楊 潔 魏平俊 廖 亮

(中原工學(xué)院電子信息學(xué)院 河南 鄭州 450007)

0 引 言

隨著現(xiàn)代多媒體技術(shù)與計算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，超大規(guī)模、超復(fù)雜結(jié)構(gòu)和高維度的數(shù)據(jù)分析與處理成為研究重點。如人臉圖像、監(jiān)控視頻、高光譜圖像等[1-5]。高維數(shù)據(jù)分析已成功應(yīng)用于不同場景，包括生物醫(yī)學(xué)圖像分析[6]、自然圖像和視頻分析[7]和遙感圖像分析[8]。目前，國內(nèi)外學(xué)者在此研究基礎(chǔ)上完成了許多工作。Zhang等[9]開發(fā)了張量辨別局部對齊方法，從高光譜圖像中去除冗余信息。Zhong等[10]提出一種辨別張量光譜空間的特征提取方法，提高分類性能。Tao等[11]提出一種基于張量分解技術(shù)的用于極化SAR數(shù)據(jù)分類的張量ICA特征提取方法。

上述的研究工作均是在傳統(tǒng)矩陣或三維張量的基礎(chǔ)上開展的，并未針對高階圖像進(jìn)行分析，不涉及三維以上的高階數(shù)組，從而忽略了圖像原本的結(jié)構(gòu)特點。本文提出基于廣義奇異值分解的高階圖像低秩的改進(jìn)方法，在傳統(tǒng)矩陣的基礎(chǔ)上利用“tproduct”模型分析高階數(shù)組[12]，并對傳統(tǒng)矩陣算法進(jìn)行擴(kuò)展，得到適用于高階廣義復(fù)數(shù)矩陣的廣義奇異值分解算法，再對高階圖像進(jìn)行低秩近似分析其性能。

1 廣義復(fù)數(shù)矩陣

傳統(tǒng)的向量和矩陣分別代表一階和二階數(shù)組，而高階數(shù)組是將傳統(tǒng)矩陣中的標(biāo)量元素擴(kuò)展為廣義標(biāo)量(tensorial scalar，t-scalar)。廣義標(biāo)量是一個固定大小的數(shù)組，以廣義標(biāo)量為元素組成的矩陣稱為廣義矩陣(tensorial matrix，t-matrix)。廣義矩陣是在傳統(tǒng)矩陣的基礎(chǔ)上，以矩陣中的每個元素為中心點逐步選取鄰域，然后將選取鄰域作為廣義標(biāo)量替換原位置的實數(shù)，目的是使原始二階矩陣擴(kuò)展為高階廣義矩陣。

廣義復(fù)數(shù)矩陣是對廣義實數(shù)矩陣的擴(kuò)展，是一種高階復(fù)數(shù)矩陣。廣義復(fù)數(shù)矩陣是指在高階廣義矩陣中的每個元素皆為復(fù)數(shù)。定義一個N階廣義復(fù)數(shù)矩陣A∈CL1×L2×…×LN，其中:C表示復(fù)數(shù)域;Li表示第i階廣義矩陣的長度，且Li>1，i=1,2,…,N。這里定義廣義復(fù)數(shù)矩陣的元素為(Xtm)w1,w2,i,j，且均為復(fù)數(shù)。

復(fù)數(shù)域C上的N階數(shù)組是集合C≡CL1×L2×…×LN中的一個元素，實數(shù)域R上的N階數(shù)組是集合R≡RL1×L2×…×LN中的元素，這里定義C或R均為交換環(huán)結(jié)構(gòu)，且乘積用循環(huán)卷積替代[13]，在廣義復(fù)數(shù)矩陣運算中，定義所有的運算都是在環(huán)C中進(jìn)行。

1.1 符號和定義

定義1廣義復(fù)數(shù)標(biāo)量乘法：任給定廣義復(fù)數(shù)標(biāo)量xt∈Cm×n和yt∈Cm×n，定義兩者乘積dt=xt°yt是由xt和yt做二維循環(huán)卷積所得，滿足:

(1)

且p=(mod((ω1-k1),m)+1,mod((ω2-k2),n)+1),?ω1,ω2，其中(ω1,ω2)代表廣義復(fù)數(shù)標(biāo)量中元素坐標(biāo)，因空域做循環(huán)卷積步驟較復(fù)雜，這里可將其簡化為利用dt=xt°yt?[F(dt)]ω1,ω2=[F(xt)]ω1,ω2·[F(yt)]ω1,ω2,?ω1,ω2。通過二維快速傅里葉變換及其逆變換來求得計算乘積dt，廣義復(fù)數(shù)標(biāo)量乘法具體如圖1所示。

圖1 廣義復(fù)數(shù)標(biāo)量乘法

其中廣義t-scalar中的元素均為復(fù)數(shù)，即aw1,w2,bw1,w2,cw1,w2∈C。

[Ctm]i,j=[Xtm]i,j+[Ytm]i,j1≤i≤D11≤j≤D2

(2)

定義3廣義復(fù)數(shù)矩陣的乘法：任給定廣義復(fù)數(shù)矩陣Xtm∈CD1×D2和Ytm∈CD2×D3，其乘積由Ctm=Xtm°Ytm∈CD1×D3給出，滿足：

(3)

如Ctm=Xtm°Ytm，且D1×D2=2×2,D2×D3=2×1，定義t-scalar為3×3的廣義復(fù)數(shù)標(biāo)量，則Ctm∈C3×3×2×1。其中(Ctm)w1,w2,i,j根據(jù)定義1計算可得，廣義復(fù)數(shù)矩陣的乘法如圖2所示。

圖2 廣義復(fù)數(shù)矩陣的乘法

(4)

同時可得出:

(5)

定義5廣義復(fù)數(shù)矩陣的切片：任給定廣義復(fù)數(shù)矩陣Xtm，它的項是m×n的廣義復(fù)數(shù)標(biāo)量，根據(jù)廣義復(fù)數(shù)標(biāo)量中元素的坐標(biāo)(ω1,ω2)，得到切片Xtm(ω1,ω2)∈CD1×D2，為傳統(tǒng)復(fù)數(shù)矩陣:

[Xtm(ω1,ω2)]i,j=[[Xtm]i,j]ω1,ω2?i,j,ω1,ω2

(6)

令Xftm?F(Xtm)按索引(ω1,ω2)的切片為Xftm(ω1,ω2)且Xftm(ω1,ω2)∈CD1,D2,滿足：

[Xftm(ω1,ω2)]i,j=[[Xftm]i,j]ω1,ω2?i,j,ω1,ω2

(7)

1.2 SVD原理

給定一個m×n階矩陣A，矩陣中的元素aij∈C(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。利用SVD分解，矩陣A可以表示為[14-15]：

A=USVT

(8)

式中：U∈Cm×m、V∈Cm×n均屬于正交單位矩陣，即UUT=VVT=I;S是對角方陣：

(9)

式中:r=min(m,n)；σ1≥σ2…≥σr≥0,成為矩陣A的奇異值元素[16]。A也可以用求和的形式表示為：

(10)

式中：ui、vi是U和V的第i列向量;si是構(gòu)成S矩陣對角線的奇異值。

1.3 TSVD原理

奇異值分解技術(shù)在線性代數(shù)中不可或缺，是一種重要的矩陣分解技術(shù)，通過一維信號能構(gòu)造出多個矩陣，例如Cycle矩陣、Toeplitz矩陣、Hankel矩陣等。構(gòu)造的方式不同，得到的SVD處理效果就不同。為得到更高的圖像質(zhì)量，本文通過擴(kuò)展數(shù)據(jù)容量，構(gòu)造高階矩陣來進(jìn)行SVD 分解，稱為廣義奇異值分解技術(shù)。廣義奇異值分解是對傳統(tǒng)矩陣上的每個元素取3×3鄰域使其擴(kuò)展成高階矩陣。廣義奇異值分解不僅適用于實數(shù)矩陣，對復(fù)數(shù)矩陣同樣適用，具體原理如下：

任給定廣義復(fù)數(shù)矩陣Xtm∈CD1×D2，t-scalar大小為m×n，利用TSVD分解，矩陣Xtm可表示為：

(11)

在對高階圖像進(jìn)行分析時，可借助切片操作，在傅里葉域中通過傳統(tǒng)SVD來計算。具體地，給定廣義標(biāo)量矩陣Xtm∈Cm×n×D1×D2,可用算法1計算式(10)。

算法1TSVD算法

1.Xftm←F(Xtm)

2.forω1←1 tomdo

3. forω2←1 tondo

4. 利用切片Xftm(ω1,ω2)計算Xftm的標(biāo)準(zhǔn)SVD分解，利用式(8)得到：

A=U·S·VH

其中U∈CD1×Q，V∈CD2×Q，S∈CQ×Q，Q?min(D1,D2),VH是復(fù)數(shù)矩陣V的共軛轉(zhuǎn)置。

5. 分配廣義復(fù)數(shù)矩陣的第(ω1,ω2)個切片，

6.end for

7.end for

8.return

2 實 驗

為驗證TSVD的低秩近似性能，實驗以480×300×3的Mona Lisa圖像為測試樣本，通過MATLAB編程分別得到R、G、B三幅二維灰度圖像，這里以R通道的灰度圖像為例。本文主要進(jìn)行兩方面的實驗：(1)將傳統(tǒng)二階矩陣擴(kuò)展為高階的廣義復(fù)數(shù)矩陣；(2)改變高階矩陣的擴(kuò)展方式，由原始的線性增長擴(kuò)展為指數(shù)增長(Exponential Growth)方式，然后利用Latex編程比較TSVD的低秩近似性能。

2.1 高階廣義復(fù)數(shù)矩陣與指數(shù)增長

將傳統(tǒng)二階矩陣擴(kuò)展為高階的廣義復(fù)數(shù)矩陣，具體的擴(kuò)展方法有：(1)在傳統(tǒng)矩陣的基礎(chǔ)上通過變換使其成為二階復(fù)數(shù)矩陣，再擴(kuò)展為高階廣義復(fù)數(shù)矩陣；(2)先使傳統(tǒng)矩陣擴(kuò)展為廣義矩陣，在廣義矩陣的基礎(chǔ)上通過變換使其成為廣義復(fù)數(shù)矩陣，再用指數(shù)增長代替原始的線性增長方式。

1)傳統(tǒng)矩陣到廣義矩陣再到廣義復(fù)數(shù)矩陣：實驗均選取3×3鄰域，在對奇數(shù)矩陣求傅里葉變換時存在鏡像對稱關(guān)系，為避免這種情況這里選取另一種方式進(jìn)行擴(kuò)展：在鄰域選取時先將t-scalar利用鏡像對稱關(guān)系轉(zhuǎn)為廣義復(fù)數(shù)t-scalar，再作用于傳統(tǒng)矩陣Xtcom∈R3×3×m×n，使其擴(kuò)展為廣義復(fù)數(shù)矩陣。鏡像對稱下t-scalar的選取如圖4所示。

圖4 鏡像對稱下t-scalar的選取

2)傳統(tǒng)復(fù)數(shù)矩陣到廣義矩陣再到廣義復(fù)數(shù)矩陣：在傳統(tǒng)矩陣的基礎(chǔ)上進(jìn)行變換使其成為二階復(fù)數(shù)矩陣，然后再擴(kuò)展為高階的廣義復(fù)數(shù)矩陣。具體實現(xiàn)原理為：保留原始矩陣，并對其求鄰域，將原始矩陣和領(lǐng)域矩陣作為實部和虛部并重新組合成二階復(fù)數(shù)矩陣。具體步驟是：對原始二階矩陣A∈Rm×n求左(右，等)鄰域，得到新的二階實數(shù)矩陣B∈Rm×n，然后利用C=complex(A,B)，求得原始二階矩陣和新的二階實數(shù)矩陣組成的二階復(fù)數(shù)矩陣Acom∈Rm×n，再對Acom進(jìn)行擴(kuò)展使其成為高階廣義復(fù)數(shù)矩陣Xtcom∈R3×3×m×n，鄰域法選取如圖5所示。

圖5 鄰域法選取

指數(shù)增長：指一個變量增長的速率與它的數(shù)量成比例，形如：y=ax(a>0,a≠1),x∈R。利用指數(shù)增長方式可快速提高圖像的維數(shù)與低秩近似的效果。

2.2 實驗結(jié)果分析

本文共進(jìn)行8個實驗：實驗1是針對傳統(tǒng)的2階矩陣求SVD；實驗2是保留原始矩陣，并對其求左鄰域，將原始矩陣和領(lǐng)域矩陣作為實部和虛部并重新組合成2階復(fù)數(shù)矩陣；實驗3是在實驗1基礎(chǔ)上，對各元素求3×3鄰域使其成為廣義實數(shù)矩陣；實驗4是利用鏡像對稱關(guān)系進(jìn)行t-scalar的選取，并擴(kuò)展為廣義復(fù)數(shù)矩陣；實驗5是在實驗2的基礎(chǔ)上對各元素求3×3鄰域使其成為廣義復(fù)數(shù)矩陣；實驗6是在實驗5的基礎(chǔ)上再對各元素選取3×3鄰域，使其成為6階廣義復(fù)數(shù)矩陣；實驗7是在實驗1 的基礎(chǔ)上，將傳統(tǒng)2階矩陣元素通過選取3×3鄰域使其成為4階廣義矩陣，然后再在4階廣義矩陣的基礎(chǔ)上選取3×3鄰域使其成為6階廣義矩陣；實驗8是利用指數(shù)增長的方式，在實驗7中擴(kuò)展為4階廣義矩陣時，利用指數(shù)增長的方式對各元素選取3×3×3×3鄰域使其成為8階廣義矩陣。然后利用TSVD技術(shù)，對比不同方式擴(kuò)展后的低秩近似圖像，并求取中心切片再利用峰值信噪比比較低秩近似性能，這樣可以看出它們的差異。

主要通過對比實驗1和實驗2來分析比較實數(shù)矩陣和復(fù)數(shù)矩陣TSVD低秩近似性能的最優(yōu)方案，實驗數(shù)據(jù)如表1和圖6所示。

表1 復(fù)數(shù)矩陣

圖6 實驗1和實驗2對比結(jié)果

由實驗數(shù)據(jù)可知，復(fù)數(shù)矩陣的低秩近似性能要高于實數(shù)矩陣，同時得出選取左鄰域來擴(kuò)展傳統(tǒng)矩陣具有更高的低秩近似性能。將二階矩陣的t-scalar進(jìn)行高階擴(kuò)展得到高階廣義復(fù)數(shù)矩陣，并對得到的廣義復(fù)數(shù)矩陣再選取3鄰域得到更高階廣義復(fù)數(shù)矩陣，如實驗3至實驗6，并分析其低秩近似性能，得到結(jié)果如表2和圖7所示。

表2 高階復(fù)數(shù)矩陣

圖7 實驗3至實驗6高階復(fù)數(shù)矩陣對比結(jié)果

由實驗數(shù)據(jù)可知，廣義實數(shù)矩陣的低秩近似效果要高于利用鏡像對稱關(guān)系進(jìn)行t-scalar的選取擴(kuò)展為廣義復(fù)數(shù)矩陣的近似效果；而通過對各元素求3×3鄰域增加t-scalars的階數(shù)所形成的廣義復(fù)數(shù)矩陣的低秩近似效果要高于高階實數(shù)所求的峰值信噪比，且峰值信噪比與t-scalars的階數(shù)成正比關(guān)系。

另一種擴(kuò)展方式為指數(shù)增長，以Mona Lisa圖像為樣本，在傳統(tǒng)矩陣的基礎(chǔ)上對各元素以線性增長方式與指數(shù)增長方式求3×3或3×3×3×3鄰域，比較利用線性增長方式與指數(shù)增長方式擴(kuò)展后圖像的低秩近似效果，實驗結(jié)果如表3和圖8所示。

表3 線性增長與指數(shù)增長方式擴(kuò)展后的低秩近似效果

圖8 線性增長與指數(shù)增長方式近似效果

由實驗數(shù)據(jù)得出，在傳統(tǒng)矩陣的基礎(chǔ)上對各元素求左鄰域，將原始矩陣和領(lǐng)域矩陣作為實部和虛部并重新組合成二階復(fù)數(shù)矩陣，并以指數(shù)增長的方式對各元素求3×3鄰域或3×3×3×3鄰域，可得到最優(yōu)的低秩近似結(jié)果。

3 結(jié) 語

為證明所采用的廣義復(fù)數(shù)矩陣在高階圖像分析中的應(yīng)用，本文通過實驗分析廣義矩陣算法和廣義復(fù)數(shù)算法，將原始線性增長方式改進(jìn)為指數(shù)增長，再進(jìn)行低秩近似和重建。實驗數(shù)據(jù)表明，在高階圖像分析方面，廣義復(fù)數(shù)矩陣算法與實數(shù)矩陣算法相比，圖像的低秩重建效果更具有明顯的優(yōu)越性，指數(shù)增長方式與線性增長方式相比亦具有明顯的優(yōu)越性。將其應(yīng)用于高階圖像分析，易得出在二階復(fù)數(shù)矩陣的基礎(chǔ)上以指數(shù)增長的方式擴(kuò)展為高階廣義復(fù)數(shù)矩陣可得到最優(yōu)的低秩近似結(jié)果。