◇ 彭 暉

數(shù)學(xué)解題，必須謹(jǐn)防誤區(qū)，定積分問題也不例外．那么定積分問題中，有哪些誤區(qū)值得我們格外注意呢?為了讓學(xué)生防患于未然，筆者歸納如下，供讀者參考．

1 搞錯區(qū)間端點(diǎn)

定積分的計(jì)算體現(xiàn)無限分割、化整為零的思想，而分割后的每一個小區(qū)間必須表達(dá)準(zhǔn)確．因?yàn)檫@是利用定義求定積分的前提，不可馬虎．

例1求由拋物線y＝2x2與直線x＝0，x＝t(t＞0)，y＝0所圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，將區(qū)間[0，t]等分成n個小區(qū)間，則第i－1個區(qū)間為( )．

錯解因?yàn)閺膞＝0到x＝t得區(qū)間長度為t，平均分成n份，每個小區(qū)間長度為所以第i－1個區(qū)間為．故選C．

剖析將區(qū)間[0，1]等分成n個小區(qū)間，則第1個小區(qū)間左端點(diǎn)是0，第2個小區(qū)間左端點(diǎn)是依此類推，可知第i個小區(qū)間左端點(diǎn)是，因此將區(qū)間[0，t]n等分后，第i個小區(qū)間的左端點(diǎn)為

正解將區(qū)間[0，t]分成n個相等的小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為故第1個小區(qū)間為第2個小區(qū)間為第3個小區(qū)間為，故第i－1個區(qū)間的左端點(diǎn)為右端點(diǎn)為故選D．

這其實(shí)是一種容易出現(xiàn)的簡單計(jì)算錯誤，唯有仔細(xì)認(rèn)真方可避免此類錯誤．

2 錯用定積分的幾何意義

定積分的幾何意義是求曲邊梯形的面積，但它的值卻有正有負(fù)，位于橫軸下方部分的定積分的值為負(fù)數(shù)，作為面積的值應(yīng)化負(fù)為正，這一點(diǎn)也同樣不容忽視．

例2請用定積分表示由y＝cosx和x軸在0與2π之間圍成的平面圖形的面積．

錯解根據(jù)曲邊梯形的面積計(jì)算和定積分的幾何意義，得所求面積為

剖析畫圖不難發(fā)現(xiàn)，所圍成的平面圖形，部分在x軸上方，部分在x軸下方，其定積分值有的為正，有的為負(fù)，但面積的值均為正，故求x軸下方的面積時(shí)，應(yīng)將其積分值取絕對值．

正解所求面積的積分可分為三個部分，即[0，根據(jù)定積分的幾何意義，所求面積可表示為

當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，若f(x)＜0，則由直線x＝a，x＝b，x軸和曲線f(x)圍成的圖形的面積應(yīng)為

3 忽視積分變量

對于一個含參函數(shù)的積分，必須分清哪個變量是自變量，不可張冠李戴．避免此類錯誤，唯有認(rèn)真審題，不可走馬觀花．

例3

錯解

剖析對于積分變量x來說，被積函數(shù)表達(dá)式f(x)＝t2＋t為常數(shù)，它與f(x)＝x2＋x是不同的．

正解

解決定積分問題時(shí)，審題時(shí)要注意五點(diǎn):一要確定好積分變量；二要清楚積分上、下限；三要明確積分的幾何意義，區(qū)分積分與平面圖形面積的區(qū)別與聯(lián)系；四要會用導(dǎo)數(shù)尋找原函數(shù)；五要用好積分性質(zhì)和微積分基本定理．只有這樣，才可保證計(jì)算不會出錯．

4 被積函數(shù)和積分上下限確定不準(zhǔn)確

求曲邊梯形的面積，必須要確定所在的位置，也就是被積函數(shù)和積分的上限與下限，不可發(fā)生半點(diǎn)偏離，否則難保計(jì)算準(zhǔn)確．

例4求由拋物線y2＝8x(y＞0)與直線x＋y－6＝0及y＝0所圍成平面圖形的面積．

錯解由，得由x＋y－6＝0，得或舍去)．故所求面積

剖析上述錯解在于沒有仔細(xì)分析圖形，導(dǎo)致被積函數(shù)搞錯，積分的上下限弄錯．

圖1

正解先作出所圍成平面圖形的示意圖，如圖1所示，由得于是得到拋物線y2＝8x(y＞0)與直線x＋y－6＝0的交點(diǎn)(2，4)．

方法1(選y為積分變量)

方法2(選x為積分變量)

處理較復(fù)雜的平面圖形的面積，一般用定積分法，但應(yīng)注意以下三點(diǎn):

1)要根據(jù)圖形確定積分變量(選x還是y)，并確定好積分上限和下限；

2)要依據(jù)積分變量確定被積函數(shù)，當(dāng)積分變量為x時(shí)，將圍成平面圖形的上方曲線減去下方曲線，就是被積函數(shù)；當(dāng)積分變量為y時(shí)，將圍成平面圖形的右方曲線減去左方曲線，就是被積函數(shù)；

3)要找準(zhǔn)原函數(shù)．