余貽鑫 ，劉艷麗，秦超，楊添剴

Key Laboratory of Smart Grid of Ministry of Education, Tianjin University, Tianjin 300072, China

1. 引言

長期以來，輸、配電網(wǎng)安全性和穩(wěn)定性的分析方法[1,2]一般都是按指定場景（運行方式，即運行點）在一種或多種故障方式下，由仿真計算得出系統(tǒng)安全或不安全、穩(wěn)定或不穩(wěn)定的結(jié)論，該方法被稱為逐點法。這種方法在電網(wǎng)的分析中仍然發(fā)揮重要作用，但難以對電網(wǎng)的運行狀態(tài)給出整體評價。例如，運行點離穩(wěn)定邊界有多遠以及穩(wěn)定儲備有多大等，都不能通過該方法進行直接快速的度量。在電力系統(tǒng)的一系列最優(yōu)化問題中，如何綜合地考慮潮流約束和各種穩(wěn)定性約束，而又不影響決策速度，始終是個難題。至于概率安全性評估的計算負擔就更加難以想象。

Wu等[3]引入了概率安全性評估的構(gòu)想，以及注入空間上靜態(tài)安全域（SSSR）和動態(tài)安全域（DSR）的概念[4-6]。安全域（security region, SR）方法是在逐點法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種新方法，它從域的角度考慮問題，描述的是整體上可安全穩(wěn)定運行的區(qū)域（如圖1 [7]綠色區(qū)域）。系統(tǒng)運行點與安全域邊界的相對關(guān)系可提供安全裕度和最優(yōu)控制信息，能使電力系統(tǒng)的在線實時安全監(jiān)視、評估與控制更科學(xué)和更有效。本文所介紹的安全域主要是定義在功率注入空間（或決策空間）上的，對于既定的網(wǎng)絡(luò)拓撲和系統(tǒng)元件參數(shù)（以及定義DSR的預(yù)想事故地點與事故清除過程），是唯一確定的，不隨運行狀態(tài)的變化而變化。因此，僅需計算一次安全域邊界（超平面系數(shù)等）并將其存于數(shù)據(jù)庫，供以后分析和計算選用即可，從而不增加在線使用的計算負擔。正是基于這一優(yōu)越性，本文只研究不隨運行狀態(tài)變化而變化的安全域，未涉及基于實時量測所得到的運行狀態(tài)來確定安全域邊界的方法。

電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定問題的數(shù)學(xué)描述[3]不僅包括機電動態(tài)，而且具有特高維和非線性的性質(zhì)，致使難以把握安全域的拓撲學(xué)和幾何學(xué)性質(zhì)。

經(jīng)過以前廣泛深入的研究，對于在狀態(tài)空間上定義的潮流穩(wěn)定區(qū)域（具有鞍節(jié)分叉邊界的區(qū)域）[8]和用微分代數(shù)方程表示的系統(tǒng)的小擾動穩(wěn)定區(qū)域[9]的許多特性已有較清晰的認識。例如，穩(wěn)定區(qū)域不一定是連通的；在感興趣的限定區(qū)域（緊集）內(nèi)，穩(wěn)定區(qū)域的不連通部分的數(shù)量是有限的；存在一些充分條件，保證在正常條件下電力系統(tǒng)的潮流解是唯一的，并且處在穩(wěn)定域內(nèi)。這里所謂的狀態(tài)空間是由節(jié)點電壓幅值和節(jié)點電壓之間的相對角度組成的。為了便于工程應(yīng)用，安全域最好是定義在功率注入空間或決策空間上；對于既定的網(wǎng)絡(luò)拓撲（以及暫態(tài)事故的發(fā)生地點和清除過程）和系統(tǒng)元件參數(shù)，每一個安全域都是連通的和唯一確定的，并且與運行狀態(tài)無關(guān)；安全域里面沒有空洞；安全域邊界面是逐片光滑的。

關(guān)于幾何學(xué)性質(zhì)，早期具有代表性的研究見文獻[6,8-10]。這些研究提出了使用靜態(tài)安全域的內(nèi)截超長方體來近似描述靜態(tài)安全域，這樣的域使用起來非常方便，但保守性較大，往往不能把一些感興趣的安全運行點包含在內(nèi)。故需要開發(fā)精度更高、更便于電力系統(tǒng)安全分析、評估與控制使用的安全域表達式。

圖1. 安全域示意圖[7]。

與此同時，關(guān)于安全域應(yīng)用方法學(xué)方面至今也缺乏系統(tǒng)性的研究，特別是在概率安全評估（風險分析）和具有安全約束的電力系統(tǒng)優(yōu)化等領(lǐng)域。

天津大學(xué)自20世紀80年代[7,11-14]開始并長期堅持了安全域方法學(xué)的研究，取得了系統(tǒng)性的研究成果，其中包括：安全域的動力學(xué)、拓撲學(xué)與幾何學(xué)性質(zhì)；安全域邊界的超平面近似描述與快速計算方法；安全域在實際電力大系統(tǒng)中令人鼓舞的應(yīng)用。這些研究取得了中國國家自然科學(xué)基金、高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金和美國電力科學(xué)研究院（EPRI）項目的支持，且部分成果已被文獻[15]大量引用。本文擬對這些成果進行較為簡明而系統(tǒng)的介紹，并提供這些成果的原始出處。

本文后續(xù)章節(jié)安排如下：第2節(jié)首先以電網(wǎng)穩(wěn)態(tài)運行為例，通過與逐點法的對比解釋了什么是安全域方法，進而定義了安全域的數(shù)學(xué)描述空間。本文主要采用注入空間[3]（有時也用決策空間），其中的每一個點（每個向量）都是在一定假設(shè)條件下由系統(tǒng)中的全部獨立變量組成的。定義安全域的數(shù)學(xué)描述空間是確保所研究的安全域是唯一的和連通的重要條件之一。同時，本節(jié)也討論了調(diào)度員通常關(guān)心的所謂臨界割集空間（盡管在此情況下安全域已不再是唯一確定的）。

第3節(jié)介紹了綜合安全域（IGSR）的組成及其動態(tài)性質(zhì)。首先，給出了兩個基本假設(shè)（假設(shè)1和假設(shè)2），它們將被用于下文的研究中，同時基于這兩個假設(shè)得出兩個事實（命題1和命題2）。它們是確保本文所述的各種安全域是唯一和連通的基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上定義了本文所研究的電力系統(tǒng)的綜合安全域，它是保證潮流安全的SSSR、保證暫態(tài)穩(wěn)定的DSR、保證靜態(tài)電壓穩(wěn)定的安全域（SVSR）和保證小擾動穩(wěn)定的安全域（SDSR）的交集。這些安全域被一一定義，并簡要介紹了一些與安全域研究有關(guān)的動力學(xué)理論。命題3是根據(jù)文獻[16-18]得出的，而命題4至命題7是滿足安全域研究需求的新發(fā)現(xiàn)。它們一起為后續(xù)的安全域的拓撲學(xué)和幾何學(xué)特征研究奠定了理論基礎(chǔ)。

第4節(jié)是本文的核心，給出了4個重要命題（命題8至命題11），用以描述實際的電力系統(tǒng)中與SSSR、DSR、SVSR和SDSR相關(guān)的安全域的拓撲學(xué)性質(zhì)（如安全域是唯一和連通的，不隨運行狀態(tài)的變化而變化，其內(nèi)部無空洞，以及其邊界由有限個光滑的子表面組成）和幾何學(xué)性質(zhì)（如安全域或其邊界的組成，以及在功率注入空間上和工程實際所關(guān)心的范圍內(nèi)，安全域的邊界面可由一個或少數(shù)幾個超平面近似描述等），它們是基于本課題組多年的研究成果歸納出來的。文中通過備注的形式對這4個命題的具體細節(jié)和文獻出處一一做了介紹，其中也涉及了安全域?qū)嵱眠吔缑娴目焖儆嬎惴椒ā?/p>

第5節(jié)系統(tǒng)性地建立了基于安全域超平面邊界的電力系統(tǒng)優(yōu)化問題和電力系統(tǒng)概率安全性分析的新方法。該方法由于可使得全部安全約束均表示為目標函數(shù)中決策變量（即節(jié)點功率注入）的線性組合不等式，致使：①一大類電力系統(tǒng)安全約束下最優(yōu)化問題求解難的問題變得極其簡易；②可從數(shù)學(xué)上把概率安全性評估中n維變量的概率密度函數(shù)的n重積分問題轉(zhuǎn)化為一維概率分布函數(shù)的閾值比較問題。從而可使這兩大類問題的在線計算速度按數(shù)量級提升。為了給讀者提供關(guān)于安全域本身的計算負擔和應(yīng)用中所能節(jié)省的計算負擔的概念，本節(jié)給出了應(yīng)用示例。同時本節(jié)也證實，基于超平面邊界的安全域易于實現(xiàn)可視化和快速確定安全裕度，是態(tài)勢感知的有力工具。第6節(jié)為結(jié)論。

2. 什么是安全域方法？

我們以電網(wǎng)穩(wěn)態(tài)運行為例來解釋什么是安全域方法。為此，首先介紹一下逐點法[7]。

2.1. 逐點法

設(shè)網(wǎng)絡(luò)由n + 1個節(jié)點和nb條支路組成，其中，編號0～ng為發(fā)電機節(jié)點，且節(jié)點0為參考節(jié)點，編號ng+ 1到n為負荷節(jié)點。用G ? {0, 1, 2, ..., ng}表示發(fā)電機節(jié)點的集合，用L ? {ng+ 1, ..., n}表示負荷節(jié)點的集合，用N ?{0, 1, 2, ..., n}表示全部節(jié)點的集合，用B ? {1, 2, ..., nb}表示全部支路的集合，用黑斜體表示向量。因此，電力系統(tǒng)的潮流方程如下：

式中，Pi和Qi分別為節(jié)點i的有功功率注入與無功功率注入；Vi和Vj分別為節(jié)點i和j的電壓幅值；θi和θj分別為節(jié)點i和j的電壓相角；θij= θi- θj為支路ij的支路角；Gij和Bij分別為節(jié)點導(dǎo)納矩陣的第i行、第j列元素的實部和虛部。系統(tǒng)中有n + 1個節(jié)點，每個節(jié)點有Pi、Qi、Vi和θi4個變量，因此，潮流方程共涉及4n + 4個變量；但根據(jù)式（1a）和式（1b），只可列寫2n + 2個等式方程。為了使得潮流方程可解，通常對每個節(jié)點i指定兩個變量，計算另兩個變量。例如，對于負荷節(jié)點i，通常指定其Pi和Qi，計算Vi和θi。鑒于潮流方程中只出現(xiàn)支路角θij，所以，式（1a）和式（1b）中獨立變量只有2n + 1，即系統(tǒng)中有一個節(jié)點的角度是可以任意指定的，且僅當指定一個節(jié)點的角度（如把參考節(jié)點的角度指定為θ0= 0）之后，其他節(jié)點的角度才可確定。

在輸電系統(tǒng)中，鑒于支路導(dǎo)納Gij≈ 0，并且支路角θij很小，使得sinθij≈ θij、cosθij≈ 1，式（1a）和式（1b）可以簡化為解耦潮流方程，如下所示。

在正常運行條件下，由于節(jié)點電壓的標幺值Vi≈ 1(?i∈N)，式（2a）可變成如下的直流潮流方程。

式（2c）清晰地顯示了節(jié)點有功功率注入Pi和支路角θij(?i,j∈N)之間的線性關(guān)系。式（1a）和式（1b），以及式（2a）和式（2b）均可表示為形如

的等式約束。

此外，還有關(guān)于潮流的一些運行約束，如各節(jié)點的電壓幅值、各支路的電流、發(fā)電機和負荷的有功功率和無功功率以及各支路的支路角，都要處在一定的范圍之內(nèi)。如式（3a）～（3c）所示。

或更一般地寫為

約束潮流問題是尋求滿足等式約束F(x) = 0和不等式約束G(x) ≤ 0的解。圖2（a）和圖2（b）[7]分別為x = (x1, x2)T的簡單二維情況下有解和無解的示意圖。圖中曲線為F(x) = F(x1, x2) = 0的解，矩形為x1m≤x1≤x1M和≤x2≤x2M所構(gòu)成的約束范圍，對應(yīng)于G(x) ≤ 0。

處理這類問題時，我們使用傳統(tǒng)的變量分離法，具體包括以下4個步驟：

（1）把狀態(tài)變量分為x = (xαT, xβT)T；

（2）指定滿足xβm≤xβ≤xβM的xβ；

（3）解F(x) = 0，求xα；

（4）校核xα是否滿足xαm≤xα≤xαM。如果滿足，則xα為約束潮流的可行解，或稱xβ是靜態(tài)安全的。

具體地說，潮流安全校驗包括如下4個步驟：

式中，R是實數(shù)域；xβ是潮流方程的指定變量；xα1是潮流方程的解；xα2是可由xβ和xα1按潮流方程直接計算得到的變量；xα3是可由xβ和xα1計算得到的變量，但不是潮流方程中出現(xiàn)的變量，它可以按下式計算：

式中，Ik、ΔVk和yk分別為支路k的電流、電壓降和支路導(dǎo)納。

（2）指定滿足xβm≤xβ≤xβM的xβ；

（3）聯(lián)立解如下的潮流方程：

求得xα1。然后再用式（6a）計算P0，用式（6b）計算Q0, ... ,Qng，從而得到xα2，進而用式（5）計算xα3。

（4）校驗xα1、xα2和xα3是否滿足下列三個約束。

如果式（7a）～（7c）均能滿足，則稱指定的xβ（如圖3 [7]中的點a）是靜態(tài)安全的；反之如果式（7a）～（7c）中有任一約束得不到滿足，則稱指定的xβ（如圖3 [7]中的點b）是不安全的。既然指定的xβ只是其所在空間上的一個點，所以這種安全檢驗方法被稱為逐點法，該方法是目前電力系統(tǒng)靜態(tài)安全分析中廣泛使用的方法。

圖2. 約束潮流問題示意圖。（a）有滿足安全約束的解；（b）無滿足安全約束的解。

2.2. 安全域的概念

安全域[7]所描述的是xβ所處空間內(nèi)系統(tǒng)可安全運行的整體區(qū)域，如圖3 [7]中的整個陰影部分，該部分中任何一點（如點a）對應(yīng)的xβ用逐點法檢驗都是安全的，該部分外任何一點（如點b）對應(yīng)的xβ用逐點法檢驗都是不安全的。

2.3. 安全域的定義空間

在上述潮流計算中，式（4a）所定義的xβ空間稱為決策空間。由于決策空間與潮流計算的指定變量空間一致，所以其常被用于電力系統(tǒng)態(tài)勢感知和調(diào)度員直觀決策。但在安全域的研究中也常常采用功率注入空間，該空間是如下向量所在的空間：

式中，P和Q分別為有功注入功率向量和無功注入功率向量。

也有文獻采用電流注入空間來定義安全域，它是如下向量所在的空間：

式中，IP和IQ分別是節(jié)點的有功注入電流和無功注入電流；IPi和IQi分別是節(jié)點i的有功和無功注入電流，對應(yīng)于Vi≈ 1(?i∈N)的場景。在電力系統(tǒng)運行優(yōu)化中，在式（8a）所示的功率注入空間中所定義的安全域表達式，常比在式（4a）所示的決策空間中所定義的安全域表達式方便。而式（8b）則只用于定性研究。

下邊結(jié)合工程實際應(yīng)用的需求，對式（4a）和式（8a）所定義的空間做如下說明。

（1）當按照潮流計算的習(xí)慣，把參考節(jié)點的復(fù)電壓(V0, θ0)指定為常值時，功率注入空間和決策空間可分別用如下兩個向量表示：

式中，PG為發(fā)電機節(jié)點有功注入功率向量；QG為發(fā)電機節(jié)點無功注入功率向量；PL為負荷節(jié)點有功注入功率向量；QL為負荷節(jié)點無功注入功率向量；VG為發(fā)電機節(jié)點電壓幅值向量。

在下文中，我們主要采用式（8c）和（8d）所示的向量空間定義安全域。此時需切記它們已經(jīng)指定了(V0,θ0)。

（2）如果指定更多的變量為常量，那么安全域的維數(shù)可以降低，從而有利于計算、分析或可視化，但一定要注意，該安全域是在指定條件下的安全域。例如，對于高壓交流電網(wǎng)，可以假設(shè)電網(wǎng)中無功功率就地平衡，有功功率的改變對電壓水平影響很小，從而可以只研究有功功率注入空間上的安全域。由于網(wǎng)損很小，所以網(wǎng)絡(luò)中只有n個有功功率注入是獨立變量，此時

在與大型輸電網(wǎng)暫態(tài)功角穩(wěn)定性相關(guān)的安全域的研究中，常會用到式（8e）。

圖3. 靜態(tài)安全域示意圖[7]。

需要強調(diào)的是，對于既定的注入功率向量，僅當設(shè)定了參考節(jié)點的復(fù)電壓（如V0= 1，θ0= 0）后潮流解才是唯一確定的。

（3）針對高壓交流電力系統(tǒng)的物理特點，以及潮流方程依據(jù)節(jié)點有功功率注入與相角間的關(guān)系和節(jié)點無功功率注入與電壓幅值間的關(guān)系解耦的特點，將式（8c）分為有功功率注入空間和無功功率注入空間。因此，可在指定有功功率注入或相角條件下研究無功功率注入空間上的靜態(tài)安全域，在指定無功功率注入或電壓幅值的條件下研究有功功率注入空間上的靜態(tài)安全域。這樣不僅可使安全域空間維數(shù)降低，還可得出一些十分清晰的物理概念。

請注意，前述所有x都是在一定假設(shè)條件下由系統(tǒng)中全部獨立的變量所組成的向量，這是它們所處空間可作為安全域定義空間的基礎(chǔ)。本文將把式（8a）、（8c）和（8e）及進一步降維的向量所處的空間統(tǒng)稱為功率注入空間，而將式（8d）所對應(yīng)的空間統(tǒng)稱為決策空間。

此外，由于電力系統(tǒng)調(diào)度員也常常關(guān)心系統(tǒng)某些關(guān)鍵斷面（割集）上的功率傳輸極限，因此本文在采用決策空間和功率注入空間的同時，視需要也采用了臨界割集空間。所謂割集是指把連通圖分割為兩個子圖的最小支路集。在后續(xù)研究中有如下兩種典型的臨界割集：①暫態(tài)功角穩(wěn)定研究中的臨界割集，它是事故前系統(tǒng)的臨界割集，由事故后網(wǎng)絡(luò)的臨界割集（即系統(tǒng)功角解列的割集）和因保護動作而切除的支路兩部分組成（前提是這兩部分可組成割集）；②描述SVSR的臨界割集，它是系統(tǒng)中一個完整的割集并將系統(tǒng)分為互不連通的兩部分，即電壓穩(wěn)定弱節(jié)點集與電壓穩(wěn)定非弱節(jié)點集，如圖 4 [7]所示。在暫態(tài)穩(wěn)定研究中，區(qū)域1表示非臨界節(jié)點集，區(qū)域2表示臨界節(jié)點集。在靜態(tài)電壓穩(wěn)定研究中，區(qū)域1表示系統(tǒng)的非弱節(jié)點集，區(qū)域2表示系統(tǒng)的弱節(jié)點集。需要注意，在一個大型電力系統(tǒng)中可能存在多個臨界割集。

圖4. 臨界割集示意圖[7]。

由于功率注入空間上和決策空間上的安全域的各個變量是可控的，所以這樣的安全域會為電力系統(tǒng)優(yōu)化、概率安全分析與風險評估帶來極大的方便（如下文所述）。然而，從電力系統(tǒng)監(jiān)視和調(diào)度的角度看，電力系統(tǒng)調(diào)度部門，尤其是互聯(lián)系統(tǒng)的調(diào)度部門，更傾向于監(jiān)視系統(tǒng)中若干斷面（割集）上的傳輸功率，因為其維數(shù)很低，一目了然。

3.安全域的構(gòu)成和動力學(xué)性質(zhì)

下文將采用如下假設(shè)：

假設(shè)1.設(shè)定參考節(jié)點的電壓，即V0≈ 1，θ0≈ 0。

假設(shè)2.在研究前述xβ所處的空間上的安全域時，僅考慮在從正常初始運行點xβ0以準穩(wěn)態(tài)的形式緩慢增長（向外連續(xù)擴展）過程中首次遇到的安全域邊界所包圍的范圍。

命題1.在假設(shè)1下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運行狀態(tài)(xα1,xα2)與xβ一一對應(yīng)。

命題2.在假設(shè)2下，在xβ所定義的空間中，對于既定的網(wǎng)絡(luò)拓撲和系統(tǒng)元件參數(shù)，安全域的邊界是唯一確定的。

如圖5 [18]所示，電力系統(tǒng)的綜合安全域（用符號Ω表示）是SSSR（用符號ΩSS表示）、SVSR（用符號ΩSV表示）、SDSR（用符號ΩSD表示）和DSR（用符號Ωd表示）的交集，即

命題3.當且僅當系統(tǒng)的運行點xβ處于Ω內(nèi)時，系統(tǒng)是安全的[17,18]。

3.1. 保證潮流安全的靜態(tài)安全域（ΩSS）

圖5. 綜合安全域（虛線方格區(qū)）示意圖[18]。

對于既定的網(wǎng)絡(luò)拓撲和系統(tǒng)元件參數(shù)，ΩSS是功率注入空間或決策空間上可滿足潮流方程F(x) = 0和約束條件G(x) ≤ 0的全部xβ的集合，其形式如下：

或

亦或

式中，xβ在指定參考節(jié)點電壓的情況下，由式（8a）～（8d）定義，其他安全域定義如下：

顯然，式（9b）和（9c）可以被進一步分解成

式中，節(jié)點有功功率和無功功率注入的上下限的約束條件[如式（9e）中的RP和RQ]，是給定的超長方體，無需進一步研究；

是指當V∈RV時由式（9b）所定義的功率注入空間上的熱穩(wěn)定安全域；

是指當Il∈Rl時由式（9b）所定義的功率注入空間上的靜態(tài)電壓安全域；

是指當V∈RV時由式（9c）所定義的決策空間上的熱穩(wěn)定安全域；

是指當Il∈Rl時由式（9c）所定義的決策空間上的靜態(tài)電壓安全域。

3.2. 保證小擾動穩(wěn)定的安全域（ΩSD）

對于既定的網(wǎng)絡(luò)拓撲和系統(tǒng)元件參數(shù)，SDSR是定義在功率注入空間上的確保電力系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定性的全部點集。

電力系統(tǒng)模型通?？捎萌缦碌奈⒎?代數(shù)方程（differential-algebra equation, DAE）表示[7,19-21]：

式中，xs∈Rm為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；xα∈Rl為系統(tǒng)的代數(shù)變量；為系統(tǒng)的控制變量[如式（8c）]。對于一個給定的xβ，系統(tǒng)平衡點集合EPs(xβ)可定義為

小擾動穩(wěn)定是針對電力系統(tǒng)的EPs來定義的。假設(shè)(xs0, xα0)∈EPs，將式（10）在(xs0, xα0)附近線性化，具體如下式所示。

當矩陣D(xβ)非奇異時，消去式（10c）中的Δxα，上式可簡化為

注1：由式（10d）和非線性系統(tǒng)理論可給出如下重要概念：

（1）當矩陣D(xβ)非奇異時，當且僅當矩陣A～(xβ)的全部特征值都具有負實部，式（10）所描述的系統(tǒng)在(xs0,xα0)處小擾動穩(wěn)定；當矩陣D(xβ)非奇異和A～(xβ)的特征值隨xβ連續(xù)變化時，若A～(xβ)的某一實特征值λ由負變正，則稱特征值λ = 0對應(yīng)的點xβ'為式（10）所描述系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔（saddle-node bifurcation, SNB）點，之后式（10）所描述的系統(tǒng)將以單調(diào)方式失去小擾動穩(wěn)定。

（2）若D(xβ)的一對共軛特征值λ = a ± jb (b ≠ 0)的實部a由負變正，則稱特征值λ = ± jb對應(yīng)的點xβ'為式（10）所描述的系統(tǒng)的Hopf分岔（HB）點，在此點后，式（10）所描述的系統(tǒng)將以振幅不斷增大的持續(xù)振蕩方式失去小擾動穩(wěn)定。

（3）矩陣D(xβ)并非總是非奇異的，在某些情況下它也會變成奇異，此時就無法消去方程（10c）中的變量Δxα，從而無法得到式（10d）。此時使D(xβ)奇異的點xβ'被稱為式（10）所描述的系統(tǒng)的奇異誘導(dǎo)分岔（singularity induced bifurcation, SIB）點。在此點處，D(xβ)有一個實特征值μ在奇異誘導(dǎo)分岔點處變號。在μ過零點時，A～(xβ)有一個特征值λ改變了符號，并由一端的無窮大突變?yōu)榱硪欢说臒o窮大（如+∞→-∞或-∞→+∞）。對于矩陣A～(xβ)有一個特征值λ由-∞→+∞的情況，系統(tǒng)失去小擾動穩(wěn)定，并表現(xiàn)為單調(diào)失穩(wěn)。

因此，在功率注入空間（即參數(shù)空間）R2n上，保證系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定的安全域定義如下：

關(guān)于ΩSD邊界（用?ΩSD表示）的研究，除鞍結(jié)分岔、Hopf分岔和奇異誘導(dǎo)分岔外，還涉及混沌現(xiàn)象的研究[19-21]。對此有如下的命題4。

命題4.混沌出現(xiàn)于SDSR的分岔臨界面之外。

備注：依據(jù)文獻[21]，電力系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象是由單周期分岔進一步發(fā)展而成的，混沌現(xiàn)象在電力系統(tǒng)中很可能作為較大或大擾動失穩(wěn)過程中的一個中間階段。圖6給出了混沌誘發(fā)不穩(wěn)定、崩潰的幾種方式。如果（依假設(shè)2）SDSR的臨界面是在功率注入空間上，在從正常運行點向外擴展（即系統(tǒng)負荷逐漸增大）中首次遇到的邊界，則混沌現(xiàn)象僅在電力系統(tǒng)中SDSR的Hopf分岔的界面之外出現(xiàn)（即不會出現(xiàn)混沌先于Hopf分岔發(fā)生的現(xiàn)象）。既然電力系統(tǒng)的安全運行是不容許Hopf分岔出現(xiàn)的，所以也就無需再研究混沌。如果在功率注入空間上，在從正常運行點向外擴展中首次遇到的臨界面對應(yīng)的是鞍結(jié)分岔或奇異誘導(dǎo)分岔所形成的非周期失穩(wěn)，未出現(xiàn)Hopf分岔的單周期振蕩，則混沌現(xiàn)象也就不會出現(xiàn)。所以在SDSR的研究中不必過多研究混沌，從而大大縮小ΩSD的搜索空間。

圖6. 混沌誘發(fā)不穩(wěn)定、崩潰的幾種方式。

在不考慮混沌之后，同時注意到式（11）并未假設(shè)D(xβ)非奇異，因而可以得出系統(tǒng)ΩSD的邊界如下[23]所示：

注2：近年來靜態(tài)電壓穩(wěn)定問題是電力系統(tǒng)十分關(guān)切的問題。關(guān)于電壓穩(wěn)定的定義有兩種，其一是國際大電網(wǎng)會議（CIGRE）電壓穩(wěn)定專門工作組給出的，該定義是基于小擾動穩(wěn)定分岔理論給出的，因而屬于前述的SDSR的范疇。另一種被普遍采用的定義是國際電氣與電子工程師協(xié)會（IEEE）給出的，它把電壓穩(wěn)定性定義為系統(tǒng)維持電壓的能力。當負荷導(dǎo)納增大時，負荷功率亦隨之增大，并且功率和電壓都是可控的。如圖7 [7]所示，對于一般的ZIP型靜態(tài)負荷模型（恒阻抗、恒電流和恒功率負荷模型），系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔點（潮流方程的Jacobian矩陣的奇異點）位于P-V曲線的下半分支。由于P-V曲線的下半分支的負荷導(dǎo)納的增大將導(dǎo)致負荷功率減小，故依照IEEE電壓穩(wěn)定性定義，下半分支屬于不穩(wěn)定區(qū)域。因而，僅考慮P-V曲線上半部分分支，即以P-V曲線鼻尖點（即fold分岔點）作為靜態(tài)電壓穩(wěn)定的臨界點。而該點也正是在恒功率負荷模型下得到的系統(tǒng)鞍結(jié)分岔點（潮流方程Jacobian矩陣的奇異點），因此本文在計算靜態(tài)電壓穩(wěn)定性安全域邊界時只需考慮恒功率負荷模型。

命題5.不是所有的鞍結(jié)分岔點都是小擾動電壓穩(wěn)定域的邊界面上的點。

備注：文獻[24]通過分岔分析與兩步法分析所得的結(jié)論如下：

（1）如果應(yīng)用恢復(fù)型動態(tài)負荷而且不考慮發(fā)電機等其他元件的動態(tài)的話，從小擾動分析中得到的系統(tǒng)電壓穩(wěn)定極限點，即鞍結(jié)分岔點與基于穩(wěn)態(tài)恒功率負荷模型的CPF得到的Fold分岔點（P-V曲線的鼻尖點）是完全一致的，那么此時潮流可行域邊界與小擾動電壓穩(wěn)定域的鞍結(jié)分岔邊界重合。而考慮具體的動態(tài)負荷，以及發(fā)電機及其調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動態(tài)后，很有可能在Fold分岔點之前就出現(xiàn)鞍結(jié)分岔點。也就是說，在保證平衡點存在性的潮流可行域內(nèi)部，仍有可能存在微分-代數(shù)方程系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔點。

（2）這些鞍結(jié)分岔點不一定會造成系統(tǒng)出現(xiàn)電壓崩潰。不是所有的鞍結(jié)分岔點都可以作為小擾動電壓穩(wěn)定域的邊界點。鞍結(jié)分岔點的性質(zhì)還要根據(jù)系統(tǒng)的具體情況進行分析。當負荷中感應(yīng)電動機所占比重較大時，通過時域仿真確定鞍結(jié)分岔點的性質(zhì)，對最終確定SDSR邊界是非常必要的。

命題6.負荷中感應(yīng)電動機的存在可能使該系統(tǒng)在參數(shù)變化導(dǎo)致鞍結(jié)分岔類型的電壓失穩(wěn)之前不出現(xiàn)Hopf分岔。

圖7. P-V曲線上的奇異點[7]。①是系統(tǒng)P-V曲線；②是ZIP負荷模型的特性曲線；③是恒功率負荷模型的特性曲線。

備注：理論研究中普遍在鞍結(jié)分岔點之前出現(xiàn)Hopf分岔點，然而這種電壓振蕩失穩(wěn)現(xiàn)象在電壓失穩(wěn)的實際錄波中卻很少發(fā)現(xiàn)，實際系統(tǒng)的電壓失穩(wěn)現(xiàn)象往往都是電壓單調(diào)下降的崩潰模式——與鞍結(jié)分岔密切相關(guān)。有學(xué)者認為，可能是由于系統(tǒng)中運行限值的存在使得系統(tǒng)在到達無約束系統(tǒng)的Hopf分岔點之前就發(fā)生了單調(diào)型的電壓崩潰。這一情況被稱為限值誘導(dǎo)分岔（limit induced bifurcation, LIB），因此，在系統(tǒng)的小擾動電壓穩(wěn)定安全域邊界上不出現(xiàn)Hopf分岔點。但實際上，很多電壓失穩(wěn)事故不一定由設(shè)備的運行限值引發(fā)。根據(jù)文獻[24]，感應(yīng)電動機的存在可能使得系統(tǒng)在參數(shù)變化導(dǎo)致鞍結(jié)分岔類型的電壓失穩(wěn)之前不出現(xiàn)Hopf分岔及其引發(fā)的電壓振蕩現(xiàn)象，故當系統(tǒng)負荷中有很高比例的感應(yīng)電動機負荷時，可以在其小擾動電壓穩(wěn)定安全域邊界研究中重點考慮鞍結(jié)分岔而非Hopf分岔點。

圖8給出了電壓穩(wěn)定極限和失穩(wěn)模式與負荷中感應(yīng)電動機負荷所占比重的關(guān)系。一方面說明了感應(yīng)電動機負荷模型在電壓穩(wěn)定極限計算中有其特殊性，由于負荷中感應(yīng)電動機比重的增加而不出現(xiàn)Hopf分岔；另一方面也說明了基于穩(wěn)態(tài)模型的CPF的結(jié)果（Fold分岔點）與更精確的基于動態(tài)模型的小擾動電壓穩(wěn)定分析的結(jié)果（鞍結(jié)分岔點）之間存在很大的差異，在保證平衡點存在性的潮流可行域內(nèi)部，仍有可能存在微分-代數(shù)方程系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔點。

3.3. 保證暫態(tài)穩(wěn)定的動態(tài)安全域（Ωd）

功率注入空間上電力系統(tǒng)的DSR [7,13]可定義為：

式中，F(xiàn)d為既定的事故；id、jd分別為故障前、后的網(wǎng)絡(luò)拓撲；xτ(xβ)是在事故清除瞬間τ系統(tǒng)的狀態(tài)；S(xβ)是在事故后狀態(tài)空間上環(huán)繞，由注入xβ決定的平衡點xs的穩(wěn)定域。S(xβ)和xs均由xβ決定。請注意，Ωd所確定的是事故前功率注入空間上可確保暫態(tài)穩(wěn)定的全部xβ點集，而在用直接法研究暫態(tài)穩(wěn)定性時，一個注入功率向量xβ（運行點）就會對應(yīng)一個暫態(tài)穩(wěn)定域S(xβ) [19,20]。圖9 [18]說明了Ωd和暫態(tài)穩(wěn)定域S(xβ)的區(qū)別與關(guān)聯(lián)。

故障清除后，在相對加速度等于零時且相角大于π/2的一組發(fā)電機中，如果某些發(fā)電機相對于其他發(fā)電機的相角的變化速度仍大于零，那么這些發(fā)電機就與其他發(fā)電機不同步，電力系統(tǒng)就不能恢復(fù)同步運行。通常將這些發(fā)電機的集合稱為失穩(wěn)機群，而把其他發(fā)電機的集合稱為非失穩(wěn)機群。本文將失穩(wěn)機群和非失穩(wěn)機群的不同劃分，稱為不同的失穩(wěn)模式。

眾所周知，電力系統(tǒng)暫態(tài)功角失穩(wěn)模式與相關(guān)不穩(wěn)定平衡點（controlling unstable equilibrium point, CUEP）密切相關(guān)，系統(tǒng)事故后的軌跡是沿著CUEP的不穩(wěn)定流形演變的。鑒于電力系統(tǒng)失去暫態(tài)功角穩(wěn)定時總是伴隨著系統(tǒng)中某個或某些臨界割集上支路角度急劇地、過大地增長，人們已經(jīng)認識到，電力系統(tǒng)中存在的臨界割集（見注3）與系統(tǒng)模型中存在的不穩(wěn)定平衡點（UEP）是等價的，并提出了割集穩(wěn)定準則。為使人們能夠放心地、正確地運用與臨界割集相關(guān)的穩(wěn)定準則，文獻[25]從理論上嚴格證明了如下命題：

命題7.若暫態(tài)功角相關(guān)不穩(wěn)定平衡點（CUEP）為k型，則網(wǎng)絡(luò)中存在k個臨界割集與之對應(yīng)。

注3：若網(wǎng)絡(luò)中存在一個割集，且屬于該割集的所有支路角（弧度）的絕對值均大于π/2，則稱該割集為臨界割集，其構(gòu)成支路為飽和支路。一個臨界割集把整個網(wǎng)絡(luò)分成為兩個連通的子圖，這兩個子圖分別對應(yīng)兩個節(jié)點群。其中一個節(jié)點群所包含的節(jié)點的電壓相位相對較高，稱為臨界節(jié)點群；另一群節(jié)點則定義為非臨界節(jié)點群[25]。顯然，臨界節(jié)點群中包含且僅包含失穩(wěn)機群中的發(fā)電機。

圖8. 電壓穩(wěn)定極限（a）以及失穩(wěn)模式與負荷中感應(yīng)電動機負荷所占比重之間的關(guān)系（b）。

備注：其對應(yīng)關(guān)系為：

（1）系統(tǒng)中的UEP絕大多數(shù)是1型的。若系統(tǒng)的CUEP是1型雙曲的（見注4），則網(wǎng)絡(luò)中必存在唯一的臨界割集將系統(tǒng)分割成兩部分——一個臨界節(jié)點群和一個非臨界節(jié)點群，它們分別對應(yīng)于失穩(wěn)發(fā)電機群和非失穩(wěn)發(fā)電機群。

（2）若系統(tǒng)的CUEP是k型雙曲的，則網(wǎng)絡(luò)中必存在k個臨界割集與之對應(yīng)。這些臨界割集將系統(tǒng)分割成k個臨界節(jié)點群（即k個失穩(wěn)發(fā)電機群）和一個非臨界節(jié)點群（即一個非失穩(wěn)發(fā)電機群），它們對應(yīng)k個失穩(wěn)模式。

圖10給出了4機11節(jié)點系統(tǒng)中暫態(tài)功角失穩(wěn)模式與系統(tǒng)臨界割集關(guān)系的一個示例。由圖可見，該示例系統(tǒng)的支路6～9發(fā)生事故后，系統(tǒng)將發(fā)生三個發(fā)電機群間的失穩(wěn)。此失穩(wěn)模式對應(yīng)的CUEP是2型的，相應(yīng)的系統(tǒng)中存在由角度差急劇變化的支路10～8和支路7～5構(gòu)成的兩個臨界割集。

利用命題7，使得純粹數(shù)學(xué)的CUEP的抽象概念與網(wǎng)絡(luò)的物理性質(zhì)統(tǒng)一起來，為人們從網(wǎng)絡(luò)拓撲的角度分析電力系統(tǒng)復(fù)雜的失穩(wěn)模式提供了有用信息?；谶@一命題，可以很容易地將割集穩(wěn)定準則推廣到多機群失穩(wěn)的情況，從而建立起修正的割集穩(wěn)定準則，消除原割集穩(wěn)定準則[14]的保守性。

注4：平衡點的基本類型可用這些平衡點附近動態(tài)系統(tǒng)的局部線性化表達式來識別，即一個平衡點的穩(wěn)定類型可以用其線性化動態(tài)矩陣的特征值來決定。假如沒有實部為零的特征值，則把具有正實部特征值的數(shù)目作為該平衡點的指數(shù)。如果該指數(shù)等于零，則在線性近似系統(tǒng)中該平衡點是穩(wěn)定的，常用穩(wěn)定平衡點（SEP）表示。如果該指數(shù)等于k，則稱其為k型不穩(wěn)定平衡點，并用UEP-k表示。通常把動態(tài)系統(tǒng)的局部線性化的只有非零實部特征值的平衡點稱為雙曲平衡點[7]。

4. 安全域幾何學(xué)與拓撲學(xué)特征及其實用邊界的快速計算方法

圖9. DSR和暫態(tài)穩(wěn)定域的區(qū)別與關(guān)聯(lián)[18]。

圖10. 4機11節(jié)點系統(tǒng)接線圖（a）以及在預(yù)想事故下的角度差曲線（b）。

如前所述，潮流安全問題、暫態(tài)穩(wěn)定問題、靜態(tài)電壓穩(wěn)定問題和低頻振蕩問題是電力系統(tǒng)穩(wěn)定校驗中最基本的問題。因此本節(jié)將介紹與之相關(guān)的幾種安全域的幾何學(xué)與拓撲學(xué)特征以及實用邊界的快速計算方法。

在假設(shè)1和假設(shè)2的基礎(chǔ)上，經(jīng)過仿真研究和理論分析已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在實際的電力系統(tǒng)中存在著如下4個關(guān)于上述安全域臨界面的重要命題。

命題8.在功率注入空間上和決策空間上保證輸、配電網(wǎng)絡(luò)潮流安全性的靜態(tài)安全域ΩSS，是保證線路滿足熱穩(wěn)定約束的熱穩(wěn)定安全域ΩT、保證節(jié)點電壓不越限的靜態(tài)電壓安全域ΩV和設(shè)備容量限值所約束的空間范圍的交集。對于既定的網(wǎng)絡(luò)拓撲和系統(tǒng)元件參數(shù)is，其靜態(tài)安全域ΩSS(is)是唯一和連通的，不隨運行狀態(tài)的變化而變化，且其內(nèi)部無空洞。在工程應(yīng)用范圍內(nèi)，在功率注入空間上，ΩT和ΩV都可用一個超多面體近似描述，且超多面體的臨界面是成對出現(xiàn)的超平面，每對超平面之間的區(qū)域分別對應(yīng)一條既定線路的熱穩(wěn)定安全域或一個既定節(jié)點的靜態(tài)電壓安全域。本文將這樣的靜態(tài)安全域稱為實用靜態(tài)安全域（practical steady state security region, PSSR）。

備注：

（1）1989年，文獻[11]根據(jù)解耦潮流模型研究了在有功電流注入空間上的熱穩(wěn)定安全域。文中利用電力系統(tǒng)的節(jié)點有功功率注入與支路角（支路兩端電壓相角差）之間的仿射關(guān)系，并用支路角最大允許值近似表示線路最大允許電流幅值。該方法在生成安全域數(shù)學(xué)表達式時，需已知系統(tǒng)所有節(jié)點的電壓幅值。在如圖11（a）所示的3節(jié)點系統(tǒng)中，節(jié)點0為參考節(jié)點，其復(fù)電壓為V0∠0。在節(jié)點電壓幅值V = (V1, V2)T給定的情況下，線路支路角(θ1- θ0, θ2- θ0, θ1- θ2)分別與輸電線路1～0、2～0、1～2的有功功率成正比，在此基礎(chǔ)上可以建立起(θ1, θ2)與節(jié)點注入電流有功分量(Ip1, Ip2)（與節(jié)點注入有功功率成正比）之間的仿射變換關(guān)系。對于圖11所示的仿射變換，原像是矩形，經(jīng)仿射變換后所得的像是平行四邊形，即有功電流注入空間上的熱穩(wěn)定安全域。該平行四邊形的每一對邊分別對應(yīng)于一條支路的正向流動電流的熱穩(wěn)定邊界和反向流動電流的熱穩(wěn)定邊界，這一對平形線之間的空間是對該支路而言的熱穩(wěn)定安全域。

仿射變換具有如下性質(zhì)[11]：①像與原像的頂點、側(cè)面、棱和內(nèi)部點一一對應(yīng)；②平行直線的像仍然是平行直線；③平行平面的像仍然是平行平面。當把上述結(jié)論推廣到含有n1個節(jié)點（除參考節(jié)點外）的系統(tǒng)時，如果解耦潮流模型[式（2a）]中的電壓已知，則可知，電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域可被近似表示為，在n1維歐氏空間上由nb對平行超平面圍成的凸超多面體。其中每一對超平面分別對應(yīng)一條支路的正、反向流動電流的熱穩(wěn)定邊界，這一對平面之間的空間是對該支路而言的熱穩(wěn)定安全域。這一特征使得靜態(tài)安全域邊界十分簡明。即使在研究交流潮流的安全域時，也有利于對潮流安全域整體的把握。此外，文獻[12]依據(jù)仿射變換的思想研究了在節(jié)點有功功率注入指定的情況下，無功電流注入空間上的靜態(tài)電壓安全域。

但是，由于上述方法在潮流模型和線路電流約束條件上做了簡化，以及沒有綜合考慮線路電流的有功和無功分量，所以，所生成的超平面邊界與真實安全域邊界間的誤差較為明顯。

為敘述方便，可把交流潮流方程式（2d），F(xiàn)(x) =F(xα, xβ) = 0改寫為F'(xα) = xβ。F'(xα)是xα的連續(xù)非線性映射，而且xα的定義域是一個由式（7a）～（7c）所定義的超長方體，它是映射的原像。顯而易見，在此映射下，①超長方體的頂點的像仍然是頂點；②超長方體的棱（直線）的像仍然是棱，但不再是直線；③超長方體的邊界（超平面）的像仍然是連續(xù)的（光滑的）曲面，而不再是超平面；④內(nèi)部無空洞的超長方體的像仍然無空洞。故可得到如下結(jié)論：嚴格地說，依照交流潮流方程所定義的靜態(tài)安全域是由若干個光滑的超曲面圍成的多面體，其內(nèi)部無空洞。

圖11. 仿射變換示意圖。（a）3節(jié)點系統(tǒng)；（b）電壓相角空間上的熱穩(wěn)定安全域；（c）有功電流注入空間上的熱穩(wěn)定安全域。TB：樹支。D(V)∈Rn×n和C1(V)∈Rn×n的表達式詳見文獻[11]。

（2）文獻[26]研究了在決策空間上，滿足輸電線路熱穩(wěn)定約束的電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域的快速計算方法。該方法是基于交流潮流模型和靈敏度法的，依次針對系統(tǒng)中的每條輸電線路i∈B，生成其對應(yīng)熱穩(wěn)定安全域邊界的數(shù)學(xué)表達式，該邊界由一對超平面圍成，每個超平面對應(yīng)一個方向的臨界電流。文獻[26]同時給出了超平面的快速計算方法。該方法需要搜索出邊界面上的一個臨界點，該臨界點是正常初始運行點在向外連續(xù)擴展時首次遇到的安全域邊界的點，從而使之滿足了假設(shè)2的條件。于是，整個電網(wǎng)的熱穩(wěn)定安全域可由所有線路的熱穩(wěn)定安全域的交集給出，具體如下所示：

應(yīng)該注意的是，此時這一對超平面已不像備注（1）中所述的仿射變換那樣，不再是嚴格平行的平面。

式（14）所給出的ΩT是在2n維決策空間上，由n對超平面組成的超多面體，其形狀十分復(fù)雜。由于在某個時段內(nèi)，實際電網(wǎng)中可能過載的線路數(shù)量是有限的（令其集合為B'?B），而且目前可能過載的電流方向也是明確的，因此我們可以重點關(guān)注這些線路在目前可能過載的電流方向上所對應(yīng)的熱穩(wěn)定安全域，即

文獻[26]的方法也可以被用于決策空間上滿足節(jié)點電壓約束的電力系統(tǒng)安全域ΩV的快速計算。整個電網(wǎng)的靜態(tài)電壓安全域ΩV可由所有負荷節(jié)點的靜態(tài)電壓安全域的交集給出，即

因此，整個電網(wǎng)的靜態(tài)安全域ΩSS可由所有線路的熱穩(wěn)定安全域ΩT和所有負荷節(jié)點電壓約束的靜態(tài)電壓安全域ΩV的交集給出，即

式（16）是一組聯(lián)立線性不等式，計算機可以很容易地處理這樣的約束。

（3）上述文獻主要是針對輸電網(wǎng)的靜態(tài)安全域ΩSS進行的研究。對于配電網(wǎng)，文獻[27,28]基于交流潮流所做的大量仿真發(fā)現(xiàn)，在工程實際關(guān)心的范圍內(nèi)，在配電網(wǎng)功率注入空間上滿足節(jié)點電壓約束的靜態(tài)電壓安全域和滿足線路電流約束的熱穩(wěn)定安全域仍可用式（14）～（16）定義，且與每一個節(jié)點的電壓約束（每一個支路的熱穩(wěn)定約束）所對應(yīng)的安全域邊界仍可用一對超平面近似描述，這一特性與輸電網(wǎng)一致。不同之處是，文獻[27,28]利用配電網(wǎng)輻射狀網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的特點，構(gòu)造了由網(wǎng)絡(luò)拓撲和支路阻抗直接形成超平面系數(shù)的簡便算法。仿真結(jié)果表明，其計算速度很快，能夠滿足配電系統(tǒng)的圖形結(jié)構(gòu)頻繁變化的需求。同時，將該方法與前述的輸電網(wǎng)安全域的生成方法結(jié)合應(yīng)用，可有效實現(xiàn)輸、配電網(wǎng)的協(xié)調(diào)優(yōu)化運行。鑒于無論是電力負荷、分布式發(fā)電還是儲能，均可用注入功率來表達，所以這些研究成果可用于智能電網(wǎng)的安全性監(jiān)視、優(yōu)化與評估（具體應(yīng)用示例請見第5節(jié)）。文獻[29]對配電網(wǎng)的熱穩(wěn)定安全域開展了研究，在假設(shè)電壓給定的情況下，用安全域的概念描述了輻射型配電網(wǎng)中功率流的關(guān)系，并把它用于配電網(wǎng)安全性評估。

（4）鑒于本文所定義的ΩSS(i)滿足假設(shè)1和假設(shè)2，即僅考慮從正常初始運行點向外連續(xù)擴展時首次所遇到的安全域邊界，所以在xβ所定義的空間中，對于既定的網(wǎng)絡(luò)拓撲和系統(tǒng)元件參數(shù)，ΩSS(is)的邊界是唯一確定和連通的。由于約束條件等式（7a）～（7c）所限定的區(qū)域和潮流映射F(x) = 0都是連續(xù)性的，可知ΩSS(i)內(nèi)部無空洞。

（5）上述超多面體形式的靜態(tài)安全域的每一個超平面可用下式描述：

式中，αj,i和βj,i為常系數(shù)；ms是安全域邊界面的總數(shù)。由于對于既定的網(wǎng)絡(luò)拓撲和系統(tǒng)元件參數(shù)，靜態(tài)安全域是唯一的和連通的，與系統(tǒng)運行狀態(tài)無關(guān)，故可以離線計算所有的超平面系數(shù)，并將其存儲起來，供在線安全性監(jiān)視、評估和優(yōu)化。

命題9.在網(wǎng)絡(luò)拓撲和系統(tǒng)元件參數(shù)給定的情況下，對于給定的事故前圖形id、事故后圖形jd和事故Fd，在功率注入空間上定義的DSR Ωd(id, jd, Fd)是唯一的和連通的。它不隨運行狀態(tài)的變化而變化，其內(nèi)部無空洞，且其邊界Ωd(id, jd, Fd)由有限個光滑的子表面組成，每個子表面對應(yīng)一個特定的失穩(wěn)模式。在工程應(yīng)用的范圍內(nèi)，每個子表面可用超平面近似描述，本文將這樣的DSR稱為實用動態(tài)安全域（practical dynamic security region,PDSR）。

圖12給出了新英格蘭10機39節(jié)點系統(tǒng)的接線圖及其PDSR在三個二維空間上的斷面圖，該PDSR對應(yīng)于在線路26～29上在母線26側(cè)發(fā)生的三相接地短路事故，事故持續(xù)時間τ = 0.1 s。通過斷開線路26～29來清除事故。

備注：

（1）文獻[13]于1990年通過擬合經(jīng)暫態(tài)穩(wěn)定仿真所獲得的大量臨界點首次發(fā)現(xiàn)，在如式（8e）所示的，在事故前系統(tǒng)的功率注入空間上的PDSR邊界，在工程實際應(yīng)用的范圍內(nèi)，可用圍繞“基本運行點”的一個臨界超平面近似描述，該臨界超平面可用下式表示：

式中，αi是超平面方程的常系數(shù)；(P1, ... , Pn)為保證暫態(tài)功角穩(wěn)定的事故前系統(tǒng)功率注入空間上的臨界有功注入向量。習(xí)慣上，我們把看做是暫態(tài)不穩(wěn)定的。

超平面系數(shù)絕對值的大小代表了相應(yīng)節(jié)點的功率注入對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響程度的大小。超平面系數(shù)的正負代表相應(yīng)節(jié)點的功率注入對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響趨勢。具有正系數(shù)的節(jié)點增加注入功率不利于系統(tǒng)穩(wěn)定，具有負系數(shù)的節(jié)點增加注入功率將有助于系統(tǒng)穩(wěn)定性的改善。

圖12. 新英格蘭電力系統(tǒng)及其PDSR在三個二維空間上的斷面圖。（a）新英格蘭10機39節(jié)點系統(tǒng)圖；（b）由G8和G9組成的有功功率注入空間上的PDSR；（c）由G9和L29組成的有功功率注入空間上的PDSR；（d）由G8和L28組成的有功功率注入空間上的PDSR。從M到N的線是二維空間中PDSR臨界超平面的橫截面。發(fā)電機的有功功率約束用虛線表示。

這一性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)具有重要意義，因為用式（18）表示的功率注入空間上的線性組合約束，在電力系統(tǒng)分析、運行和控制的數(shù)學(xué)處理方面極具優(yōu)勢。

文獻[13]利用勢能界面（PEBS）法[7]尋找臨界注入向量，進而利用最小二乘擬合法確定式（18）中的超平面系數(shù)αi。為了減少所需搜索的臨界點數(shù)，同時保證精度，臨界點需要均勻分布，文獻[13]推薦使用擬正交選點法來選擇可能的搜尋方向。

（2）文獻[30]應(yīng)用我國華中電網(wǎng)的984節(jié)點系統(tǒng)，考慮發(fā)電機雙軸反應(yīng)、勵磁和調(diào)速系統(tǒng)、負荷感應(yīng)機特性及靜止無功補償器（SVC）等模型，利用暫態(tài)穩(wěn)定仿真程序，通過數(shù)值仿真搜索DSR邊界上的大量臨界點，再通過最小二乘法擬合，進一步證實暫態(tài)功角穩(wěn)定的DSR邊界可用超平面近似描述這一性質(zhì)。其中每個臨界點，都是在式（8e）所示的有功功率注入空間上，從正常初始運行點xβ0開始，沿不同射線方向向外連續(xù)擴展時首次遇到的安全域邊界點。

（3）最小二乘擬合法大約需要2n個適當分布的臨界點。雖然該方法所得的安全域邊界系數(shù)精度較高，但其計算量大，只能離線計算后在線使用。為解決此問題，文獻[31,32]基于電力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)保留模型，借助初始狀態(tài)、事故清除時刻狀態(tài)和能量函數(shù)對注入功率的靈敏度矩陣推導(dǎo)出了PDSR邊界超平面的解析表達式。文獻[33]基于在短路故障清除時刻，電力系統(tǒng)動態(tài)模型的可達性格納姆矩陣元素在初始運行點附近近乎不變的性質(zhì)，將基于k-中心點算法的同調(diào)識別和初加速度法相結(jié)合，提出了快速識別初始運行點附近的暫態(tài)穩(wěn)定失穩(wěn)模式（從而識別臨界割集）的方法，為PDSR直接法提供了臨界點快速搜索的建議。

（4）為了為DSR的使用提供理論基礎(chǔ)，文獻[34]針對電力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)保留模型[20]，應(yīng)用動力系統(tǒng)微分拓撲理論證明了DSR具有下列性質(zhì)：①DSR是連通的，內(nèi)部無空洞，即具有稠密性；②DSR的邊界?Ωd(id, jd, Fd)不會打結(jié)，即無扭擴性，其對應(yīng)于同一失穩(wěn)模式kd的局部表面是連續(xù)的；③DSR的邊界是緊致的，即DSR的邊界能夠用有限個子表面的并集表示，每一個臨界子表面對應(yīng)著一個互不相同的失穩(wěn)模式。

（5）依據(jù)命題7可知，當系統(tǒng)的CUEP是i型雙曲的時候，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)中必存在i個臨界割集，即系統(tǒng)中存在i個與其一一對應(yīng)的失穩(wěn)模式。因此，對應(yīng)的?Ωd(id,jd, Fd)必存在i個子表面，每一個子表面對應(yīng)一個失穩(wěn)模式。

（6）此外，可利用割集功率空間來簡化暫態(tài)穩(wěn)定約束所確定的DSR的描述。然而，由于它不是在xβ所定義的空間中定義的（見命題2），所以不可能具有唯一性。文獻[35,36]關(guān)于割集功率空間上的動態(tài)安全域（CDSR）的研究表明，對于既定的網(wǎng)絡(luò)拓撲和系統(tǒng)元件參數(shù)，系統(tǒng)臨界割集上可以傳輸?shù)目偣β剩╰otal transfer capacity,TTC）與運行狀態(tài)（注入功率向量）有關(guān)，也就是說CDSR不是唯一確定的。正是由于這一原因，才需要尋求TTC的最大值，而在做這樣的優(yōu)化時，功率注入空間上PDSR的超平面可極大地減輕計算負擔。不過，在個別實際場景下，CDSR邊界的變化范圍較小，也可近似地使用它。

（7）文獻[37]通過大量的仿真研究表明，對于大量不同的集合(id, jd, Fd)，在式（8c）定義的復(fù)功率注入空間中，所有的?Ωd(id, jd, Fd)都可以使用下面的超平面近似描述來表達[7]：

當研究中需要同時考慮節(jié)點有功注入和無功注入變化時，特別是在包含暫態(tài)電壓穩(wěn)定問題的研究中，式（19）具有更好的精度。同時，文獻[37]表明，當負荷中感應(yīng)電動機所占比例改變時，事故前功率注入空間中PDSR邊界間具有近似平移的性質(zhì)，從而可以利用插值法確定不同感應(yīng)電動機負荷比例下的DSR邊界。

對于由恒阻抗和感應(yīng)電動機組成的負荷模型，暫態(tài)穩(wěn)定仿真結(jié)果表明：暫態(tài)穩(wěn)定的故障臨界切除時間與負荷中電動機的比例密切相關(guān)。當電動機負荷比例增大時，會導(dǎo)致系統(tǒng)臨界清除時間減小。在電動機比例較高時，系統(tǒng)的暫態(tài)失穩(wěn)模式主要表現(xiàn)為暫態(tài)電壓失穩(wěn)，而在電動機比例較低時，系統(tǒng)的暫態(tài)失穩(wěn)模式主要表現(xiàn)為暫態(tài)功角失穩(wěn)，如圖13所示。

（8）文獻[38]的研究表明，對于交直流聯(lián)合輸電系統(tǒng)，決策空間上PDSR的臨界超平面描述仍然具有較好的精度。對應(yīng)于某一失穩(wěn)模式的PDSR臨界面方程如下：

式中，G和L分別為發(fā)電機節(jié)點集合（平衡節(jié)點除外）和負荷節(jié)點集合；Vi為發(fā)電機i端節(jié)點的電壓；αi、βi、ηj、λj和μ為所求得的PDSR臨界超平面方程系數(shù)；μ = αrb- αsb，下標sb和rb分別為直流線路送端與受端交流換相節(jié)點的節(jié)點編號。因此直流功率Pd可以作為臨界超平面方程的一個有功功率變量。在相同故障、失穩(wěn)模式和直流控制方式下，分別對應(yīng)于不同直流功率的臨界超平面具有近似平行性，并且它們的空間幾何距離與直流功率的改變量近似成正比。

（9）文獻[39]計算了含雙饋風力發(fā)電機（DFIG）電力系統(tǒng)的DSR，并通過時域仿真對其邊界超平面描述的精度進行了驗證。文獻[40]計算了含光伏（PV）發(fā)電電力系統(tǒng)的DSR。文獻[39,40]的研究發(fā)現(xiàn)，在工程關(guān)心的范圍內(nèi)，接入雙饋風力發(fā)電機或光伏發(fā)電后，功率注入空間上PDSR的臨界面仍可以用超平面近似描述。文獻[39]還分析了雙饋風力發(fā)電機的接入對電力系統(tǒng)DSR的影響，并發(fā)現(xiàn)雙饋風力發(fā)電機的接入會引起電力系統(tǒng)DSR的外擴。

命題10.對于既定的網(wǎng)絡(luò)拓撲和系統(tǒng)元件參數(shù)，在功率注入空間上對應(yīng)于Fold分岔的SVSR是唯一的和連通的，不隨運行狀態(tài)的變化而變化，其邊界是光滑的，且內(nèi)部無空洞。當指定負荷節(jié)點的功率注入向量時，發(fā)電功率注入空間上SVSR的邊界，在工程實際運行范圍內(nèi)可用一個超平面近似表示。當系統(tǒng)中有一個臨界割集時，割集功率空間上的CVSR的臨界面在工程應(yīng)用的范圍內(nèi)可用一個超平面近似描述（圖14）。當系統(tǒng)中有若干個需要考慮的臨界割集時，每個臨界割集對應(yīng)的CVSR的臨界面在工程應(yīng)用的范圍內(nèi)均可用一個超平面近似描述，此時所有割集的CVSR臨界面的并集是既定網(wǎng)絡(luò)拓撲和系統(tǒng)元件參數(shù)下的CVSR的臨界面。

圖13. 暫態(tài)失穩(wěn)模式與負荷中感應(yīng)電動機負荷所占比重的關(guān)系。

備注：

（1）依據(jù)文獻[41]可知，由于電壓穩(wěn)定的局部性很強，致使電壓穩(wěn)定臨界面可用系統(tǒng)中為數(shù)不多的電壓穩(wěn)定弱節(jié)點的注入功率來近似描述，但由于其臨界面比較復(fù)雜，因此可用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)給出可視化描述。文獻[42]提出了在有功功率和無功功率注入空間上，以二次多項式作為系統(tǒng)SVSR臨界面大范圍的近似解析表達式，并通過模態(tài)分析選取系統(tǒng)關(guān)鍵節(jié)點的方法實現(xiàn)電力系統(tǒng)注入空間的有效降維。大量仿真結(jié)果表明，此法具有令人滿意的工程精度。在文獻[43]中，研究人員應(yīng)用潮流方程Jacobian矩陣的特征值靈敏度和特征向量靈敏度構(gòu)建了SVSR邊界的近似解析表達式。雖然其精度優(yōu)于超平面形式的線性近似表達式，然而在最優(yōu)化和風險分析中，二次多項式表達遠不如超平面那么方便。

（2）文獻[44]基于潮流可行解域的思想，即以潮流方程是否有解作為靜態(tài)安全域的決定性因素，并運用作者在文獻[45]中所提到的一種全新的計算可行域邊界的“混合法”（hybrid method）確定了可行域邊界。這里所謂的“混合法”綜合采用了預(yù)測-矯正思想及優(yōu)化技術(shù)，能夠在考慮系統(tǒng)設(shè)備限值的情況下，同時追蹤由潮流方程Jacobian矩陣的奇異點（Fold分岔點）以及限值誘導(dǎo)分岔點所構(gòu)成的潮流可行域邊界。在文獻[44]中，把功率注入空間分為負荷注入空間和發(fā)電注入空間，通過對經(jīng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定仿真所獲得的大量臨界點的擬合發(fā)現(xiàn)，兩個子空間的可行域邊界具有截然不同的幾何特性。在特定負荷增長方向上的電力系統(tǒng)發(fā)電注入空間中，潮流可行域邊界在實際可能的運行范圍內(nèi)的一部分或者大部分都可以通過超平面得到很好的近似，如圖15所示[24]。文獻[44]還提出了一種新的追蹤高維發(fā)電功率注入空間中潮流可行域L1范數(shù)最遠邊界點的算法，避免了頻繁啟動連續(xù)潮流計算，其結(jié)果的多解性也被用來進一步檢驗潮流可行域具有近似超平面的性質(zhì)。

圖14. 某電網(wǎng)的一個局部接線圖及用虛線所標出的臨界割集上的CVSR臨界面。（a）實際電網(wǎng)圖；（b）三維功率注入空間上的CVSR的邊界。

注5：因為發(fā)電功率向量維數(shù)很高，安全域難以從整體上直觀表示，故圖15中所給出的僅是安全域邊界面所關(guān)心的部分在幾個二維發(fā)電功率空間上的斷面圖，每個斷面圖均是在給定坐標變量以外的其他變量不變的情況下得出的。如果所有斷面圖上顯示的邊界在工程實際關(guān)心的較大范圍內(nèi)呈現(xiàn)直線，則可推斷此高維空間上安全域的邊界面在工程實際關(guān)心的較大范圍內(nèi)可用超平面近似。

（3）文獻[46]提供了割集功率空間上的靜態(tài)電壓穩(wěn)定域局部可視化的方法，該法基于潮流可行域的思想，在割集功率空間上實現(xiàn)了可視化。文獻[47,48]明確提出，割集功率空間上CVSR的實用邊界可以用式（21）所示的超平面表達式近似描述：

式中，C表示臨界割集；PL,i是臨界割集上線路i的有功潮流；QL,i是臨界割集上線路i送端的無功潮流。按照習(xí)慣，我們看作系統(tǒng)滿足靜態(tài)電壓穩(wěn)定約束，看作系統(tǒng)不滿足靜態(tài)電壓穩(wěn)定約束，如圖14所示。

圖16給出了快速計算CVSR邊界超平面的方法，首先利用CPF求解系統(tǒng)的一個鞍結(jié)分岔點，然后用該臨界點處的特征向量表示該點處SVSR邊界的切平面，進而通過從功率注入空間到割集功率空間的變換得到CVSR的超平面臨界邊界的表達式。

（4）在誤差較大時，可在割集支路功率之外，通過增加少數(shù)受端系統(tǒng)電壓穩(wěn)定弱節(jié)點的注入功率作為附加變量的方法對式（21）進行改進。

（5）鑒于臨界割集上的線路條數(shù)十分有限，超平面系數(shù)αi和βi可以通過仿真取得大約4nc個（其中nc為臨界割集上線路的總條數(shù)）適當分布的臨界點后，再通過最小二乘擬合得出?；谶@一方法已開發(fā)了CVSR的計算軟件，在實際應(yīng)用中可滿足在線實時的需要[48]。

（6）在一些系統(tǒng)中，系統(tǒng)的弱節(jié)點可能分布在不同的區(qū)域，這時就需要多個臨界割集[46]。因此，系統(tǒng)的全部可保證靜態(tài)電壓穩(wěn)定的運行點處于如下定義的區(qū)域內(nèi)：

圖15. IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)在發(fā)電功率空間上潮流可行域的不同二維斷面圖（見注5）[24]。

圖16. 快速計算CVSR邊界超平面的方法。Pg：SVSR邊界上的一個關(guān)鍵點。

式中，C1, ..., Cmsv為需要考慮的msv個臨界割集；msv通常是一個很小的整數(shù)。

（7）文獻[48,49]中的大量統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，在實際可能的負荷增長方式下，系統(tǒng)中的弱節(jié)點集集中于幾個區(qū)域，且大多分布在缺少無功支持的長輸電線的終端節(jié)點?？梢愿鶕?jù)電網(wǎng)節(jié)點間的連接關(guān)系和聯(lián)系緊密程度，建立與電網(wǎng)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)相對應(yīng)的圖模型，然后通過譜聚類算法確定電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定分區(qū)（電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定弱節(jié)點集）和關(guān)鍵斷面（潛在的臨界割集）。

（8）由于靜態(tài)電壓不穩(wěn)定的條件是潮流無解，而本文所定義的安全域滿足假設(shè)2，也就是說SVSR邊界是從正常初始運行點向外連續(xù)擴展時首次遇到的失去靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的邊界，連同潮流關(guān)系F(x) = 0的連續(xù)性可推斷：在xβ所定義的空間中，SVSR是唯一的和連通的，其表面是光滑的，且其內(nèi)部無空洞。而此安全域向低維的割集功率空間的映射，即CVSR是可保留這種性質(zhì)的。因此，可知命題10所定義的CVSR的內(nèi)部無空洞。

命題11.對于既定的網(wǎng)絡(luò)拓撲和系統(tǒng)元件參數(shù)，在功率注入空間上，SDSR（ΩSD）由鞍結(jié)分岔臨界面[?ΩSD(SNB)]和（或）Hopf分岔臨界面[?ΩSD(H)]圍成，是唯一的和連通的，不隨運行狀態(tài)的變化而變化，且其內(nèi)部無空洞。ΩSD的邊界?ΩSD是由若干個光滑的曲面組成的，突變發(fā)生在?ΩSD(SNB)和?ΩSD(H)交界處，或發(fā)生在?ΩSD(H)的主導(dǎo)振蕩模式轉(zhuǎn)換處。其中，每個光滑的曲面可在較大范圍內(nèi)用一個超平面近似描述（圖17 [50]），可滿足工程實際的需要。本文將這樣的安全域稱為實用的小擾動穩(wěn)定安全域（PSDSR）。

備注：

（1）在小擾動穩(wěn)定研究[21]中，用一個電力系統(tǒng)模型展示了從Hopf分岔到混沌演變的詳細過程，揭示了演變過程中能量遞增的規(guī)律。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，完全可以用Hopf分岔的臨界面?ΩSD(H)來描述與振蕩失穩(wěn)相關(guān)的SDSR邊界，而不必再考慮比其更為復(fù)雜的混沌現(xiàn)象。

（2）文獻[50]發(fā)現(xiàn)，當假設(shè)無功功率就地平衡時，有功功率注入空間中的?ΩSD(H)是由若干個光滑的曲面組成，每個光滑的曲面可用如下超平面方程近似描述：

式中，Pi表示各發(fā)電機節(jié)點的有功功率注入；αi是節(jié)點i的超平面方程的系數(shù)；n是網(wǎng)絡(luò)中除平衡節(jié)點外其余節(jié)點的總數(shù)。

（3）ΩSD(H)可能由一個或多個光滑曲面組成，光滑曲面交界處發(fā)生突變的原因是每個光滑曲面具有不同的主導(dǎo)振蕩模式?；谶@一認識，文獻[50]已建議采用如下分類擬合策略來獲取?ΩSD(H)的近似超平面描述：首先，對獲取的臨界點進行特征值分析，得到各個臨界點的主導(dǎo)振蕩模式，根據(jù)主導(dǎo)振蕩模式對所有臨界點進行劃分，將相同主導(dǎo)模式對應(yīng)的臨界點歸為同一集合，最后，分別對各個集合中的臨界點以超平面形式進行擬合，得到各自對應(yīng)邊界的超平面近似表達式，則各個主導(dǎo)振蕩模式所對應(yīng)的擬合邊界的并集就構(gòu)成了整個注入空間中的?ΩSD(H)（圖17 [50]）。

（4）文獻[51]研究了雙饋風力發(fā)電機對電力系統(tǒng)機電振蕩的影響，發(fā)現(xiàn)含雙饋風力發(fā)電機的電力系統(tǒng)的SDSR邊界由幾個光滑的表面組成，其中包括?ΩSD(SNB)和不同主導(dǎo)振蕩模式下的?ΩSD(H)。圖18 [51]為在兩臺發(fā)電機有功功率注入空間的二維斷面上的SDSR的邊界示意圖。當不考慮有功功率輸出約束時，該邊界由幾條光滑的曲線組成，其中邊界1和邊界3對應(yīng)Hopf分岔，邊界2對應(yīng)鞍結(jié)分岔。在邊界1和邊界2的連接點處，以及邊界2和邊界3的連接點處出現(xiàn)突變?？紤]發(fā)電機有功出力限制（如圖18 [51]中的矩形所示）時，實際關(guān)心的SDSR是陰影區(qū)。邊界2上鞍結(jié)分岔的出現(xiàn)，是由于發(fā)電機G4的勵磁系統(tǒng)抵達極限值，屬于命題5所說的限值誘導(dǎo)分岔問題。由此可知，通過時域仿真最終確定小擾動電壓穩(wěn)定域邊界是非常必要的，這一結(jié)論與命題10一致。

圖17. 多個主導(dǎo)模式下的分類擬合（新英格蘭10機39節(jié)點系統(tǒng)）[50]。

（5）關(guān)于此安全域的唯一性、連通性和內(nèi)部無空洞性質(zhì)的證明與命題9中的備注（8）類似，此處不再贅述。

5. 用超平面表示安全域邊界的電力系統(tǒng)分析方法

5.1. 安全域方法在電力系統(tǒng)優(yōu)化中的應(yīng)用

計及安全約束的電力系統(tǒng)優(yōu)化問題可用如下的一般模型描述。其中，xopt為優(yōu)化變量，一般為發(fā)電機的有功出力、無功出力和（或）負荷的有功功率、無功功率等。fopt(xopt)為優(yōu)化目標。電力系統(tǒng)安全約束優(yōu)化問題可以用以下通用模型來描述，即式（24）～（30）。依據(jù)應(yīng)用場景的不同，目標函數(shù)也會有所不同。如在安全約束最優(yōu)潮流中，目標函數(shù)通常取最小的發(fā)電成本或損耗，而在安全約束最優(yōu)控制中，目標函數(shù)通常取最小的切負荷等控制代價。hopt(xopt)表示等式約束函數(shù)，主要包括潮流方程約束。gopt(xopt)表示不等式約束函數(shù)，如發(fā)電機出力限制、節(jié)點負荷約束等。式（27）至式（30）分別為節(jié)點電壓約束、潮流安全約束、小擾動穩(wěn)定約束和暫態(tài)穩(wěn)定約束。

Vi表示節(jié)點i的電壓幅值；Ii表示支路i的電流；λi表示系統(tǒng)運行狀態(tài)的特征值；(t)為t時刻和故障k下系統(tǒng)中發(fā)電機i與j之間的功角差；δmax表示發(fā)電機間允許的最大功角差。

圖18. SDSR邊界的二維斷面示意圖[51]。

電力系統(tǒng)優(yōu)化問題的決策變量x一般為發(fā)電機的有功或無功出力，即Qng)T。如式（27）～（30）所示，不等式約束包括其他變量，如Vi、Ii、λi和δk ij(t)，但它們并不是目標函數(shù)中的變量。其中，Vi與Ii通過潮流方程與目標函數(shù)中的變量PG和QG關(guān)聯(lián)，λi和δk ij(t)通過潮流方程和與描述系統(tǒng)動態(tài)特性的微分方程與PG和QG關(guān)聯(lián)。在優(yōu)化過程中，為了校驗式（27）和式（28）中的約束是否成立，需要反復(fù)地解潮流方程；為了校驗式（29）中的約束是否成立，需要反復(fù)對潮流解對應(yīng)的平衡點進行特征值分析；為了校驗式（30）中的約束是否成立，需要反復(fù)求解一組大規(guī)模的微分代數(shù)方程（在實際電網(wǎng)中，其維數(shù)可達到數(shù)千維甚至上萬維），對系統(tǒng)的動態(tài)軌跡進行仿真，這無疑會帶來巨大的計算量。因此，在最優(yōu)潮流中考慮暫態(tài)穩(wěn)定等復(fù)雜的安全約束始終是個難題。

當我們采用安全域方法時，上述安全約束可表達為

式中，Ej(PG,QG)≤Constj、Hk(PG,QG)≤Constk和Hr(PG,QG)≤Constr分別表示ΩSS∩ ΩSV的第j個邊界面約束、ΩSD的第k個邊界面約束和Ωd的第r個邊界面約束；mss、msd和md分別為構(gòu)成?(ΩSS∩ ΩSV)、?ΩSD和?Ωd的總數(shù)。此時該問題可采用二次規(guī)劃法（quadratic progrmming, QP）求解，計算量將極大地降低。

特別是在采用超平面描述安全域邊界時，式（31）可變換為如下形式：

因此，借助安全域邊界的超平面表達方式，可將電力系統(tǒng)的潮流安全約束、小擾動穩(wěn)定約束與暫態(tài)穩(wěn)定約束表示為式（24）中的決策變量（即節(jié)點功率注入）的顯式方程，從而可避免在求解過程中大量嵌入的潮流計算、特征值分析與時域仿真，顯著提升計算效率。

目前，安全域方法已經(jīng)在電力系統(tǒng)的各種優(yōu)化問題中得到了廣泛的應(yīng)用。文獻[52]提出了一種電力市場環(huán)境下的電力系統(tǒng)安全成本優(yōu)化模型，通過PDSR簡便地考慮了系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定約束及事故發(fā)生概率與系統(tǒng)失穩(wěn)損失等，結(jié)果表明，借助該模型實施最優(yōu)預(yù)防性控制可顯著提高電力系統(tǒng)的經(jīng)濟效益。文獻[53]發(fā)現(xiàn)了擴展實用DSR臨界面的平行性與可疊加性等遷移規(guī)律，并基于這些性質(zhì)給出了切機、切負荷及二者配合操作的控制措施的有效性的快速求解方法，進而提出了基于安全域的最優(yōu)暫態(tài)穩(wěn)定緊急控制方法，該控制方法將控制措施量化為成本指標，解決了緊急控制措施的有效性難以量化的難題。文獻[54]基于安全域提出了同時考慮電力系統(tǒng)有功及無功的新型優(yōu)化潮流模型與算法，借助SSSR、SVSR和DSR，綜合考慮了系統(tǒng)的潮流約束、靜態(tài)電壓穩(wěn)定約束和暫態(tài)穩(wěn)定約束，并利用電力系統(tǒng)的有功功率與支路角之間、無功功率與節(jié)點電壓幅值之間的仿射關(guān)系，建立了通過二次規(guī)劃來求解優(yōu)化潮流的算法，顯著提升了計算效率。文獻[55]在電力系統(tǒng)日前調(diào)度中首次同時考慮了系統(tǒng)的潮流約束、靜態(tài)電壓穩(wěn)定約束和暫態(tài)穩(wěn)定約束，為日前調(diào)度中有效處理安全性與經(jīng)濟性的矛盾提供了重要方法。文獻[56]提出了基于安全域的有功和無功定價模型及相應(yīng)的求解算法，首次系統(tǒng)解決了在節(jié)點定價中綜合量化暫態(tài)穩(wěn)定等復(fù)雜約束的難題。該模型利用CVSR和PDSR計及靜態(tài)電壓穩(wěn)定約束和暫態(tài)穩(wěn)定約束，采用對有功生產(chǎn)成本和無功生產(chǎn)成本解耦優(yōu)化-迭代的處理方法，基于邊際成本理論和庫恩-塔克（KKT）優(yōu)化條件，對有功和無功功率分別定價，并推導(dǎo)出了與各種安全約束相關(guān)的分量電價，不僅便于考量預(yù)想事故集，而且表達式的形式簡明、物理意義清晰。文獻[57]采用安全域方法建立了基于系統(tǒng)靜態(tài)和動態(tài)安全性價值的電源、電網(wǎng)統(tǒng)一規(guī)劃模型。文獻[27,28]首次將安全域思想引入配電網(wǎng)無功優(yōu)化中，為智能配電網(wǎng)的無功和電壓控制提供了重要的決策工具。下邊給出一個具有超平面形式邊界面的安全域在輸、配電網(wǎng)潮流協(xié)調(diào)優(yōu)化中應(yīng)用的例子。

應(yīng)用示例：具有超平面形式邊界面的安全域在輸、配電網(wǎng)潮流協(xié)調(diào)優(yōu)化中的應(yīng)用。

隨著間歇的、波動的和不確定的可再生分布式能源在智能配電網(wǎng)中滲透率的不斷提高，輸、配電網(wǎng)能夠通過改變自身狀態(tài)影響聯(lián)絡(luò)線上功率，這意味著輸、配電網(wǎng)需要考慮聯(lián)絡(luò)線上功率的變化對彼此運行狀態(tài)的影響。由此可知，需要綜合考慮全網(wǎng)內(nèi)的資源來進行協(xié)調(diào)優(yōu)化。

目前，處理協(xié)調(diào)問題的方法主要有兩類。一類為集中式優(yōu)化方法[58]。雖然該方法可以得到優(yōu)化結(jié)果，但在應(yīng)用時需要收集和處理全網(wǎng)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)維護難度和計算負擔很大。另一類為分布式優(yōu)化方法，該方法將整個輸、配電網(wǎng)潮流協(xié)調(diào)優(yōu)化問題分解成若干個子問題進行優(yōu)化，求解速度較集中式方法有所增加[59]。但是每個子優(yōu)化問題中的約束，包括設(shè)備容量約束不等式、節(jié)點電壓約束不等式、支路電流約束不等式和交流潮流方程[類似式（25）～（28）所示]，此時目標函數(shù)中的決策變量是發(fā)電功率注入，它們同節(jié)點電壓和支路電流之間通過潮流方程非線性地關(guān)聯(lián)著，致使各子優(yōu)化問題和KKT條件的確定過程依然很復(fù)雜。

為解決已有方法存在的問題，文獻[60]首次將具有超平面形式邊界面的SSSR應(yīng)用到整個輸、配電網(wǎng)潮流協(xié)調(diào)優(yōu)化的問題中，建立了輸、配電網(wǎng)潮流協(xié)調(diào)優(yōu)化方法。其特點如下：

（1）根據(jù)輸電網(wǎng)和其所供電的各片配電網(wǎng)的各自的拓撲結(jié)構(gòu)和邊界信息，生成的SSSR邊界近似超平面表達式?？紤]到該SSSR由網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)唯一確定，與運行狀態(tài)無關(guān)，所以對于其拓撲結(jié)構(gòu)相對穩(wěn)定的輸電網(wǎng)，可以離線計算并在線調(diào)用其超平面表達式系數(shù)。對于輻射狀配電網(wǎng)，可在線生成其超平面表達式，所需計算負擔很小，可完全適應(yīng)其拓撲頻繁變化的要求。

（2）以輸、配電網(wǎng)整體供電成本最小為目標，用輸、配電網(wǎng)各自的SSSR描述靜態(tài)安全約束[如式（32）所示]，并以此建立輸、配電網(wǎng)潮流協(xié)調(diào)優(yōu)化調(diào)度的分布式優(yōu)化模型，其邊界變量如圖19所示。在所提方法的執(zhí)行中，輸、配電網(wǎng)只需根據(jù)網(wǎng)絡(luò)間傳遞的邊界節(jié)點電壓、聯(lián)絡(luò)線功率和輸電網(wǎng)出清電價（由KKT條件確定）即可完成優(yōu)化工作。由于約束條件變成了決策變量的線性組合不等式，且目標函數(shù)與約束條件中的變量是一致的，致使每個輸、配電網(wǎng)的優(yōu)化過程和輸電網(wǎng)與各配電網(wǎng)之間的KKT條件的確定變得極其簡單。

為了驗證所提算法的有效性，在給定輸電網(wǎng)和配電網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)拓撲的前提下，文獻[60]首先將所提方法與集中式優(yōu)化方法[58]作對比。其中，集中式方法在優(yōu)化過程中基于交流潮流模型建立了非線性優(yōu)化模型。兩種方法優(yōu)化后得到的運行總成本和計算時間如表1所示?？梢钥闯?，兩種方法所得優(yōu)化結(jié)果基本相同，但在計算時間上有數(shù)量級的差別。

注6：

（1）為了簡要說明用超平面表達式求解安全域邊界在電力系統(tǒng)優(yōu)化中的優(yōu)越性，本文只考慮了SSSR。如果考慮到其他安全約束，安全域方法的優(yōu)勢將更加突出。

（2）算例1是一個改進的IEEE 24輸電網(wǎng)，連接9個配電網(wǎng)。算例2是一個改進的IEEE 118輸電網(wǎng)，連接20 個配電網(wǎng)。算例3是一個改進的IEEE 300輸電網(wǎng)，連接40個配電網(wǎng)。

（3）鑒于輸電網(wǎng)安全域邊界由網(wǎng)絡(luò)拓撲唯一確定，與運行狀態(tài)無關(guān)，且其拓撲不會頻繁變化，因而其安全域邊界的系數(shù)可離線計算并存入數(shù)據(jù)庫，在線使用時只需依據(jù)網(wǎng)絡(luò)拓撲調(diào)用即可。而配電網(wǎng)安全域的系數(shù)需要實時計算，故在統(tǒng)計優(yōu)化時間時，計入了配電網(wǎng)安全域的生成時間，而未計入輸電網(wǎng)安全域的生成時間。

將本文所建議方法與兩種常用的分布式方法，即交替方向乘子法（ADMMM）[61]和最優(yōu)條件分解法（OCD）[62]作對比。3種方法每次迭代過程中所消耗的平均優(yōu)化時間如表2所示。可以看到，由于所建議方法是基于安全域方法建立輸、配電網(wǎng)優(yōu)化模型的，目標函數(shù)和約束條件中的變量是一致的，且約束條件是節(jié)點功率注入的線性組合不等式，各子問題的優(yōu)化速度很快。

此外，3種方法完成一次優(yōu)化潮流所需要的平均迭代次數(shù)如表3所示。由于在KKT條件的確定過程中需要利用各約束條件對應(yīng)的拉格朗日乘子，考慮到ADMMM法和OCD法在優(yōu)化模型中的各約束條件的非線性，而所建議方法是采用SSSR線性描述約束條件，所以它們的迭代次數(shù)差異很大。

綜上可知，由于整個輸、配電系統(tǒng)完成一次潮流協(xié)調(diào)優(yōu)化所需的總時間主要是由輸電系統(tǒng)每次迭代過程所消耗的平均優(yōu)化時間乘以完成一次潮流協(xié)調(diào)優(yōu)化所需要的平均迭代次數(shù)確定，而所提方法在上述兩個因素上均具有明顯優(yōu)勢，致使平均完成一次協(xié)調(diào)優(yōu)化所需要的總時間可提高若干數(shù)量級（表4）。

圖19. 輸、配電網(wǎng)的等值模型。（a）全網(wǎng)等值模型；（b）輸電網(wǎng)的等值模型；（c）配電網(wǎng)k的等值模型。

此示例說明，本文所研究的具有超平面形式邊界面的安全域，可成功地解決很大一類電力系統(tǒng)最優(yōu)化問題中安全穩(wěn)定約束難以處理的問題。

需要說明的是，算例1～3中所提方法生成輸電網(wǎng)安全域所消耗的平均時間分別為1.67 s、6.3 s和45.1 s，這表明即使在統(tǒng)計優(yōu)化時間中將其計入，也不影響與已有方法相比的優(yōu)越性。

5.2. 安全域方法在電力系統(tǒng)概率安全評估中的應(yīng)用

電力系統(tǒng)不斷地經(jīng)受各種擾動，如節(jié)點注入功率的波動、事故、元件停運等。若系統(tǒng)能夠承受下一時刻各種可能的擾動，則系統(tǒng)是安全的。鑒于節(jié)點注入功率波動、事故等擾動具有固有的不確定性，特別是海量風電、光伏發(fā)電的接入加劇了節(jié)點注入功率的不確定性，概率安全評估愈發(fā)重要。安全域方法應(yīng)運而生，其基本任務(wù)即是考慮節(jié)點注入功率、事故等不確定性獲取系統(tǒng)滿足穩(wěn)定約束的安全概率或一些關(guān)鍵狀態(tài)變量的概率分布，以給出系統(tǒng)近期（如未來24 h內(nèi)，每半小時甚至更短時段）的系統(tǒng)概率意義上的安全水平。

概率安全評估一般有模擬法與解析法。模擬法的基本原理是運用蒙特卡羅（Monte-Carlo, MC）仿真方法抽樣生成海量的運行點，基于逐點法對運行點進行穩(wěn)定性判定，即針對每個運行點單獨進行一次仿真運算并判斷其是否穩(wěn)定，最終根據(jù)大數(shù)定律獲取概率指標。該方法可以靈活考慮各種不確定性因素，但計算誤差與試驗次數(shù)的平方根成反比，為降低誤差必須顯著增加計算時間，因此在概率安全評估中應(yīng)用模擬法的計算負擔相當大。解析法通過建立概率安全指標的評估模型或直接構(gòu)建概率安全指標的解析式并求解來實現(xiàn)，例如，文獻[3]基于Markov二層模型獲取不安全時間的概率分布，文獻[63]基于條件概率理論建立系統(tǒng)動態(tài)安全概率的解析式。與模擬法相比，解析法具有相對完整的理論，但在具體求解過程中計及節(jié)點注入功率的不確定性時，特別是針對既定故障同時考慮暫態(tài)穩(wěn)定約束時，面臨著艱巨的求解難題。在考慮節(jié)點注入功率的不確定性時，既定事故下系統(tǒng)滿足暫態(tài)穩(wěn)定約束的概率，即注入功率向量y處于Ωd之內(nèi)的概率，可由下式表示。

表1 各算例日運行總成本和計算時間的比較（見注6）

表2 每次求解優(yōu)化模型所消耗平均時間的比較

表3 完成一次優(yōu)化潮流所需要的平均迭代次數(shù)

表4 平均完成一次輸、配電網(wǎng)潮流協(xié)調(diào)優(yōu)化所需要的總時間

式中，f是y = (y1, y2, ..., yn)T的概率密度函數(shù)。

若沒有關(guān)于Ωd的簡單的數(shù)學(xué)描述，式（33）是一個極其復(fù)雜的n維功率注入空間上的n重積分，計算負擔極其繁重。超平面形式的PDSR為破解該難題提供了強有力的工具，式（33）的計算可轉(zhuǎn)換為對下式的求解：

因此，計算得到了極大程度的簡化，求解式（34）的關(guān)鍵在于獲取ye的概率密度函數(shù)，即g(ye)。無論節(jié)點注入功率是否相關(guān)，均可找到有效的方法在滿足計算精度的前提下進行快速求解，如半不變量與級數(shù)相結(jié)合的方法、點估計法等。

較早的研究顯示，與模擬法相比：

（1）超平面形式的PDSR的應(yīng)用使得式（33）的計算效率提升了1×104倍（單機計算新英格蘭算例系統(tǒng) [64]）；

（2）鑒于式（33）是Markov二層模型中最為基本的運算單元，面臨計及各種狀態(tài)所致的維數(shù)災(zāi)難時，超平面形式的PDSR的應(yīng)用以及超平面系數(shù)可以離線計算、在線應(yīng)用的典型特征，使得計算效率提升了1×106倍（單機計算新英格蘭算例系統(tǒng)，枚舉到N-3）[65]。

放眼高性能計算快速發(fā)展的今天，為超平面形式的安全域大幅提升概率安全評估的計算效率提供了無限可能。伴隨具有不確定性的海量分布式資源的接入，概率分析方法日益扮演更為重要的角色，在各種優(yōu)化問題中也更需計及節(jié)點注入的不確定性，超平面形式的安全域無疑提供了強有力的工具，具有廣闊的應(yīng)用空間。

5.3. 安全域方法在電力系統(tǒng)安全監(jiān)控可視化中的應(yīng)用

基于功率注入空間上PDSR和割集功率空間上CVSR的成果，已成功開發(fā)了電力系統(tǒng)安全域的可視化系統(tǒng)[48]。鑒于可視化只能在三維或二維空間上實現(xiàn)，該系統(tǒng)利用安全域在三維或二維功率注入子空間上的斷面，顯示暫態(tài)穩(wěn)定和電壓穩(wěn)定邊界來提高電力系統(tǒng)的可觀測性，可以幫助調(diào)度人員或運行規(guī)劃人員識別重要預(yù)想事故、由電壓和功角穩(wěn)定約束所限定的功率傳輸水平以及系統(tǒng)安全裕度等。圖20（a）、（b）分別是CVSR和PDSR在三維功率注入子空間上的斷面的可視化示例，圖20（a）中的透明斷面對應(yīng)的是CVSR超平面邊界，圖20（b）中的透明斷面對應(yīng)的是PDSR超平面邊界（其中每個透明斷面對應(yīng)一個預(yù)想事故，它們所包圍部分的交集是安全域）。這些可視化圖像可增加運行人員對所處境遇（如對電壓不穩(wěn)定、暫態(tài)不穩(wěn)定或連鎖停運危險即將來臨的處境）的知曉，增強態(tài)勢感知能力，便于運行人員及時做出反應(yīng)，以預(yù)防大停電的發(fā)生。

6. 結(jié)論

在電力系統(tǒng)安全性與穩(wěn)定性的研究中，開創(chuàng)并顯著推進了（與傳統(tǒng)逐點法截然不同的）安全域方法學(xué)，主要的原創(chuàng)性成果如下。

（1）在安全域的組成及其動力學(xué)性質(zhì)方面：

· 混沌出現(xiàn)于SDSR的Hopf分岔臨界面之外。發(fā)現(xiàn)了混沌誘發(fā)不穩(wěn)定、崩潰的幾種方式。既然電力系統(tǒng)的安全運行不容許Hopf分岔出現(xiàn)，所以綜合安全域研究中也就無需再計及混沌。

· 模型和參數(shù)對SDSR邊界的一些影響規(guī)律。例如，負荷中感應(yīng)電動機的存在可能使得系統(tǒng)在參數(shù)變化導(dǎo)致鞍結(jié)分岔類型的電壓失穩(wěn)之前不出現(xiàn)Hopf分岔；不是所有的鞍結(jié)分岔點都是SDSR邊界面上的點，所以當負荷中感應(yīng)電動機所占比重較大時，通過時域仿真確定鞍結(jié)分岔點的性質(zhì)對最終確定SDSR邊界非常必要。

圖20. 安全域在三維功率注入子空間上的可視化。（a）既定網(wǎng)絡(luò)的CVSR；（b）兩個預(yù)想事故下系統(tǒng)PDSR的交集。

· 暫態(tài)穩(wěn)定不穩(wěn)定平衡點的類型與暫態(tài)功角穩(wěn)定臨界割集數(shù)目之間的定量關(guān)系。若系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點是k型雙曲的，則網(wǎng)絡(luò)中必存在k個臨界割集與之對應(yīng)，這些臨界割集將系統(tǒng)分割成k個臨界節(jié)點群（即k個失穩(wěn)發(fā)電機群）和一個非臨界節(jié)點群（即一個非失穩(wěn)發(fā)電機群），它們對應(yīng)k個失穩(wěn)模態(tài)。

（2）在安全域的幾何學(xué)與拓撲學(xué)特征方面。對于既定的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)（及其演變過程）和既定的系統(tǒng)參數(shù)，在工程實際關(guān)心的范圍內(nèi)，在功率注入空間和決策空間上保證潮流安全的SSSR、在功率注入空間上保證暫態(tài)穩(wěn)定的DSR、在發(fā)電功率注入空間上保證靜態(tài)電壓穩(wěn)定的SVSR（由鞍節(jié)分岔點組成）以及在功率注入空間確保小擾動穩(wěn)定的SDSR（由Hopf分岔點組成），均具有如下特征：

· 當僅考慮（僅關(guān)心）從正常初始運行點以準穩(wěn)態(tài)的形式緩慢增長（向外連續(xù)擴展）并且首次遇到安全域邊界所包圍的范圍時，定義在功率注入空間和決策空間上的安全域是唯一的和連通的，與運行狀態(tài)無關(guān)。

· 其內(nèi)部無空洞，即安全范圍僅由邊界限定。

· 其邊界是分片光滑的，這些光滑曲面交界處發(fā)生突變的原因，對于動態(tài)安全域邊界來說，是每個光滑曲面具有不同的失穩(wěn)模態(tài)（臨界割集），對于SDSR邊界來說，是每個光滑曲面具有不同的分岔類型或不同的主導(dǎo)振蕩模式。

· 其邊界可以用一個或少數(shù)幾個超平面近似描述。相應(yīng)的安全性約束的數(shù)學(xué)描述是功率注入變量組成的線性組合不等式。鑒于其與運行狀態(tài)無關(guān)，可以離線計算并存儲其超平面系數(shù)，供在線使用。

（3）基于功率注入空間上超平面形式的實用安全域及其不隨運行狀態(tài)變化而變化的特征，發(fā)掘了其在電力系統(tǒng)安全監(jiān)視、概率安全（風險）評估和優(yōu)化中具有如下超強的優(yōu)勢：

· 將全部安全約束均表示為優(yōu)化問題的決策變量（即節(jié)點功率注入）的線性組合不等式，這使得在電力系統(tǒng)優(yōu)化中可以容易地同時計及各種安全穩(wěn)定約束條件，且優(yōu)化算法簡易，在線計算速度按數(shù)量級提升，從而成功地解決了電力系統(tǒng)最優(yōu)化問題中安全穩(wěn)定約束難以處理的很大一類問題，如輸配電網(wǎng)協(xié)同優(yōu)化潮流、安全成本優(yōu)化（最優(yōu)安全控制）、緊急控制和安全約束機組啟停等。

· 基于安全域邊界的超平面表示，已從數(shù)學(xué)上把概率安全性評估中n維變量的概率密度函數(shù)的n重積分問題轉(zhuǎn)化為一維概率分布函數(shù)的閾值比較問題，從而使電力系統(tǒng)在線概率安全評估的計算量降低幾個數(shù)量級。面向未來，它將成為智能電網(wǎng)中海量不確定性分布式電源分析中強有力的工具。

· 易于實現(xiàn)可視化和快速確定安全裕度，是態(tài)勢感知的有力工具。

（4）發(fā)明了快速計算實用SSSR（輸、配電）、DSR、SVSR和CVSR邊界超平面的解析法，這些方法同通過大量仿真取得臨界點再擬合超平面的做法相比，大大提高了計算速度，而且能夠滿足工程需要的精度。

· 對于輸電網(wǎng)和配電網(wǎng)已通過交流潮流的靈敏度矩陣給出了它們的SSSR邊界超平面系數(shù)的表達式，同時推薦了快速尋求邊界上的一個基準臨界點的方法。其中，樹狀配電網(wǎng)SSSR邊界超平面系數(shù)可基于網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)和線路阻抗生成，算法極其簡便快捷，可適應(yīng)拓撲頻繁變化的智能配電網(wǎng)絡(luò)在線實時分析的需要。同時，由于超平面表達式是基于交流潮流模型推導(dǎo)而來，超平面系數(shù)能夠同時反映節(jié)點的有功功率注入和無功功率注入對節(jié)點電壓和線路電流的影響，更符合配電網(wǎng)有功功率、無功功率的耦合特性。

· 推導(dǎo)出了PDSR邊界超平面的解析表達式，并為PDSR直接法中快速搜索一個基準臨界點提供了方法。

· 建立了計算SVSR邊界的“混合法”，并在此基礎(chǔ)上，提出了一種新的追蹤高維發(fā)電注入空間中潮流可行域L1范數(shù)最遠邊界點的算法，該算法避免了頻繁啟動連續(xù)潮流計算，其結(jié)果的多解性也被用來進一步檢驗潮流可行域邊界所具有的近似超平面的性質(zhì)。

· 基于在短路故障清除時刻，電力系統(tǒng)動態(tài)模型的可達性格納姆矩陣元素在初始運行點附近近乎不變的性質(zhì)，將基于k-中心點算法的同調(diào)識別和初加速度法相結(jié)合，給出了快速識別初始運行點附近的暫態(tài)穩(wěn)定失穩(wěn)模態(tài)（從而識別臨界割集）的方法。

· 建立了與電網(wǎng)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)相對應(yīng)的圖模型，并應(yīng)用譜聚類算法確定電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定相關(guān)群的分區(qū)（非弱節(jié)點集和弱節(jié)點集，即臨界割集）的方法，用以確定需要重點關(guān)注的CVSR。

Compliance with ethics guidelines

Yixin Yu, Yanli Liu, Chao Qin, and Tiankai Yang declare that they have no conflict of interest or financial conflicts to disclose.

Nomenclature

SR 安全域

DSR, Ωd動態(tài)安全域

IGSR, Ω 綜合安全域

SSSR, ΩSS靜態(tài)安全域

PSSR 實用靜態(tài)安全域

SVSR, ΩSV保證靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的安全域

THSR, ΩT保證線路熱穩(wěn)定約束的安全域

CVSR 割集功率空間上保證靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的安全域

SDSR, ΩSD保證小擾動穩(wěn)定性的安全域

PSDSR 保證小擾動穩(wěn)定性的實用安全域

PDSR 實用動態(tài)安全域

CDSR 割集功率空間上的動態(tài)安全域

AC 交流

HVAC 高壓交流

DC 直流

Ω*T,i與支路i的熱穩(wěn)定約束相關(guān)的安全域

ΩV保證節(jié)點電壓不越限的安全域

Ω*V,i與節(jié)點i電壓約束相關(guān)的安全域

?ΩSDSDSR的邊界

?ΩSD(SNB) SDSR的SNB邊界

?ΩSD(H) SDSR的Hopf分岔邊界

?ΩdDSR的邊界

HP 超平面

HB Hopf分岔

SNB 鞍結(jié)分岔

SIB 奇異誘導(dǎo)分岔

LIB 限值誘導(dǎo)分岔

PEBS 勢能界面法

SEP 穩(wěn)定平衡點

UEP 不穩(wěn)定平衡點

CUEP 相關(guān)不穩(wěn)定平衡點

TTC 最大輸電能力

CPF 連續(xù)潮流

DAE 微分代數(shù)方程

IM 感應(yīng)電動機

SVC 靜止無功補償

DFIG 雙饋風力發(fā)電機

PV 光伏發(fā)電

QP 二次規(guī)劃

KKT Karush-Kuhn-Tucker條件

OCD 最優(yōu)條件分解法

nb支路總數(shù)

ng發(fā)電機節(jié)點總數(shù)

G ? {0, 1, 2, ..., ng} 發(fā)電機節(jié)點集合

L ? {ng+ 1, ..., n} 負荷節(jié)點集合

N ? {0, 1, 2, ..., n} 所有節(jié)點的集合

B ? {1, 2, ..., nb} 所有支路的集合

Pi節(jié)點i的有功功率注入

Qi節(jié)點i的無功功率注入

Vi節(jié)點i的電壓幅值

Vj節(jié)點j的電壓幅值

θi節(jié)點i的電壓相角

θj節(jié)點j的電壓相角

θij支路ij的支路角

PL,i臨界割集中線路i的有功潮流

QL,i臨界割集中線路i的無功潮流

Gij節(jié)點導(dǎo)納矩陣的第i行第j列元素的實部

Bij節(jié)點導(dǎo)納矩陣的第i行第j列元素的虛部

Pim節(jié)點i的有功功率注入下限

PiM節(jié)點i的有功功率注入上限

Qim節(jié)點i的無功功率注入下限

QiM節(jié)點i的無功功率注入下限

Vim節(jié)點i的電壓幅值下限

ViM節(jié)點i的電壓幅值上限

IiM支路i允許傳輸?shù)淖畲箅娏?/p>

xmx的下限

xMx的上限

δmax發(fā)電機相角差的最大允許值

IPi在Vi≈1, ?i∈N場景下，節(jié)點i的有功電流注入

IQi在Vi≈1, ?i∈N場景下，節(jié)點i的無功電流注入

R 實數(shù)域

Ik支路k的電流

ΔVk支路k的電壓降

yk支路k的導(dǎo)納

P 節(jié)點有功注入功率向量

Q 節(jié)點無功注入功率向量

PG發(fā)電機有功注入功率向量

QG發(fā)電機無功注入功率向量

PL負荷節(jié)點有功注入功率向量

QL負荷節(jié)點無功注入功率向量

IP節(jié)點有功電流注入向量

IQ節(jié)點無功電流注入向量

HP有功發(fā)電成本函數(shù)二次項系數(shù)矩陣

HQ無功發(fā)電成本函數(shù)二次項系數(shù)矩陣

fP有功發(fā)電成本函數(shù)一次項系數(shù)向量

fQ無功發(fā)電成本函數(shù)一次項系數(shù)向量