兩輪移動巡檢機器人的區(qū)間二型模糊滑?？刂?/h1>
2020-10-15 12:16:56毛雅潔劉佳豪
計算機應用與軟件 2020年10期
陳 瑤 毛雅潔 趙 濤 劉佳豪
(四川大學 四川 成都 610065)
0 引 言
1986年，日本的Kazuo Yamafuji教授制作了最早的自動站立式兩輪機器人[1]；2001年，美國發(fā)明家迪恩·卡曼發(fā)明了電動代步工具Segway[2],該機器人采用了模糊控制方法，可通過控制車體上方的方向傳感器實現(xiàn)機器人的轉(zhuǎn)彎，為代步兩輪自平衡機器人在生活中的應用打下基礎(chǔ)；2002年，丹麥Lego公司的Steve設(shè)計出一款玩具型兩輪自平衡機器人LegWay[1],采用光電接近探測器實現(xiàn)機器人的平衡控制，并在此前提下，實現(xiàn)軌跡跟蹤；同年，瑞士的研究人員研制出一臺借助陀螺儀和加速度計來采集傾角信息的兩輪移動機器人，可以實現(xiàn)U形和零半徑回轉(zhuǎn)[1]；2008年，美、日公司合作推出了可播放音樂還可以在跟蹤模式下追隨人運動的AMP(Automatic musical personality)兩輪機器人；美國學者David P.Anderson教授獨立設(shè)計的兩輪機器人nBot[14]采用模糊控制方法，能夠使兩輪機器人保持平衡。
國內(nèi)的科學家也在積極研究兩輪移動機器人，并取得了一些成果。中國科學研究院自動化所研發(fā)并研制CASIA-I智能移動機器人通過多傳感器信息融合技術(shù)，可以實現(xiàn)語音會話功能[1]。2003年，中國科學技術(shù)大學研制出一種兩輪代步電動車，采用了三維動力學的倒立擺控制原理[3]，可使機器人在多種運行狀態(tài)下保持平穩(wěn)，如前進、后退、轉(zhuǎn)彎和剎車。2005年，哈爾濱工程大學尹亮制作了由上位機和車體共同構(gòu)成的自平衡機器人Sway[3]，采用的雙軸加速度傳感器和紅外傳感器能夠提高檢測精度，可靠的數(shù)據(jù)采集和獨特的算法有助于機器人平穩(wěn)運行。
以兩輪移動巡檢機器人為對象，主要進行自平衡控制和軌跡跟蹤控制。目前，根據(jù)機器人模型的線性化和非線性化，控制方法也分為線性控制、非線性控制和智能控制。傳統(tǒng)的線性控制方法有PID算法、LQR算法[1，4]以及極點配置法等，一般都基于狀態(tài)反饋，其設(shè)計簡便，相對容易實現(xiàn)。然而由于兩輪移動巡檢機器人本身是具有非線性及強耦合等多種特性的系統(tǒng)，線性化的處理必然會產(chǎn)生系統(tǒng)的抗干擾能力下降、控制范圍縮小以及控制效果不佳等問題[1]。非線性控制或智能控制[1]主要有backstepping控制[5]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[6]、模糊控制[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡控制[8]等。與傳統(tǒng)線性控制相反，其設(shè)計復雜，在物理上往往難以實現(xiàn)，但能夠有效地增加控制范圍且魯棒性更好，控制效果更優(yōu)。
模糊控制是以模糊集合論、模糊語言變量和模糊推理為基礎(chǔ)的一種計算機數(shù)字控制技術(shù)[9]。模糊控制的控制精度不高，適合系統(tǒng)數(shù)學模型不精確的非線性系統(tǒng)的控制[1]。自從Zedeh教授創(chuàng)立模糊數(shù)學以來[10]，模糊控制器逐漸走入實際生產(chǎn)中，并且解決了很多實際問題。隨著社會的發(fā)展，T-S模糊控制出現(xiàn)，相較于傳統(tǒng)的模糊控制器，其在處理非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及控制器綜合方面發(fā)揮著巨大的作用。一型T-S模糊控制在一型模糊控制的基礎(chǔ)上展開，可以表示光滑非線性系統(tǒng)，許多學者對此進行拓展和優(yōu)化，使其具有更強的非線性能力。但隨著系統(tǒng)的復雜性和不確定性的增加，用一個確定的隸屬函數(shù)值描述某個對象屬于某個模糊集的程度愈加困難，面對此種情況，Zedeh教授提出二型模糊集的概念[11]，以提高系統(tǒng)應對復雜性及不確定性的能力。二型模糊集的隸屬度表現(xiàn)為一型模糊集而不是確定的函數(shù)值，因此，在高度不確定場合下，二型模糊集具有更佳的控制性能[10]。為了簡化計算，在二型模糊控制器的基礎(chǔ)上，學者們提出區(qū)間二型T-S模糊控制器[11]。
滑模變結(jié)構(gòu)控制是一類特殊的非線性控制。滑?？刂品椒ǖ南到y(tǒng)“結(jié)構(gòu)”并不是固定的，它會依據(jù)當前的狀態(tài)不停地切換控制量，使系統(tǒng)沿著提前設(shè)計好的“滑動模態(tài)”的狀態(tài)軌跡運動，也就是說滑模控制本質(zhì)的特點表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性[4]?；瑒幽B(tài)與控制對象的參數(shù)以及各項擾動無關(guān)，且可以根據(jù)實際需要進行設(shè)計，故滑模控制具有魯棒性強、反應快速、算法簡單、方便物理上實現(xiàn)等多個優(yōu)點。然而，由于系統(tǒng)中存在切換函數(shù)，狀態(tài)軌跡到達滑模面后，會在滑模面上下來回穿越，從而產(chǎn)生抖振[12]。滑?？刂瓶梢院芎玫靥岣邇奢喴苿友矙z機器人的魯棒抗擾性能，克服其數(shù)學模型不確定的缺點[13]，但同時也會因為抖振大大增加執(zhí)行機構(gòu)的機械磨損。為了改善終端滑?？刂茙淼亩墩瘳F(xiàn)象，有學者提出了設(shè)計基于趨近律滑?？刂品椒╗14]。
兩輪移動巡檢機器人具有轉(zhuǎn)向靈活的特點，在一些狹窄的空間場合里也能夠高效地完成任務，所以對兩輪移動機器人的研究非常具有現(xiàn)實意義。但是兩輪移動巡檢機器人的系統(tǒng)特性使得單一控制方法無法完全兼顧各方面的性能。針對該問題，本文提出將模糊控制與滑模變結(jié)構(gòu)控制合理地結(jié)合在一起，優(yōu)勢互補，從而消除滑模控制的帶來抖振現(xiàn)象，以便更好地控制兩輪移動巡檢機器人。本文將先采用終端滑?？刂瓶刂茩C器人，再設(shè)計區(qū)間二型模糊滑模控制器，最后通過MATLAB來驗證所提出方法的有效性。
1 兩輪移動巡檢機器人數(shù)學模型
建立數(shù)學模型的主要參數(shù)及具體含義見表1。HL、HR、HTL、HTR、VL、VR、VTL、VTR為機器人不同結(jié)構(gòu)之間的相互作用力，具體含義可參考文獻[1]。
機器人的非線性動力學模型建立如下[15]：
(1)
系統(tǒng)中各符號表達式如下：
f=[f1f2f3]T
(2)
(3)
u=[CθCδ]T
(4)
d=[d1d2d3]T
(5)
具體表達式如下：
(6)
(7)
f3=0
(8)
(9)
g12=0
(10)
(11)
g22=0
(12)
g31=0
(13)
(14)
(15)
(16)
d3=0
(17)
將表1中的參數(shù)代入式(1)的非線性動力學模型中，可以得到完善的機器人模型。
2 兩輪移動巡檢機器人的終端滑模律
根據(jù)終端滑?？刂频幕驹?，針對兩輪移動巡檢機器人中位移傾角子系統(tǒng)和偏航角子系統(tǒng)的非線性數(shù)學模型，詳細介紹終端滑模器的設(shè)計過程。
兩輪移動巡檢機器人的系統(tǒng)動力學模型可表示為[1，15]：
(18)
本節(jié)所進行的設(shè)計不考慮外部擾動d(t)。系統(tǒng)可改寫為：
(19)
定義機器人的軌跡跟蹤誤差，xrr、θr、δr分別代表xr、θ、δ的期望值：
(20)
對式(20)微分，得到：
(21)
對于位移傾角子系統(tǒng)，根據(jù)終端滑模的特性，設(shè)計滑模面為：
(22)
式中:c1>0,c2>0,c3>0,p、q、m、n是奇數(shù)，且p>q>0,m>n>0。
(23)
選擇指數(shù)趨近律:
(24)
式中：ε1>0,k1>0。
根據(jù)式(23)和式(24)，得到位移傾角子系統(tǒng)控制律為：
(25)
式中:ε1>0,k1>0。
對于偏航子系統(tǒng)，設(shè)計滑模面：
(26)
式中:c4>0,u、v是奇數(shù)，且u>v>0。
對式(26)作微分，可以得到：
(27)
選取指數(shù)趨近律：
(28)
式中：ε2>0,k2>0。
根據(jù)式(27)和式(28),得到偏航子系統(tǒng)控制律為：
(29)
式中:ε2>0,k2>0。
根據(jù)滑?？蛇_性條件，選取李雅普諾夫函數(shù):
(30)
對式(30)進行微分：
s2(-ε2sgn(s2)-k2s2)=
(31)
由上可知符合設(shè)計要求，兩輪移動機器人系統(tǒng)能夠在設(shè)計的滑模控制律的控制作用下，實現(xiàn)對參考位移和參考角度的軌跡跟蹤。
3 區(qū)間二型模糊滑?？刂?/h2>
為了進一步提升控制性能，在終端滑?？刂频幕A(chǔ)上，利用區(qū)間二型模糊控制器消除滑模控制帶來的抖振現(xiàn)象，即式(24)和式(28)中的k1和k2由區(qū)間二型模糊控制器產(chǎn)生，通過對這兩個參數(shù)在線動態(tài)調(diào)整，使趨近律更加合理，并消除由滑?？刂飘a(chǎn)生的抖振現(xiàn)象。模糊控制器有兩種類型：一種是T-S模糊類型；另一種是Mamdani類型，本文采用后者，具體步驟如下：
1)確定區(qū)間二型模糊控制器的結(jié)構(gòu)，選擇輸入、輸出變量。
2)選擇覆蓋模糊論域的區(qū)間二型模糊子集，確立隸屬函數(shù)。
(1)位移傾角子系統(tǒng)：
s1
(2)偏航角子系統(tǒng)：
s2
3)區(qū)間二型模糊規(guī)則的建立。設(shè)計的區(qū)間二型模糊控制規(guī)則如表2所示。其中，模糊隸屬函數(shù)根據(jù)所處位置分別命名為NB(負大)、NM(負中)、NS(負小)、ZE(零)、PS(正小)、PM(正中)、PB(正大)。
表2 區(qū)間二型模糊規(guī)則表
4)將所設(shè)計的區(qū)間二型模糊滑?？刂破鲬糜趦奢喴苿友矙z機器人，并與一型模糊滑?？刂破骱图兘K端滑模控制器進行比較，驗證其有效性及優(yōu)越性。
4 仿真分析
在MATLAB平臺上對所設(shè)計的區(qū)間二型模糊滑?？刂破鬟M行仿真，用模糊控制器調(diào)整滑?？刂坡芍星袚Q控制項的增益，即模糊控制在滑?？刂频幕A(chǔ)上進行控制，參考信號為滑?？刂茀⒖架壽E。
本節(jié)分為兩部分對系統(tǒng)仿真結(jié)果進行闡述：一是位移傾角子系統(tǒng)；二是偏航角子系統(tǒng)。通過對這兩個子系統(tǒng)的仿真，可以得出結(jié)論：區(qū)間二型模糊滑?？刂撇粌H能使系統(tǒng)輸出達到指定位置，還能消除滑模控制帶來的抖振，證明了本文方法在控制兩輪移動巡檢機器人上的有效性。
4.1 位移傾角子系統(tǒng)
仿真結(jié)果如圖3-圖8所示。其中：圖3是控制量位移x的變化曲線；圖4為傾角θ的變化曲線；圖5是控制律即輸入偏傾角轉(zhuǎn)矩Cθ的變化曲線；圖6是滑模面s1的變化曲線；圖7和圖8分別是位移和傾角跟蹤誤差曲線。
圖3 直線軌跡位移曲線
圖4 直線軌跡傾角曲線
圖5 輸入控制律(傾角轉(zhuǎn)矩)變化曲線
圖6 滑模面變化曲線
圖7 直線軌跡偏位移跟蹤誤差曲線
圖8 直線軌跡傾角跟蹤誤差曲線
根據(jù)圖3和圖4，在三種不同控制器控制下，位移和傾角均跟蹤上了參考軌跡。對位移曲線來說，加入一型模糊控制器后，曲線沒有明顯變化，加入?yún)^(qū)間二型模糊控制器后，調(diào)節(jié)時間加快。對傾角曲線來說，加入模糊控制后，系統(tǒng)超調(diào)明顯降低，抖振減小，其中區(qū)間二型模糊滑模的控制效果比一型模糊更好，在局部放大圖中，區(qū)間二型模糊控制下的曲線幾乎是一條直線。
根據(jù)圖5，不同控制方法下輸入傾角轉(zhuǎn)矩的變化范圍不同，變化范圍由大到小依次為終端滑?？刂?、一型模糊滑?？刂?、區(qū)間二型模糊滑?？刂?。所設(shè)計的模糊控制能夠動態(tài)地調(diào)整控制律中切換項的增益。
根據(jù)圖6，不同控制方法下滑模面的變化不同，純滑?？刂葡拢Ｃ嬖?附近密集變化，且范圍很大；一型模糊滑?？刂葡?，滑模面變化范圍減小，且仍在0附近密集變化；區(qū)間二型模糊滑?？刂葡拢兓秶鷰缀鯙橐粭l直線，但值得注意的是，該滑模面不在0附近上下變動，而是略高于0點線。
根據(jù)圖7和圖8，位移誤差和傾角誤差均在較短時間內(nèi)到達0附近。對位移誤差來說，純終端滑?？刂坪鸵恍湍：？刂频姆€(wěn)態(tài)誤差幾乎一致，曲線重合，而區(qū)間二型模糊滑?？刂频姆€(wěn)態(tài)誤差較前兩者來說稍大一些，但也在容許范圍之內(nèi)。對傾角誤差來說，從整體圖來看，三種控制方法的穩(wěn)態(tài)部分曲線重合，穩(wěn)態(tài)誤差一致，從放大圖來看，在三種控制方法下，區(qū)間二型模糊滑?？刂朴捎谙擞苫？刂飘a(chǎn)生的抖振，穩(wěn)態(tài)誤差控制得最好。
4.2 偏航角子系統(tǒng)
仿真結(jié)果如圖9-圖11所示。其中：圖9是偏航角δ的變化曲線；圖10是控制律即輸入偏航角轉(zhuǎn)矩的變化曲線；圖11是滑模面的變化曲線；圖12是偏航角誤差跟蹤曲線。
圖11 滑模面變化曲線
圖12 直線軌跡偏航角誤差跟蹤曲線
根據(jù)圖9，在三種控制器的控制下，偏航角均跟蹤上了指定軌跡，且加入模糊控制器后，調(diào)節(jié)速度與調(diào)節(jié)時間基本沒有變化。比較抖振情況，根據(jù)局部放大圖，純滑?？刂葡?，抖振范圍較大，約為3×10-3；一型模糊滑模控制下，變化范圍相較于滑?？刂?，有了很大的改善，約為2×10-4；區(qū)間二型模糊滑?？刂葡拢词乖诰植糠糯蠛?，依然看不出任何波動，且相比一型模糊滑?？刂?，效果更好。
根據(jù)圖10，不同控制方法下輸入偏航角轉(zhuǎn)矩的變化范圍不同，純滑?？刂葡拢兓秶鸀?5～5；一型模糊滑?？刂葡?，變化范圍為-0.316 2～0.316 2；區(qū)間二型模糊滑模控制下，變化范圍-0.006 7～0.006 7，肉眼范圍內(nèi)，幾乎為一條直線，因此，模糊控制對切換項的增益起到了良好的控制效果。
根據(jù)圖11，不同控制方法下滑模面的變化不同，純滑模控制下，滑模在0附近變化較大，變化范圍在-0.2～0.4之間；一型模糊滑?？刂葡?，滑模面在0～0.05內(nèi)變化；區(qū)間二型模糊滑?？刂葡?，變化范圍幾乎為一條直線。
根據(jù)圖12，三種控制方法均使偏航角的誤差在較短時間內(nèi)到達0附近，模糊控制對該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有很大的改善。其中：純滑?？刂葡?，穩(wěn)態(tài)誤差約為5×10-3；一型模糊滑?？刂葡?，穩(wěn)態(tài)誤差約為8×10-4；區(qū)間二型模糊滑模控制下，穩(wěn)態(tài)誤差為0。
5 結(jié) 語
本文針對兩輪移動巡檢機器人提出了區(qū)間二型模糊滑?？刂破?。通過區(qū)間二型模糊控制器對終端滑?？刂坡傻那袚Q項增益進行動態(tài)調(diào)整，以到達削弱甚至消除滑?？刂茙淼亩墩瘳F(xiàn)象的目的。通過在仿真平臺上對終端滑?？刂啤⒁恍湍：？刂埔约皡^(qū)間二型模糊滑?？刂品抡娣治?，所設(shè)計的區(qū)間二型模糊控制器在快速使機器人保持平衡的同時，能夠追蹤參考軌跡。此外，一型模糊滑模控制器能夠很好地削弱由滑?？刂茙淼亩墩?，而區(qū)間二型模糊控制器能夠有效地消除由滑?？刂茙淼亩墩?。本文所設(shè)計的區(qū)間二型模糊滑?？刂破鬟_到了預期的控制目的。
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國內(nèi)的科學家也在積極研究兩輪移動機器人，并取得了一些成果。中國科學研究院自動化所研發(fā)并研制CASIA-I智能移動機器人通過多傳感器信息融合技術(shù)，可以實現(xiàn)語音會話功能[1]。2003年，中國科學技術(shù)大學研制出一種兩輪代步電動車，采用了三維動力學的倒立擺控制原理[3]，可使機器人在多種運行狀態(tài)下保持平穩(wěn)，如前進、后退、轉(zhuǎn)彎和剎車。2005年，哈爾濱工程大學尹亮制作了由上位機和車體共同構(gòu)成的自平衡機器人Sway[3]，采用的雙軸加速度傳感器和紅外傳感器能夠提高檢測精度，可靠的數(shù)據(jù)采集和獨特的算法有助于機器人平穩(wěn)運行。
以兩輪移動巡檢機器人為對象，主要進行自平衡控制和軌跡跟蹤控制。目前，根據(jù)機器人模型的線性化和非線性化，控制方法也分為線性控制、非線性控制和智能控制。傳統(tǒng)的線性控制方法有PID算法、LQR算法[1，4]以及極點配置法等，一般都基于狀態(tài)反饋，其設(shè)計簡便，相對容易實現(xiàn)。然而由于兩輪移動巡檢機器人本身是具有非線性及強耦合等多種特性的系統(tǒng)，線性化的處理必然會產(chǎn)生系統(tǒng)的抗干擾能力下降、控制范圍縮小以及控制效果不佳等問題[1]。非線性控制或智能控制[1]主要有backstepping控制[5]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[6]、模糊控制[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡控制[8]等。與傳統(tǒng)線性控制相反，其設(shè)計復雜，在物理上往往難以實現(xiàn)，但能夠有效地增加控制范圍且魯棒性更好，控制效果更優(yōu)。
模糊控制是以模糊集合論、模糊語言變量和模糊推理為基礎(chǔ)的一種計算機數(shù)字控制技術(shù)[9]。模糊控制的控制精度不高，適合系統(tǒng)數(shù)學模型不精確的非線性系統(tǒng)的控制[1]。自從Zedeh教授創(chuàng)立模糊數(shù)學以來[10]，模糊控制器逐漸走入實際生產(chǎn)中，并且解決了很多實際問題。隨著社會的發(fā)展，T-S模糊控制出現(xiàn)，相較于傳統(tǒng)的模糊控制器，其在處理非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及控制器綜合方面發(fā)揮著巨大的作用。一型T-S模糊控制在一型模糊控制的基礎(chǔ)上展開，可以表示光滑非線性系統(tǒng)，許多學者對此進行拓展和優(yōu)化，使其具有更強的非線性能力。但隨著系統(tǒng)的復雜性和不確定性的增加，用一個確定的隸屬函數(shù)值描述某個對象屬于某個模糊集的程度愈加困難，面對此種情況，Zedeh教授提出二型模糊集的概念[11]，以提高系統(tǒng)應對復雜性及不確定性的能力。二型模糊集的隸屬度表現(xiàn)為一型模糊集而不是確定的函數(shù)值，因此，在高度不確定場合下，二型模糊集具有更佳的控制性能[10]。為了簡化計算，在二型模糊控制器的基礎(chǔ)上，學者們提出區(qū)間二型T-S模糊控制器[11]。
滑模變結(jié)構(gòu)控制是一類特殊的非線性控制。滑?？刂品椒ǖ南到y(tǒng)“結(jié)構(gòu)”并不是固定的，它會依據(jù)當前的狀態(tài)不停地切換控制量，使系統(tǒng)沿著提前設(shè)計好的“滑動模態(tài)”的狀態(tài)軌跡運動，也就是說滑模控制本質(zhì)的特點表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性[4]?；瑒幽B(tài)與控制對象的參數(shù)以及各項擾動無關(guān)，且可以根據(jù)實際需要進行設(shè)計，故滑模控制具有魯棒性強、反應快速、算法簡單、方便物理上實現(xiàn)等多個優(yōu)點。然而，由于系統(tǒng)中存在切換函數(shù)，狀態(tài)軌跡到達滑模面后，會在滑模面上下來回穿越，從而產(chǎn)生抖振[12]。滑?？刂瓶梢院芎玫靥岣邇奢喴苿友矙z機器人的魯棒抗擾性能，克服其數(shù)學模型不確定的缺點[13]，但同時也會因為抖振大大增加執(zhí)行機構(gòu)的機械磨損。為了改善終端滑?？刂茙淼亩墩瘳F(xiàn)象，有學者提出了設(shè)計基于趨近律滑?？刂品椒╗14]。
兩輪移動巡檢機器人具有轉(zhuǎn)向靈活的特點，在一些狹窄的空間場合里也能夠高效地完成任務，所以對兩輪移動機器人的研究非常具有現(xiàn)實意義。但是兩輪移動巡檢機器人的系統(tǒng)特性使得單一控制方法無法完全兼顧各方面的性能。針對該問題，本文提出將模糊控制與滑模變結(jié)構(gòu)控制合理地結(jié)合在一起，優(yōu)勢互補，從而消除滑模控制的帶來抖振現(xiàn)象，以便更好地控制兩輪移動巡檢機器人。本文將先采用終端滑?？刂瓶刂茩C器人，再設(shè)計區(qū)間二型模糊滑模控制器，最后通過MATLAB來驗證所提出方法的有效性。
1 兩輪移動巡檢機器人數(shù)學模型
建立數(shù)學模型的主要參數(shù)及具體含義見表1。HL、HR、HTL、HTR、VL、VR、VTL、VTR為機器人不同結(jié)構(gòu)之間的相互作用力，具體含義可參考文獻[1]。
機器人的非線性動力學模型建立如下[15]：
(1)
系統(tǒng)中各符號表達式如下：
f=[f1f2f3]T
(2)
(3)
u=[CθCδ]T
(4)
d=[d1d2d3]T
(5)
具體表達式如下：
(6)
(7)
f3=0
(8)
(9)
g12=0
(10)
(11)
g22=0
(12)
g31=0
(13)
(14)
(15)
(16)
d3=0
(17)
將表1中的參數(shù)代入式(1)的非線性動力學模型中，可以得到完善的機器人模型。
2 兩輪移動巡檢機器人的終端滑模律
根據(jù)終端滑?？刂频幕驹?，針對兩輪移動巡檢機器人中位移傾角子系統(tǒng)和偏航角子系統(tǒng)的非線性數(shù)學模型，詳細介紹終端滑模器的設(shè)計過程。
兩輪移動巡檢機器人的系統(tǒng)動力學模型可表示為[1，15]：
(18)
本節(jié)所進行的設(shè)計不考慮外部擾動d(t)。系統(tǒng)可改寫為：
(19)
定義機器人的軌跡跟蹤誤差，xrr、θr、δr分別代表xr、θ、δ的期望值：
(20)
對式(20)微分，得到：
(21)
對于位移傾角子系統(tǒng)，根據(jù)終端滑模的特性，設(shè)計滑模面為：
(22)
式中:c1>0,c2>0,c3>0,p、q、m、n是奇數(shù)，且p>q>0,m>n>0。
(23)
選擇指數(shù)趨近律:
(24)
式中：ε1>0,k1>0。
根據(jù)式(23)和式(24)，得到位移傾角子系統(tǒng)控制律為：
(25)
式中:ε1>0,k1>0。
對于偏航子系統(tǒng)，設(shè)計滑模面：
(26)
式中:c4>0,u、v是奇數(shù)，且u>v>0。
對式(26)作微分，可以得到：
(27)
選取指數(shù)趨近律：
(28)
式中：ε2>0,k2>0。
根據(jù)式(27)和式(28),得到偏航子系統(tǒng)控制律為：
(29)
式中:ε2>0,k2>0。
根據(jù)滑?？蛇_性條件，選取李雅普諾夫函數(shù):
(30)
對式(30)進行微分：
s2(-ε2sgn(s2)-k2s2)=
(31)
由上可知符合設(shè)計要求，兩輪移動機器人系統(tǒng)能夠在設(shè)計的滑模控制律的控制作用下，實現(xiàn)對參考位移和參考角度的軌跡跟蹤。
3 區(qū)間二型模糊滑?？刂?/h2>
為了進一步提升控制性能，在終端滑?？刂频幕A(chǔ)上，利用區(qū)間二型模糊控制器消除滑模控制帶來的抖振現(xiàn)象，即式(24)和式(28)中的k1和k2由區(qū)間二型模糊控制器產(chǎn)生，通過對這兩個參數(shù)在線動態(tài)調(diào)整，使趨近律更加合理，并消除由滑?？刂飘a(chǎn)生的抖振現(xiàn)象。模糊控制器有兩種類型：一種是T-S模糊類型；另一種是Mamdani類型，本文采用后者，具體步驟如下：
1)確定區(qū)間二型模糊控制器的結(jié)構(gòu)，選擇輸入、輸出變量。
2)選擇覆蓋模糊論域的區(qū)間二型模糊子集，確立隸屬函數(shù)。
(1)位移傾角子系統(tǒng)：
s1
(2)偏航角子系統(tǒng)：
s2
3)區(qū)間二型模糊規(guī)則的建立。設(shè)計的區(qū)間二型模糊控制規(guī)則如表2所示。其中，模糊隸屬函數(shù)根據(jù)所處位置分別命名為NB(負大)、NM(負中)、NS(負小)、ZE(零)、PS(正小)、PM(正中)、PB(正大)。
表2 區(qū)間二型模糊規(guī)則表
4)將所設(shè)計的區(qū)間二型模糊滑?？刂破鲬糜趦奢喴苿友矙z機器人，并與一型模糊滑?？刂破骱图兘K端滑模控制器進行比較，驗證其有效性及優(yōu)越性。
4 仿真分析
在MATLAB平臺上對所設(shè)計的區(qū)間二型模糊滑?？刂破鬟M行仿真，用模糊控制器調(diào)整滑?？刂坡芍星袚Q控制項的增益，即模糊控制在滑?？刂频幕A(chǔ)上進行控制，參考信號為滑?？刂茀⒖架壽E。
本節(jié)分為兩部分對系統(tǒng)仿真結(jié)果進行闡述：一是位移傾角子系統(tǒng)；二是偏航角子系統(tǒng)。通過對這兩個子系統(tǒng)的仿真，可以得出結(jié)論：區(qū)間二型模糊滑?？刂撇粌H能使系統(tǒng)輸出達到指定位置，還能消除滑模控制帶來的抖振，證明了本文方法在控制兩輪移動巡檢機器人上的有效性。
4.1 位移傾角子系統(tǒng)
仿真結(jié)果如圖3-圖8所示。其中：圖3是控制量位移x的變化曲線；圖4為傾角θ的變化曲線；圖5是控制律即輸入偏傾角轉(zhuǎn)矩Cθ的變化曲線；圖6是滑模面s1的變化曲線；圖7和圖8分別是位移和傾角跟蹤誤差曲線。
圖3 直線軌跡位移曲線
圖4 直線軌跡傾角曲線
圖5 輸入控制律(傾角轉(zhuǎn)矩)變化曲線
圖6 滑模面變化曲線
圖7 直線軌跡偏位移跟蹤誤差曲線
圖8 直線軌跡傾角跟蹤誤差曲線
根據(jù)圖3和圖4，在三種不同控制器控制下，位移和傾角均跟蹤上了參考軌跡。對位移曲線來說，加入一型模糊控制器后，曲線沒有明顯變化，加入?yún)^(qū)間二型模糊控制器后，調(diào)節(jié)時間加快。對傾角曲線來說，加入模糊控制后，系統(tǒng)超調(diào)明顯降低，抖振減小，其中區(qū)間二型模糊滑模的控制效果比一型模糊更好，在局部放大圖中，區(qū)間二型模糊控制下的曲線幾乎是一條直線。
根據(jù)圖5，不同控制方法下輸入傾角轉(zhuǎn)矩的變化范圍不同，變化范圍由大到小依次為終端滑?？刂?、一型模糊滑?？刂?、區(qū)間二型模糊滑?？刂?。所設(shè)計的模糊控制能夠動態(tài)地調(diào)整控制律中切換項的增益。
根據(jù)圖6，不同控制方法下滑模面的變化不同，純滑?？刂葡拢Ｃ嬖?附近密集變化，且范圍很大；一型模糊滑?？刂葡?，滑模面變化范圍減小，且仍在0附近密集變化；區(qū)間二型模糊滑?？刂葡拢兓秶鷰缀鯙橐粭l直線，但值得注意的是，該滑模面不在0附近上下變動，而是略高于0點線。
根據(jù)圖7和圖8，位移誤差和傾角誤差均在較短時間內(nèi)到達0附近。對位移誤差來說，純終端滑?？刂坪鸵恍湍：？刂频姆€(wěn)態(tài)誤差幾乎一致，曲線重合，而區(qū)間二型模糊滑?？刂频姆€(wěn)態(tài)誤差較前兩者來說稍大一些，但也在容許范圍之內(nèi)。對傾角誤差來說，從整體圖來看，三種控制方法的穩(wěn)態(tài)部分曲線重合，穩(wěn)態(tài)誤差一致，從放大圖來看，在三種控制方法下，區(qū)間二型模糊滑?？刂朴捎谙擞苫？刂飘a(chǎn)生的抖振，穩(wěn)態(tài)誤差控制得最好。
4.2 偏航角子系統(tǒng)
仿真結(jié)果如圖9-圖11所示。其中：圖9是偏航角δ的變化曲線；圖10是控制律即輸入偏航角轉(zhuǎn)矩的變化曲線；圖11是滑模面的變化曲線；圖12是偏航角誤差跟蹤曲線。
圖11 滑模面變化曲線
圖12 直線軌跡偏航角誤差跟蹤曲線
根據(jù)圖9，在三種控制器的控制下，偏航角均跟蹤上了指定軌跡，且加入模糊控制器后，調(diào)節(jié)速度與調(diào)節(jié)時間基本沒有變化。比較抖振情況，根據(jù)局部放大圖，純滑?？刂葡?，抖振范圍較大，約為3×10-3；一型模糊滑模控制下，變化范圍相較于滑?？刂?，有了很大的改善，約為2×10-4；區(qū)間二型模糊滑?？刂葡拢词乖诰植糠糯蠛?，依然看不出任何波動，且相比一型模糊滑?？刂?，效果更好。
根據(jù)圖10，不同控制方法下輸入偏航角轉(zhuǎn)矩的變化范圍不同，純滑?？刂葡拢兓秶鸀?5～5；一型模糊滑?？刂葡?，變化范圍為-0.316 2～0.316 2；區(qū)間二型模糊滑模控制下，變化范圍-0.006 7～0.006 7，肉眼范圍內(nèi)，幾乎為一條直線，因此，模糊控制對切換項的增益起到了良好的控制效果。
根據(jù)圖11，不同控制方法下滑模面的變化不同，純滑模控制下，滑模在0附近變化較大，變化范圍在-0.2～0.4之間；一型模糊滑?？刂葡?，滑模面在0～0.05內(nèi)變化；區(qū)間二型模糊滑?？刂葡?，變化范圍幾乎為一條直線。
根據(jù)圖12，三種控制方法均使偏航角的誤差在較短時間內(nèi)到達0附近，模糊控制對該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有很大的改善。其中：純滑?？刂葡?，穩(wěn)態(tài)誤差約為5×10-3；一型模糊滑?？刂葡?，穩(wěn)態(tài)誤差約為8×10-4；區(qū)間二型模糊滑模控制下，穩(wěn)態(tài)誤差為0。
5 結(jié) 語
本文針對兩輪移動巡檢機器人提出了區(qū)間二型模糊滑?？刂破?。通過區(qū)間二型模糊控制器對終端滑?？刂坡傻那袚Q項增益進行動態(tài)調(diào)整，以到達削弱甚至消除滑?？刂茙淼亩墩瘳F(xiàn)象的目的。通過在仿真平臺上對終端滑?？刂啤⒁恍湍：？刂埔约皡^(qū)間二型模糊滑?？刂品抡娣治?，所設(shè)計的區(qū)間二型模糊控制器在快速使機器人保持平衡的同時，能夠追蹤參考軌跡。此外，一型模糊滑模控制器能夠很好地削弱由滑?？刂茙淼亩墩?，而區(qū)間二型模糊控制器能夠有效地消除由滑?？刂茙淼亩墩?。本文所設(shè)計的區(qū)間二型模糊滑?？刂破鬟_到了預期的控制目的。
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