◇ 馬中明

解題后的反思是幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)、提高分析和解決問題能力的重要方式，但反思的內(nèi)容是什么，眾說紛紜．教學(xué)中，筆者采用反思不同解法、反思解法優(yōu)化、反思一般結(jié)論、反思問題根源等方式，取得了較好的教學(xué)效果．現(xiàn)以人教A版教材中一道數(shù)列習(xí)題為例談解題后的反思，與廣大同行分享．

1 問題呈現(xiàn)

例1(人教A版數(shù)學(xué)《必修5》數(shù)列習(xí)題)已知數(shù)列{an}，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，對(duì)這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式?

本題是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的遞推關(guān)系an＋1＝f(an)后，出現(xiàn)的一道三項(xiàng)遞推關(guān)系問題．對(duì)于兩項(xiàng)遞推關(guān)系問題，我們常采用構(gòu)造法，構(gòu)造出特殊的等差或等比數(shù)列再求解．其實(shí)，對(duì)于三項(xiàng)遞推關(guān)系同樣可以采用這種方法．

2 問題解答

根據(jù)an＝2an－1＋3an－2(n≥3)的結(jié)構(gòu)特殊，將等式兩 端 同 時(shí) 減3an－1，得an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，進(jìn)而可得數(shù)列{an＋1－3an}是以a2－3a1＝－13為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列，所以an＋1－3an＝－13×(－1)n－1，進(jìn)而得出相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系．

將式an＋1－3an＝－13×(－1)n－1兩邊同時(shí)除以

3 解題反思

3.1 反思不同解法

反思1在得出an＋1－3an＝－13×(－1)n－1后，兩邊同時(shí)除以3n＋1，得

反思2如果所給遞推關(guān)系不易觀察出構(gòu)造方法，可利用待定系數(shù)法處理，即令an－san－1＝t(an－1－，從而可得數(shù)列{an＋1－san}是以a2－sa1為首項(xiàng)，t為公比的等比數(shù)列．

此方法在“反思一般結(jié)論”中有詳細(xì)說明，此處不再贅述．

3.2 反思解法優(yōu)化

反思3將an＝2an－1＋3an－2(n≥3)兩端同時(shí)減3an－1，得an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，進(jìn)而可得數(shù)列{an＋1－3an}是以a2－3a1＝－13為首項(xiàng)，公比為－1的等比數(shù)列，所以

將an＝2an－1＋3an－2(n≥3)兩端同時(shí)加an－1，可得an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，進(jìn)而可知數(shù)列{an＋1＋an}是以a1＋a2＝7為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＋an＝7×3n－1，與式①相減得

3.3 反思一般結(jié)論

反思4將問題推廣到一般情況，即已知數(shù)列{an}的前兩項(xiàng)為a1，a2，且an＝pan－1＋qan－2(n≥3，p，q為非零常數(shù))，求{an}的通項(xiàng)公式．

解設(shè)an－san－1＝t(an－1－san－2)，與原式對(duì)照得s＋t＝p，st＝q，進(jìn)而可得即{an＋1－san}是首項(xiàng)為a2－sa1、公比為t的等比數(shù)列，所以an＋1－san＝(a2－sa1)tn－1．兩邊同除以sn＋1得疊加得即

3.4 反思問題根源

反思5本題的根來源于著名數(shù)列——斐波那契數(shù)列，F(xiàn)1＝1，F(xiàn)2＝1，F(xiàn)n＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)．

解利用一般結(jié)論中的求解方法，s＋t＝1，st＝－1，構(gòu)造一元二次方程x2－x－1＝0，解得s＝代入一般結(jié)論中可得斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式

綜上，針對(duì)不同的問題，反思的視角往往也不盡相同，教學(xué)中教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，這對(duì)學(xué)生知識(shí)的鞏固及能力的培養(yǎng)都大有益處．

3.5 反思問題的變式

反思6已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈且當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

解利用反思3中的構(gòu)造法，將4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，變 形 得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1，即