李 曉，孟欠欠，胡賀軍，孫 賀

淮北師范大學計算機科學與技術(shù)學院，安徽淮北，235000

多智能體系統(tǒng)是由一組相互作用的智能體構(gòu)成，并能完成單個智能體所不能完成的復雜而精確的任務[1]。多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制在無人機、機器人、電力系統(tǒng)、智能交通系統(tǒng)等若干領(lǐng)域都有著潛在的應用[2-4]。作為協(xié)同控制的關(guān)鍵問題，一致性問題的研究更是受到學者的廣泛青睞。一致性問題可描述為各智能體通過自身信息傳遞和局部信息融合，使得整個多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)(位置、速度、加速度等)趨于一致。為獲取多智能體系統(tǒng)一致性的充分條件，大部分的研究要求智能體間的拓撲結(jié)構(gòu)具有生成樹。然而，由于外界環(huán)境的影響，很難實現(xiàn)智能體的整個拓撲結(jié)構(gòu)具有生成樹，但部分智能體間的拓撲結(jié)構(gòu)具有生成樹卻相對容易滿足。因此，近年來關(guān)于多智能體系統(tǒng)的群組一致性受到了廣泛關(guān)注。群組一致性是指多智能體系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)由多個部分智能體組成的子圖構(gòu)成且每個子圖都具有生成樹，通過設計控制協(xié)議，使得不同群組多智能體系統(tǒng)在組內(nèi)達到某種狀態(tài)的一致性。多智能體系統(tǒng)的群組一致性在分布式傳感網(wǎng)絡、軍事偵察系統(tǒng)以及危險品檢測等應用中發(fā)揮重要作用。

近年來，通過分析一致性以及群組一致性條件，對多智能體系統(tǒng)進行的研究涌現(xiàn)了豐碩的成果。YU等[5]考慮了在切換拓撲結(jié)構(gòu)下多智能體系統(tǒng)滿足群組一致性的充分條件。宋海裕等[6]研究了一類在牽引控制下的多智能體系統(tǒng)群組一致性問題。紀良浩等[7]分析了一類低階時延多智能體系統(tǒng)在無向拓撲結(jié)構(gòu)下的存在分組時的一致性條件。Ma等[8]研究了一類二階非線性多智能體系統(tǒng)跟隨領(lǐng)導者的群組一致性問題。楊繁[9]提出了多智能體系統(tǒng)分別在有向拓撲圖和無向拓撲圖的群均衡化算法。林瑜陽等[10]研究了一類二階連續(xù)多智能體系統(tǒng)的在分組情況下的一致性。程玉娟等[11]給出了一類非線性多智能體系統(tǒng)在切換拓撲網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)下導致的分組一致性條件。王偉等[12]通過設計基于智能體記憶狀態(tài)的快速一致性協(xié)議，研究了一類低階多智能體系統(tǒng)在有向拓撲結(jié)構(gòu)下的快速分組一致性問題。司馬嘉歡[13]考慮了一類在固定有向拓撲網(wǎng)絡下的高階多智能體系統(tǒng)分組一致性的充要條件。然而，以上文獻都是基于同階多智能體組成的系統(tǒng)。在智能體系統(tǒng)的實際工程應用中，一方面，不管是自然界個體或者人造工程系統(tǒng)，在功能上或者在結(jié)構(gòu)上其差異都是不可避免的，因此動力學完全一致的智能體難以獲取。另一方面，由于群體間智能體的通信以及執(zhí)行能力存在著差異性，難以用統(tǒng)一的動力學模型去描述智能體的耦合關(guān)系，因此，關(guān)于異質(zhì)多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)一致性的條件分析具有更大的理論價值和應用前景。鑒于此，本文設計了有效的控制協(xié)議，并給出了一類由低階和高階智能體構(gòu)成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)在均方意義下的群組一致性條件，最后，利用數(shù)值算例對獲得的結(jié)果進行了驗證。

1 預備知識和問題描述

1.1 預備知識

1.2 問題描述

考慮一類由n個一階智能體和m個二階智能體組成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)，系統(tǒng)模型描述如下：

(1)

(2)

而Μ1={1,2,…,n},Μ2={n+1,n+2,…,n+m}，χi(t)∈Rm1,νi(t)∈Rm2,μi(t)∈Rm3分別表示位置、速度以及控制輸入。

本研究的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)群組均方一致性問題可以總結(jié)為：給定異質(zhì)多智能體系統(tǒng)(1)(2)，設計控制協(xié)議μi(t)使得系統(tǒng)漸近地實現(xiàn)群組均方一致性。即設計控制協(xié)議μi(t)

可以使得智能體狀態(tài)滿足如下：

limΞ{|χi(t)-χj(t)|2}=0,?i,j∈Μ1∪Μ2

limΞ{|νi(t)-νj(t)|2}=0,?i,j∈Μ2

(3)

其中,Ξ表示期望。

2 控制協(xié)議設計

設計狀態(tài)反饋控制協(xié)議(4)如下：

(4)

?i∈Μ2

(5)

其中,N1i={vj∈M1|(vj,vi)∈E}，N2i={vj∈M2|(vj,vi)∈E},Κ1,Κ2,Κ3為待求解的控制增益。

定義

分別將控制協(xié)議(4)(5)代入系統(tǒng)(1)(2)得到如下閉環(huán)系統(tǒng)：

(6)

其中

針對以上矩陣l1,l2中的元素作出以下假設:

系統(tǒng)(6)可以寫成如下矩陣形式:

(7)

隨后，對系統(tǒng)(7)進行如下模型變換。令

ξli(t)=χ1(t)-χi(t),i∈{2,3,…,n}

ξhj(t)=χn+1(t)-χj(t),ζhj=νn+1(t)-νj(t),j∈{n+2,n+3,…,n+m}

φ(t)=[ξTl2(t)…ξTln(t)ξTh(n+2)(t)…

易得

(8)

其中

ψ=diag{ψ1ψ2ψ3},ψ1=[1n-1-In-1]?Im1

ψ2=[1m-1-Im-1]?Im1,ψ3=[1m-1-Im-1]?Im2

定義如下可逆矩陣

(9)

根據(jù)(9)式以及L11n=0,L21m=0，可以得到:

由假設可知:l11m=-α1n,l21n=-β1m

Ψ1(1n?Im1)=0,Ψ2(1m?Im1)=0

(10)

成立，可以得到:

隨后易得:

即

同理可得:

根據(jù)矩陣性質(zhì)可得:

結(jié)合式(10)可得:

綜上得到如下降階閉環(huán)系統(tǒng):

(11)

其中

(12)

(13)

上述利用矩陣理論、圖論以及一系列等價變換，將待研究的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)(1)(2)滿足群組一致性的條件轉(zhuǎn)換成分析閉環(huán)系統(tǒng)(11)滿足漸近均方穩(wěn)定性的充分條件。在后續(xù)內(nèi)容中，結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論，以定理的方式給出在有向拓撲結(jié)構(gòu)下系統(tǒng)(11)滿足漸近均方穩(wěn)定性的分析條件以及系統(tǒng)(1)(2)滿足漸近均方一致性的綜合結(jié)果。

3 分析與綜合

定理1假設一階以及二階多智能的有向拓撲圖G1，G2具有有向生成樹。如果存在正定陣P，使得下式：

(14)

成立，其中

證明:構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

則V(t)沿著系統(tǒng)(11)的軌跡為:

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知系統(tǒng)(11)是漸近均方穩(wěn)定的當下式

(15)

成立，即式(14)成立。證畢。

定理2假設一階以及二階多智能的有向拓撲圖G1，G2具有有向生成樹。若存在正定矩陣Ω以及矩陣Y1,Y2,Y3使得下面的線性矩陣不等式:

(16)

成立，其中

則系統(tǒng)(1)(2)滿足群組均方一致性，控制增益如下：

Κ1=Y1Ω-1,Κ2=Y2Ω-1,Κ31=Y3Ω-1

(17)

(18)

根據(jù)(17)式可得式(18)等價于式(16)。證畢。

4 數(shù)值算例

考慮由6個智能構(gòu)成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)，其中智能體1-4滿足一階動力模型，5,6滿足二階動力學模型，系統(tǒng)描述如下：

其拓撲結(jié)構(gòu)包含兩個子圖G1，G2，如圖1所示。

圖1 6個智能體間有向拓撲圖

G1，G2均具有有向生成樹，G1和G2以及兩個子圖之間對應的Laplace矩陣分別為:

將以上參數(shù)代入定理1的(14)式中，通過Matlab獲得可行性解以及相應的控制增益:

可得，所研究的一類多智能體系統(tǒng)(1)(2)在控制協(xié)議(4)(5)作用下能夠?qū)崿F(xiàn)群組均方一致性。

5 結(jié) 語

通過設計狀態(tài)反饋控制協(xié)議研究了一類由一階和二階多智能體構(gòu)成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)在均方條件下滿足群組一致性的充分條件。隨后，對系統(tǒng)模型進行變換，進而將異質(zhì)多智能體系統(tǒng)群組一致性問題轉(zhuǎn)換為低階閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性問題。利用圖論、矩陣理論以及Lyapunov穩(wěn)定性定理給出了閉環(huán)系統(tǒng)漸近均方穩(wěn)定以及多智能體系統(tǒng)群組均方一致性的充分條件。最后，通過數(shù)值算例對結(jié)果的正確性進行了驗證。