◆俞鐘行/ 文

享譽(yù)全球的田口方法也叫穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)，《六西格瑪管理》[1]的第7章第6節(jié)作了詳細(xì)介紹，給出兩個靜態(tài)情況下的案例。考慮到目前人所具備的計(jì)算資源和能力已決非田口時(shí)代的人所能比，本文便用這兩個案例的試驗(yàn)設(shè)計(jì)、方案實(shí)施及采集到的實(shí)測數(shù)據(jù)，采用截然不同但更有效的數(shù)據(jù)分析處理方法，來獲得相同或更好的結(jié)果。這個方法稱之為“因素趨勢法”[2]，易于推廣應(yīng)用。

下面分別介紹這兩個案例，省略原數(shù)據(jù)分析部分（用minitab），只給出原所得結(jié)果，然后給出基于excel的“因素趨勢法”數(shù)據(jù)分析。

1 原例7-9：塑料袋口封裝機(jī)封裝強(qiáng)度分析

指標(biāo)：封裝強(qiáng)度（望目），為18（kg）?？煽匾蛩丶八揭姳?，用L9（34）試驗(yàn)。

用綜合誤差法，對每種試驗(yàn)條件選取最不利狀況，進(jìn)行2次試驗(yàn)。試驗(yàn)方案和結(jié)果見表2。

表1 可控因素水平表

原例進(jìn)行數(shù)據(jù)分析后認(rèn)為，可以有下列兩種選擇：（1）如果能容忍與目標(biāo)18的誤差，就選擇表2的第2次試驗(yàn)方案為最佳方案，它的兩次實(shí)測平均值為18.2。這個最佳方案是A1B2C2。（2）若希望得到更精確的結(jié)果，則保留B2C2，在A1=60及A2=75之間再進(jìn)一步做試驗(yàn)。

1.1 畫因素趨勢圖。此法一開始做常規(guī)的“極差分析”（這里省略步驟），并畫出“因素趨勢圖”，見圖1。

1.2 廣義線性回歸。圖1顯示：因素A最強(qiáng)且呈“角”或V狀，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)插入A的平方項(xiàng)（以AA表示）會有明顯效果，實(shí)際上插入AA后再用excel的“回歸”模塊分析，復(fù)相關(guān)系數(shù)就從0.43躍升到0.65，方程p值從0.39驟降為0.11等，說明這個“插項(xiàng)”是正確的。另外從圖1看到A和B這兩個最強(qiáng)因素的變化趨勢明顯交叉，它們之間可能有交互作用；B和C這兩個因素雖然最弱但變化趨勢相反，它們之間也可能有交互作用……究竟判斷得對不對，以回歸結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)。

對于此例，曾選得3種可考慮的方案組合，它們含有的因素分別有①A、B、C、AA、AB；②A、B、C、AA、BC；③B、C、AA、BC。但經(jīng)過綜合比較后，主要比較復(fù)相關(guān)系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)誤差、殘差和Ru值（用于比較因素項(xiàng)數(shù)不同的回歸方程）等，認(rèn)為②是最好的。方案②在excel電子表格的界面如表3所示。這里要說明兩點(diǎn)：第一，因?yàn)樵總€試驗(yàn)條件下作兩次試驗(yàn)，為利用excel分析數(shù)據(jù)方便，按文獻(xiàn)[2]p49“把重復(fù)的正交試驗(yàn)變?yōu)橄噙B的正交試驗(yàn)”，已先把表2的左4列拷貝到表2下，再把表2的Y2列拷貝到Y(jié)1列下，并把Y1改為Y。第二，這里已在表2原有的A、B和C三個因素的基礎(chǔ)上，加插了“AA”因素項(xiàng)及“BC”因素項(xiàng)。AA的第1行3600等于A的第1行60的平方；BC的第1行32等于B的第1行32與C的第1行1的積，依次類推。

現(xiàn)在用excel的“數(shù)據(jù)分析”中的“回歸”模塊做分析，可得結(jié)果。其實(shí)在前面的分析過程中，已反復(fù)應(yīng)用此模塊，為了節(jié)約篇幅未顯示。其最后結(jié)果如圖2所示。

表2 試驗(yàn)方案和結(jié)果

圖1 因素趨勢圖（自左向右，因素為A、B和C）

表3 方案②在excel電子表格的界面

所得到的結(jié)果并非理想，如殘差SS對總計(jì)SS所占的比例較大，各因素的p值也不夠小等。在作者成功應(yīng)用的幾十例“因素趨勢法”中，這個例子屬于相當(dāng)不好弄的，這或許跟數(shù)據(jù)來自“最不利狀況…兩次試驗(yàn)”有關(guān)。但即便如此，還是得到明顯優(yōu)于原例的分析結(jié)果?，F(xiàn)在從圖2最下表的左面兩列，得到回歸方程：

圖2 相對最佳方案的回歸結(jié)果

1.3 規(guī)劃求解選優(yōu)。把excel的“規(guī)劃求解”設(shè)置好上述方程后，先把原例已得到的最優(yōu)方案A1=60、B2=36、C2=1.25代入方程，得到預(yù)測值y=18.26111，和實(shí)測值很接近。因規(guī)劃求解是局部選優(yōu)，宜多設(shè)幾個“初始條件”求解。先設(shè)初始條件為0，預(yù)測得到的目標(biāo)值18，各因素的最佳值分別為A=60.00121（就是A1）、B=32.00485（就是B1）、C=1.098059（很接近C1）。基本就是表2中的第1次試驗(yàn)。但這個組合似乎并不好，因?yàn)閺膶?shí)測結(jié)果看，平均值17.5離18有距離，極差3是所有9次試驗(yàn)中最大的。這個組合被選上應(yīng)跟初始值為0有關(guān)，因?yàn)檫x上的各因素水平值都是最靠近0的。

再以實(shí)測中最佳組合A1=60、B2=36、C2=1.25為初始條件，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在本來就比較好的方案附近再選優(yōu)，容易得到好的方案。實(shí)際上，這次規(guī)劃求解預(yù)測得到的目標(biāo)值為17.99999，各因素的最佳值分別為A=60（就是A1）、B=39.21267（很接近B3）、C=1.268592（很接近C2）。在表2中，A1B3C2這個方案是沒有的，但有A1B3C3，即第3次試驗(yàn)。這第3次試驗(yàn)雖然平均值是17.25，離目標(biāo)值18頗遠(yuǎn)，但極差為0.5，僅比極差最小的0.4小一點(diǎn)；而極差也等于0.5的第8次試驗(yàn)，其平均值為16.625，距目標(biāo)值18更遠(yuǎn)。所以，如果綜合評估的話，在原來9次試驗(yàn)里，第3次試驗(yàn)組合就是第二好的。現(xiàn)在以原第一好的組合為初始條件，探索到一個未曾實(shí)施過的新組合，就在原第二好的組合附近。這確實(shí)是“因素趨勢法”帶來的希望和成果，值得驗(yàn)證。

表4 可控因素及水平表

2 原例7-10：鈦合金磨削工藝參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

指標(biāo)：表面粗糙度Ra（望?。?，單位：μm。可控因素及水平表見表4，用L9（34）試驗(yàn)。

根據(jù)綜合誤差因子的標(biāo)準(zhǔn)條件和正側(cè)最壞條件，對每種試驗(yàn)條件各測一個數(shù)據(jù)，有關(guān)方案和結(jié)果見表5。

根據(jù)原例得到的分析結(jié)果，最佳試驗(yàn)方案為：A2B1C1D3，即A=160、B=0.03、C=0.82、D=0.00125。下面可看到：因素趨勢法用完全不同的分析方法，得出與此完全相同的結(jié)論。

表5 試驗(yàn)方案和結(jié)果

表6 試驗(yàn)方案和結(jié)果（含極差分析和插項(xiàng)）

圖3 因素趨勢圖（自左向右，因素為A、B、C和D）

2.1 畫因素趨勢圖。這里要特別注意的是，表5中各因素的水平值是亂序的，如B是從小到大，D是從大到小。而且即使排好序，同一個因素各個水平之間的間隔大小也不相同，但此例差距不大。

為了正確地畫出“因素趨勢圖”，各因素必須有相同的排序，有的軟件在這方面存在錯誤的。

下面如同原例7-9那樣，先對原例7-10的試驗(yàn)方案和結(jié)果（表5）按文獻(xiàn)[2]p49“把重復(fù)的正交試驗(yàn)變?yōu)橄噙B的正交試驗(yàn)”做好拷貝，并做“極差分析”，所得結(jié)果見表6。為了節(jié)約篇幅，圖6中的右起第2、第3列為后來插入的項(xiàng)，下面會作解釋。而如何在excel電子表格上用sumif等內(nèi)置函數(shù)等做“極差分析”，具體步驟可參見文獻(xiàn)[2]p53。接著畫出因素趨勢圖，見圖3，具體步驟可參見文獻(xiàn)[2]p54～55。需要特別注意的是，必須先對每個因素都按相同順序（這里都是升序）排好序，然后才能正確地畫出因素趨勢圖。

2.2 廣義線性回歸。從圖3可見，因素B呈“角”或V狀，可以插入B的2次項(xiàng)。對照“常見的函數(shù)圖形”（無論是《統(tǒng)計(jì)手冊》還是原國家質(zhì)量工程師職業(yè)資格考試的中級教材里都有），覺得因素D的形狀有點(diǎn)類似y=aeb/x(b＜0)，于是嘗試插入e-1/D這一項(xiàng)?，F(xiàn)在就得到表6所示的結(jié)果。其中右起第2列第2行的2.1981×10-87，就是e取2.712時(shí)e-1/0.005的計(jì)算結(jié)果。再對表6有關(guān)部分用excel“回歸”模塊分析，得到結(jié)果如圖4所示。可以說回歸的結(jié)果里所有指標(biāo)都很不錯。而在插項(xiàng)前，復(fù)相關(guān)系數(shù)僅為0.803，標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.028295，殘差為0.0104，A與B的p值都超過0.48?，F(xiàn)在得到回歸方程為：

圖4 插項(xiàng)后回歸分析結(jié)果

2.3 規(guī)劃求解選優(yōu)。先把原例已得到的最優(yōu)方案A2=160、B1=0.03、C1=0.82、D3=0.00125代入上面方程，得到預(yù)測值y=0.139773。把上述最優(yōu)方案設(shè)為初始條件，再做規(guī)劃求解，沒有發(fā)生任何變化！這說明用因素趨勢法分析所得結(jié)果，與用穩(wěn)健參數(shù)法完全一致。再選擇表5中實(shí)測結(jié)果最好的第6次試驗(yàn)方案為初始條件：A2=160、B3=0.09、C1=0.82、D2=0.0025。實(shí)施規(guī)劃求解前，預(yù)測值為0.18144；實(shí)施規(guī)劃求解后，預(yù)測值為0.145773，有所改善，同時(shí)因素D發(fā)生變化，從D2=0.0025變到D3=0.00125。顯然，這個局部最優(yōu)解不如剛才所得的最優(yōu)方案。

把“因素趨勢法”嫁接到“穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)”上，在這兩個案例上都取得好的效果。文獻(xiàn)[2]p205～210的“減少產(chǎn)品聚合物含量”也是類似成功案例，以后一定會有更多這樣的案例。