(gòu)在工程應(yīng)用中的成本以及陣列幅相誤差造成的問題，本文提出了一種幅相誤差校正算法，并將其應(yīng)用于權(quán)微擾算法實(shí)現(xiàn)的雙通道空間譜估計(jì)結(jié)構(gòu)。仿真結(jié)果證明了該方法能夠在成本較小的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)下有較好的校正結(jié)果，并且算法步驟簡單易實(shí)現(xiàn)，復(fù)雜度較低，適合工程應(yīng)用。