◇ 薛玉財(cái)

在高中數(shù)學(xué)中，幾何一直是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，據(jù)筆者不完全統(tǒng)計(jì)顯示，21%的學(xué)生對(duì)幾何較為了解，28%的學(xué)生對(duì)幾何沒有學(xué)習(xí)興趣，6%的學(xué)生能夠接受幾何的學(xué)習(xí)，45%的學(xué)生在老師講解下能夠聽懂一些基礎(chǔ)知識(shí)．在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)的邏輯思維能力和計(jì)算能力是比較重要的，其中幾何是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)．為了幫助學(xué)生更好地理解幾何知識(shí)，攻克幾何難點(diǎn)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，教師需要在教學(xué)過程中設(shè)定問題情境，幫助學(xué)生探析幾何內(nèi)容，而合適的教學(xué)方法則是幾何教學(xué)中的重點(diǎn)．本文以設(shè)定幾何的問題情境為例，探析幾何的教學(xué)方法．

1 激發(fā)學(xué)生對(duì)幾何的學(xué)習(xí)興趣

高中階段幾何分為解析幾何和立體幾何兩部分，在進(jìn)行幾何教學(xué)的過程中，幾何問題考查的大部分是基本公式和定理的運(yùn)用．例題中常出現(xiàn)曲線知識(shí)，例如圓、雙曲線、拋物線、橢圓等問題，有的還會(huì)運(yùn)用初中的知識(shí)，這就要求教師在教學(xué)過程中，注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和運(yùn)用．幾何知識(shí)的掌握都是從點(diǎn)、線、面的認(rèn)識(shí)開始，了解并掌握關(guān)于點(diǎn)、線、面的基礎(chǔ)方程式對(duì)求解幾何問題是有很大幫助的．

在解析幾何中，以直線方程中兩條直線的位置關(guān)系為例，在同一水平面上分別存在兩條直線，但兩條直線運(yùn)行會(huì)出現(xiàn)不同的運(yùn)行軌跡，分析并討論這兩條直線運(yùn)行中會(huì)出現(xiàn)什么情況，它們的關(guān)系又是怎樣的，如何去表達(dá)兩條直線的位置關(guān)系．在兩條直線運(yùn)行過程中會(huì)出現(xiàn)以下幾種位置關(guān)系，如表1．設(shè)兩直線的方程分別為或當(dāng)時(shí)，兩直線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組或的解．

表1

注意1)對(duì)于平行和重合的直線，它們的法向量平行．如:(A1，B1)·(A2，B2)＝0．

2)如果兩直線的斜率都不存在，則兩直線平行；如果一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，則兩直線垂直．

3)對(duì)于A1A2＋B1B2＝0來說，無論直線的斜率是否存在，該式都成立．

4)斜率相等時(shí)，兩直線平行或重合；但兩直線平行或重合時(shí)，斜率不一定相等，斜率有可能不存在．

在教學(xué)過程中設(shè)定情境問題，讓學(xué)生主動(dòng)觀察并思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情．教師講解問題時(shí)，由淺入深，由點(diǎn)到面地進(jìn)行教學(xué)，便于學(xué)生深入了解．

2 培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力

立體幾何是比較抽象的，教師進(jìn)行教學(xué)時(shí)可以充分利用模型教具，幫助學(xué)生構(gòu)建空間圖形，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力．也可以讓學(xué)生動(dòng)手制作空間幾何模型，了解立體幾何，提升空間想象力，不斷提高學(xué)生對(duì)立體幾何問題的解題能力．

圖1

例1如圖1，四棱錐P-ABCD，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底 面ABCD．

(1)證明:PA⊥BD；

(2)若PD＝AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

(2)如圖2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系．則A(1，0，0)，B(0，

圖2

設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則n·因此可取n＝

設(shè)平 面PBC的 法 向 量 為m＝(a，b，c)，則可取，則故二面角A-PB-C的余弦值為

在解決幾何問題時(shí)，教師不要直接幫助學(xué)生解答問題，需引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考問題，這樣不僅可以降低學(xué)生的錯(cuò)題率，還能培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力．

3 及時(shí)總結(jié)，靈活運(yùn)用

幾何學(xué)習(xí)中往往會(huì)出現(xiàn)很多問題，例如解題方法選擇不對(duì)、基礎(chǔ)知識(shí)不牢固、知識(shí)結(jié)構(gòu)不完整等，這需要學(xué)生在遇到問題時(shí)及時(shí)總結(jié)和歸納，做題時(shí)規(guī)范表述，找出解題規(guī)律，通過對(duì)問題不斷地總結(jié)，攻克難點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)的質(zhì)量．

例2雙曲線上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離是5，則下面結(jié)論正確的是( )．

A．P到左焦點(diǎn)的距離為6

B．P到左焦點(diǎn)的距離為15

C．不存在點(diǎn)P

D．P到左焦點(diǎn)的距離不確定

教學(xué)時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生容易出現(xiàn)如下兩種錯(cuò)誤解法．

錯(cuò)解1設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝±10．因?yàn)閨PF2|＝5，所以|PF1|＝|PF2|＋10＝15，故B正確．

錯(cuò)解2設(shè)P(x0，y0)為雙曲線右支上一點(diǎn)，則|PF2|＝ex0－a，由a＝5，|PF2|＝5，得ex＝10．所以|PF1|＝ex0＋a＝15，故B正確．

正解若|PF2|＝5，|PF1|＝15，則|PF1|＋|PF2|＝20，而|F1F2|＝2c＝26，即|PF1|＋|PF2|＜|F1F2|．這與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，可見這樣的點(diǎn)P是不存在的．因此，正確的結(jié)論為C．

在幾何教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，增強(qiáng)學(xué)生空間想象能力，才能提高教學(xué)質(zhì)量．