◆俞鐘行/ 文

享譽全球的田口方法也叫穩(wěn)健參數設計，《六西格瑪管理》[1]的第7章第6節(jié)作了詳細介紹，給出兩個靜態(tài)情況下的案例?？紤]到目前人所具備的計算資源和能力已決非田口時代的人所能比，本文便用這兩個案例的試驗設計、方案實施及采集到的實測數據，采用截然不同但更有效的數據分析處理方法，來獲得相同或更好的結果。這個方法稱之為“因素趨勢法”[2]，易于推廣應用。

下面分別介紹這兩個案例，省略原數據分析部分（用minitab），只給出原所得結果，然后給出基于excel的“因素趨勢法”數據分析。

1 原例7-9：塑料袋口封裝機封裝強度分析

指標：封裝強度（望目），為18（kg）?？煽匾蛩丶八揭姳?，用L9（34）試驗。

用綜合誤差法，對每種試驗條件選取最不利狀況，進行2次試驗。試驗方案和結果見表2。

表1 可控因素水平表

原例進行數據分析后認為，可以有下列兩種選擇：（1）如果能容忍與目標18的誤差，就選擇表2的第2次試驗方案為最佳方案，它的兩次實測平均值為18.2。這個最佳方案是A1B2C2。（2）若希望得到更精確的結果，則保留B2C2，在A1=60及A2=75之間再進一步做試驗。

1.1 畫因素趨勢圖。此法一開始做常規(guī)的“極差分析”（這里省略步驟），并畫出“因素趨勢圖”，見圖1。

1.2 廣義線性回歸。圖1顯示：因素A最強且呈“角”或V狀，根據經驗插入A的平方項（以AA表示）會有明顯效果，實際上插入AA后再用excel的“回歸”模塊分析，復相關系數就從0.43躍升到0.65，方程p值從0.39驟降為0.11等，說明這個“插項”是正確的。另外從圖1看到A和B這兩個最強因素的變化趨勢明顯交叉，它們之間可能有交互作用；B和C這兩個因素雖然最弱但變化趨勢相反，它們之間也可能有交互作用……究竟判斷得對不對，以回歸結果為標準。

對于此例，曾選得3種可考慮的方案組合，它們含有的因素分別有①A、B、C、AA、AB；②A、B、C、AA、BC；③B、C、AA、BC。但經過綜合比較后，主要比較復相關系數、標準誤差、殘差和Ru值（用于比較因素項數不同的回歸方程）等，認為②是最好的。方案②在excel電子表格的界面如表3所示。這里要說明兩點：第一，因為原每個試驗條件下作兩次試驗，為利用excel分析數據方便，按文獻[2]p49“把重復的正交試驗變?yōu)橄噙B的正交試驗”，已先把表2的左4列拷貝到表2下，再把表2的Y2列拷貝到Y1列下，并把Y1改為Y。第二，這里已在表2原有的A、B和C三個因素的基礎上，加插了“AA”因素項及“BC”因素項。AA的第1行3600等于A的第1行60的平方；BC的第1行32等于B的第1行32與C的第1行1的積，依次類推。

現在用excel的“數據分析”中的“回歸”模塊做分析，可得結果。其實在前面的分析過程中，已反復應用此模塊，為了節(jié)約篇幅未顯示。其最后結果如圖2所示。

表2 試驗方案和結果

圖1 因素趨勢圖（自左向右，因素為A、B和C）

表3 方案②在excel電子表格的界面

所得到的結果并非理想，如殘差SS對總計SS所占的比例較大，各因素的p值也不夠小等。在作者成功應用的幾十例“因素趨勢法”中，這個例子屬于相當不好弄的，這或許跟數據來自“最不利狀況…兩次試驗”有關。但即便如此，還是得到明顯優(yōu)于原例的分析結果?，F在從圖2最下表的左面兩列，得到回歸方程：

圖2 相對最佳方案的回歸結果

1.3 規(guī)劃求解選優(yōu)。把excel的“規(guī)劃求解”設置好上述方程后，先把原例已得到的最優(yōu)方案A1=60、B2=36、C2=1.25代入方程，得到預測值y=18.26111，和實測值很接近。因規(guī)劃求解是局部選優(yōu)，宜多設幾個“初始條件”求解。先設初始條件為0，預測得到的目標值18，各因素的最佳值分別為A=60.00121（就是A1）、B=32.00485（就是B1）、C=1.098059（很接近C1）?；揪褪潜?中的第1次試驗。但這個組合似乎并不好，因為從實測結果看，平均值17.5離18有距離，極差3是所有9次試驗中最大的。這個組合被選上應跟初始值為0有關，因為選上的各因素水平值都是最靠近0的。

再以實測中最佳組合A1=60、B2=36、C2=1.25為初始條件，根據經驗，在本來就比較好的方案附近再選優(yōu)，容易得到好的方案。實際上，這次規(guī)劃求解預測得到的目標值為17.99999，各因素的最佳值分別為A=60（就是A1）、B=39.21267（很接近B3）、C=1.268592（很接近C2）。在表2中，A1B3C2這個方案是沒有的，但有A1B3C3，即第3次試驗。這第3次試驗雖然平均值是17.25，離目標值18頗遠，但極差為0.5，僅比極差最小的0.4小一點；而極差也等于0.5的第8次試驗，其平均值為16.625，距目標值18更遠。所以，如果綜合評估的話，在原來9次試驗里，第3次試驗組合就是第二好的?，F在以原第一好的組合為初始條件，探索到一個未曾實施過的新組合，就在原第二好的組合附近。這確實是“因素趨勢法”帶來的希望和成果，值得驗證。

表4 可控因素及水平表

2 原例7-10：鈦合金磨削工藝參數的優(yōu)化設計

指標：表面粗糙度Ra（望小），單位：μm。可控因素及水平表見表4，用L9（34）試驗。

根據綜合誤差因子的標準條件和正側最壞條件，對每種試驗條件各測一個數據，有關方案和結果見表5。

根據原例得到的分析結果，最佳試驗方案為：A2B1C1D3，即A=160、B=0.03、C=0.82、D=0.00125。下面可看到：因素趨勢法用完全不同的分析方法，得出與此完全相同的結論。

表5 試驗方案和結果

表6 試驗方案和結果（含極差分析和插項）

圖3 因素趨勢圖（自左向右，因素為A、B、C和D）

2.1 畫因素趨勢圖。這里要特別注意的是，表5中各因素的水平值是亂序的，如B是從小到大，D是從大到小。而且即使排好序，同一個因素各個水平之間的間隔大小也不相同，但此例差距不大。

為了正確地畫出“因素趨勢圖”，各因素必須有相同的排序，有的軟件在這方面存在錯誤的。

下面如同原例7-9那樣，先對原例7-10的試驗方案和結果（表5）按文獻[2]p49“把重復的正交試驗變?yōu)橄噙B的正交試驗”做好拷貝，并做“極差分析”，所得結果見表6。為了節(jié)約篇幅，圖6中的右起第2、第3列為后來插入的項，下面會作解釋。而如何在excel電子表格上用sumif等內置函數等做“極差分析”，具體步驟可參見文獻[2]p53。接著畫出因素趨勢圖，見圖3，具體步驟可參見文獻[2]p54～55。需要特別注意的是，必須先對每個因素都按相同順序（這里都是升序）排好序，然后才能正確地畫出因素趨勢圖。

2.2 廣義線性回歸。從圖3可見，因素B呈“角”或V狀，可以插入B的2次項。對照“常見的函數圖形”（無論是《統(tǒng)計手冊》還是原國家質量工程師職業(yè)資格考試的中級教材里都有），覺得因素D的形狀有點類似y=aeb/x(b＜0)，于是嘗試插入e-1/D這一項?，F在就得到表6所示的結果。其中右起第2列第2行的2.1981×10-87，就是e取2.712時e-1/0.005的計算結果。再對表6有關部分用excel“回歸”模塊分析，得到結果如圖4所示。可以說回歸的結果里所有指標都很不錯。而在插項前，復相關系數僅為0.803，標準誤差為0.028295，殘差為0.0104，A與B的p值都超過0.48。現在得到回歸方程為：

圖4 插項后回歸分析結果

2.3 規(guī)劃求解選優(yōu)。先把原例已得到的最優(yōu)方案A2=160、B1=0.03、C1=0.82、D3=0.00125代入上面方程，得到預測值y=0.139773。把上述最優(yōu)方案設為初始條件，再做規(guī)劃求解，沒有發(fā)生任何變化！這說明用因素趨勢法分析所得結果，與用穩(wěn)健參數法完全一致。再選擇表5中實測結果最好的第6次試驗方案為初始條件：A2=160、B3=0.09、C1=0.82、D2=0.0025。實施規(guī)劃求解前，預測值為0.18144；實施規(guī)劃求解后，預測值為0.145773，有所改善，同時因素D發(fā)生變化，從D2=0.0025變到D3=0.00125。顯然，這個局部最優(yōu)解不如剛才所得的最優(yōu)方案。

把“因素趨勢法”嫁接到“穩(wěn)健參數設計”上，在這兩個案例上都取得好的效果。文獻[2]p205～210的“減少產品聚合物含量”也是類似成功案例，以后一定會有更多這樣的案例。