張博戎，馬 英，何 巍，容 易，劉竹生

(1. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076；2.中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引 言

目前，深空探測軌道優(yōu)化研究大多基于天體引力影響球模型和軌道拼接方法進(jìn)行，對于飛出地球引力影響球的深空任務(wù)，探測器出發(fā)條件在初步軌道設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一般簡化為從地心出發(fā)的速度矢量[1-2]。如果考慮地球引力影響球大小尺度，彈軌道拼接將具有更多的自由度和優(yōu)化空間。

此外，部分研究將深空出發(fā)條件限定為“施加逃逸速度脈沖前，探測器位于指定高度近地軌道上的任意一點(diǎn)”[3-5]，并對出發(fā)點(diǎn)赤緯[6]或停泊軌道傾角進(jìn)行約束[7]，這相當(dāng)于限制了彈軌道拼接的自由度，但并未進(jìn)一步解決近地停泊軌道與運(yùn)載火箭主動段彈道的拼接問題，因此仍具有研究空間。

事實(shí)上，對運(yùn)載火箭主動段彈道設(shè)計(jì)來講，受限于火箭發(fā)射場地理位置、射向、末級滑行時間等實(shí)際約束，探測器從地球引力影響球面或停泊軌道上的出發(fā)位置十分有限[8]，這些參數(shù)也直接影響到彈軌道是否可以成功拼接。目前深空探測軌跡優(yōu)化理論研究和工程應(yīng)用中均未詳細(xì)分析火箭約束對于彈軌道拼接問題的影響規(guī)律，并未分析不同火箭約束對于各類深空探測窗口的適應(yīng)能力，但這些指標(biāo)卻是實(shí)際工程任務(wù)開展所必須考慮的要素，也有可能影響全局任務(wù)規(guī)劃結(jié)果，因而對其進(jìn)行詳細(xì)的定量研究十分必要。

實(shí)現(xiàn)彈軌道全局設(shè)計(jì)需要依據(jù)具體情況，在優(yōu)化能力、復(fù)雜度、適用性之間加以權(quán)衡。運(yùn)載火箭發(fā)射深空探測器不同于臨近空間飛行器，不需多次出入大氣層，因此有必要對此類情況單獨(dú)分析[9]。本文對彈軌道拼接過程進(jìn)行了建模，分析了方程組自由度個數(shù)，并研究了彈軌道拼接存在解的變量區(qū)間及變化規(guī)律，最后提出了一種δ-C3圖方法，可以用于一般彈軌道拼接問題是否有解的判斷依據(jù)。

1 軌道拼接計(jì)算模型與自由度分析

一般來講，運(yùn)載火箭發(fā)射深空探測器會先將有效載荷和火箭末級的組合體送至近地停泊軌道，軌道高度一般在180～400 km范圍，隨后末級等待合適時機(jī)二次點(diǎn)火，使有效載荷得到足夠飛出地球引力影響球的速度[10]。

建立彈軌道拼接問題簡化模型，本文基于以下3點(diǎn)假設(shè)：1)地球引力影響球假設(shè)；2)假設(shè)近地停泊軌道是半徑為6578 km圓軌道；3)逃逸速度脈沖切向假設(shè)。

依據(jù)以上模型，深空探測彈軌道拼接可以分為兩個步驟:第一步是已知深空出發(fā)速度，選擇合適的雙曲線逃逸軌道與近地停泊軌道拼接;第二步是根據(jù)停泊軌道選擇合適的參數(shù)與火箭發(fā)射彈道拼接。

1.1 逃逸軌道與停泊軌道拼接問題分析

在地球慣性系中考慮雙曲線逃逸軌道與近地停泊軌道(LEO)拼接問題，如圖1所示，Z軸為地球自轉(zhuǎn)軸，vdpt為地球慣性系下深空出發(fā)速度矢量，其大小方向已確定，但在地球引力影響球面上的拼接點(diǎn)位置可以自由選擇。通過平移vdpt矢量，其延伸出的可拼接雙曲線軌道有多種選擇，這些雙曲線軌道的集合是以圖中H軸呈中心對稱的一簇曲線，例如軌道①和軌道②，即為該簇曲線中的兩條。以軌道①為例，其與地球引力影響球(SOI)球面相交于Q點(diǎn)，與停泊軌道相切于P點(diǎn)，P點(diǎn)即是施加逃逸速度脈沖位置。與這一簇雙曲線逃逸軌道拼接的近地圓軌道集合關(guān)于出發(fā)速度地心矢量軸(即圖1中H軸)中心對稱，且均經(jīng)過公共點(diǎn)M。

圖1 逃逸軌道與停泊軌道拼接示意圖Fig.1 Splicing diagram of escape orbit and parking orbit

在Q點(diǎn)建立描述拼接問題的方程組，與拼接方程相關(guān)的變量是速度v、位置r、時間t，共7個自由度。其中速度需要嚴(yán)格等于深空出發(fā)速度vdpt，占去3個自由度；位置要求大小等于地球引力影響球半徑RSOI，占去1個自由度，按文獻(xiàn)[11]計(jì)算方法，本文取92萬千米為地球引力影響球半徑；此外，停泊軌道高度為定值和切向加速假設(shè)同時也對Q點(diǎn)位置施加了一個額外的等式約束，占去1個自由度。需要注意到，盡管嚴(yán)格來講，Q點(diǎn)的時間也應(yīng)當(dāng)?shù)扔谏羁粘霭l(fā)時刻，但是考慮到在地球自轉(zhuǎn)一周的時間范圍內(nèi)尋找發(fā)射機(jī)會，拼接時刻變化給深空軌道帶來的改變十分微小，因此可以認(rèn)為時間沒有約束。

為便于描述約束關(guān)系與自由度所代表的實(shí)際含義，建立原點(diǎn)在地心O的空間球坐標(biāo)系，如圖2所示。以深空出發(fā)速度vdpt方向?yàn)閦′軸，即天頂方向，以ψ表示仰角。在垂直于z′軸方向建立x′Oy′平面，其上用θ表示方位角，通過r,ψ,θ表征Q點(diǎn)幾何位置。

圖2 描述自由度的球坐標(biāo)系定義Fig.2 Definition of spherical coordinate system describing DOF

根據(jù)以上判斷可知，指定高度停泊軌道約束和逃逸速度切向假設(shè)相當(dāng)于限定了Q點(diǎn)的仰角ψ為定值，其大小可以根據(jù)∠MPO和∠POQ求解確定，∠MPO的大小φMP與停泊軌道高度和逃逸速度相關(guān)，在后文式(8)中有詳細(xì)計(jì)算過程?！螾OQ大小φPQ與停泊軌道高度和引力影響球半徑有關(guān)，可參考文獻(xiàn)[12]由幾何關(guān)系求解確定。方位角θ可以在0°～360°范圍內(nèi)任意取值。用數(shù)學(xué)關(guān)系描述Q點(diǎn)的約束關(guān)系，有方程組關(guān)系式(1)。

(1)

方程組(1)共具有2個自由度，其中一個是時間自由度，另一個是方位角的自由度，也可以理解為停泊軌道面繞H軸轉(zhuǎn)角的自由度。由幾何關(guān)系易知，一旦確定了停泊軌道面繞H軸的轉(zhuǎn)角，就可以直接求解得到P點(diǎn)的停泊軌道六根數(shù)，進(jìn)而考慮停泊軌道與發(fā)射彈道的拼接問題。

1.2 停泊軌道與發(fā)射彈道拼接問題分析

在方程組(1)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮發(fā)射場位置，分析發(fā)射彈道拼接問題。定義地球慣性系Z軸與停泊軌道對稱軸H形成的Z-H平面，設(shè)H軸上與M點(diǎn)相對地心O對稱的點(diǎn)為N，易知ON指向即為深空出發(fā)速度vdpt方向，按Z軸北極向上指向畫出Z-H平面示意圖。定義θ角為停泊軌道繞H軸所轉(zhuǎn)夾角，其取值范圍為[0，2π]，θ零點(diǎn)位置對應(yīng)停泊軌道定義為在Z-H平面內(nèi)，軌道運(yùn)行方向從N點(diǎn)轉(zhuǎn)向Z軸南極方向，如圖3中N點(diǎn)沿軌道切向箭頭所示。

圖3 停泊軌道與運(yùn)載火箭彈道拼接示意圖Fig.3 Splicing diagram of parking orbit and launching ballistic

假設(shè)發(fā)射場位于北半球所在緯度圈，則在地球自轉(zhuǎn)一周時間范圍內(nèi)，針對每一個θ角的停泊軌道，其在天球上都可能存在兩個與發(fā)射場緯度圈交點(diǎn)，分別是L1-L1′、L2-L2′，其中L1、L2點(diǎn)位于發(fā)射場緯度圈上，L1′、L2′點(diǎn)位于停泊軌道上。這兩組交點(diǎn)分別代表一條從指定點(diǎn)出發(fā)的無偏航發(fā)射彈道，分別是：1)L1點(diǎn)發(fā)射，I1點(diǎn)入軌，經(jīng)過降交點(diǎn)E2滑行至M點(diǎn)，隨后于P點(diǎn)加速逃逸；2)L2點(diǎn)發(fā)射，I2點(diǎn)入軌，經(jīng)過降交點(diǎn)E2至M點(diǎn)后，于P點(diǎn)逃逸。這兩條彈道雖然達(dá)到同樣的停泊軌道，但是其發(fā)射時刻、射向、滑行時間、抵達(dá)M點(diǎn)時刻均不同。區(qū)別起見，本文以下部分將此同一停泊軌道下的兩種發(fā)射方案分別稱為“升軌發(fā)射”和“降軌發(fā)射”。

考慮方程組(1)中剩余的2個自由度，其中一個表征為θ角的自由度，在停泊軌道確定后，這一自由度就不復(fù)存在。另一個自由度需用于匹配發(fā)射場地理經(jīng)度，因?yàn)闊o法保證L1、L2點(diǎn)的位置在發(fā)射時刻恰好與發(fā)射場重合，所以必須建立等式關(guān)系以滿足發(fā)射時刻約束式(2)。

αL=α0(L0,t*)

(2)

式中：α0是發(fā)射場在時刻t*時的赤經(jīng)，其同時與發(fā)射場地理經(jīng)度L0相關(guān)。αL是依據(jù)停泊軌道反算得到的發(fā)射點(diǎn)赤經(jīng)。

求解式(2)，得到地理經(jīng)度與赤經(jīng)匹配的發(fā)射時刻t*后，停泊軌道與發(fā)射彈道拼接問題即可全部確定。將以上計(jì)算過程代入方程組(1)，得到完整描述整段彈軌道拼接問題的方程組(3)。

(3)

式中:t*代表根據(jù)式(2)求解得到的發(fā)射時刻，tL代表火箭主動段飛行時間，在初步分析中可以認(rèn)為是定值，tc是火箭滑行段時間，其計(jì)算過程會在下文詳細(xì)分析，th代表火箭逃逸段飛行時間，在雙曲線軌道確定后可以直接根據(jù)幾何關(guān)系求解[12]，本文不再贅述。

方程組(3)中含有一個自由度，將這一個自由度理解為停泊軌道面繞H軸旋轉(zhuǎn)的角度θ，當(dāng)θ確定后，停泊軌道的軌道傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)即可直接由球面幾何關(guān)系求解式(4)～式(5)確定。

i=arccos(sinθcos|δM|>)

(4)

Ω=αM+arctan(tanθsin|δM|>)

(5)

式中：αM,δM分別為停泊軌道公共點(diǎn)M的赤經(jīng)和赤緯，可以通過vdpt求得。

需要注意，式(4)求解涉及反三角函數(shù)值域和求解參數(shù)定義域的匹配，在部分區(qū)間需要視具體情況增補(bǔ)2π項(xiàng)以滿足參數(shù)定義域。

由幾何關(guān)系易知，當(dāng)軌道傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)確定后，拼接問題有可能存在0,1,2個解，解的存在性和數(shù)量取決于發(fā)射場緯度與M點(diǎn)赤緯的大小關(guān)系。當(dāng)發(fā)射場緯度絕對值大于M點(diǎn)赤緯絕對值時，停泊軌道圈與發(fā)射場緯度圈不相交，因而無解；當(dāng)發(fā)射場緯度絕對值等于M點(diǎn)赤緯絕對值時，停泊軌道圈與發(fā)射場緯度圈恰好有一個交點(diǎn)，因而解的數(shù)量是1；當(dāng)發(fā)射場緯度絕對值小于M點(diǎn)赤緯絕對值時，停泊軌道圈與發(fā)射場緯度圈存在兩個交點(diǎn)，因此解的數(shù)量為2，分別對應(yīng)升軌發(fā)射和降軌發(fā)射。本文第2節(jié)中將通過仿真詳細(xì)討論解的特點(diǎn)。

當(dāng)θ角和解的存在性確定后，可以在停泊軌道平面內(nèi)計(jì)算滑行時間，如圖4所示。假設(shè)運(yùn)載火箭于L點(diǎn)起飛，飛行至I點(diǎn)進(jìn)入停泊軌道，隨后滑行經(jīng)過停泊軌道公共點(diǎn)M，最后至P點(diǎn)進(jìn)入逃逸軌道。

圖4 停泊軌道面內(nèi)彈軌道示意圖Fig.4 Schematic diagram of ballistic-orbit splicing in parking orbit plane

這一發(fā)射方案的滑行時間tc可通過IP弧段所對應(yīng)的地心角計(jì)算，如式(6)所示。

(6)

式中：T為停泊軌道周期，LM段地心角φLM可由球面幾何關(guān)系算得，如式(7)所示。

(7)

式中：H0為發(fā)射場的地理緯度，i為停泊軌道傾角，正負(fù)號取值需分類討論，此外需判斷升降焦點(diǎn)與LM弧段位置關(guān)系增減π項(xiàng)以滿足反三角函數(shù)值域和參數(shù)定義域匹配，本文第2節(jié)對此有詳細(xì)說明。

注意到，由于arcsin函數(shù)有定義域限制，所以式(7)可能無解。從物理意義上講，式(7)無解說明選定的停泊軌道不經(jīng)過發(fā)射場緯度圈上方，因而無法在不施加偏航的情況下完成彈道拼接。

式(6)中MP段地心角可通過雙曲線逃逸軌道幾何參數(shù)求得[12]，如式(8)所示。

(8)

式中：μ為地球引力常數(shù)，RE和hLEO分別為地球半徑和停泊軌道高度。

最后，還需根據(jù)彈道程序獲得LI段地心角，由于同一型火箭達(dá)到同一高度停泊軌道所飛行的路線長度近似，所以φLI在初步計(jì)算中可以認(rèn)為是定值。設(shè)運(yùn)載火箭進(jìn)入停泊軌道的射程為Lr，如式(9)所示。

(9)

將式(7)～式(9)代入式(6)，可得到滑行時間的全部計(jì)算公式。

根據(jù)球面幾何關(guān)系推導(dǎo)射向A，如式(10)所示。

(10)

至此，與彈軌道拼接相關(guān)的全部參數(shù)均已求解確定，可以依此進(jìn)一步計(jì)算不同出發(fā)條件和發(fā)射場約束下的射向與滑行時間。

2 運(yùn)載火箭射向與滑行時間匹配規(guī)律分析

已知深空出發(fā)速度vdpt大小和其對應(yīng)的停泊軌道公共點(diǎn)M赤緯δM，就能求解確定所有θ角停泊軌道對應(yīng)的發(fā)射參數(shù)。需要注意到，根據(jù)δM與發(fā)射場地理緯度H0的大小關(guān)系不同，需要對該問題進(jìn)行分類討論。如果δM高于發(fā)射場緯度，則在所有停泊軌道傾角取值時，拼接問題均存在兩個解，如果δM低于發(fā)射場緯度，則在停泊軌道傾角為部分取值時無解或只有一個解。此外，當(dāng)M點(diǎn)與發(fā)射場分別位于南北同半球或異半球時，停泊軌道升降交點(diǎn)E1、E2與LM段位置關(guān)系不同，因而LM段地心角計(jì)算式(7)也須進(jìn)行分類討論。以發(fā)射場位于北緯28.5°為例，針對不同δM取值可以按表1分類討論，第2.1～2.4節(jié)將分別計(jì)算這四類情況。

表1 不同M點(diǎn)赤緯取值范圍對應(yīng)軌道形式Table 1 Orbital status correspond to different range of M declinations

2.1 停泊軌道公共點(diǎn)緯度高于發(fā)射場且位于異半球

假定深空出發(fā)速度vdpt大小為10 km/s，M點(diǎn)赤緯δM為-40°，與發(fā)射場異半球且高于發(fā)射場地理緯度。入軌位置關(guān)系見圖3。

在此類情況中，所有繞H軸旋轉(zhuǎn)的停泊軌道均在天球上與發(fā)射場緯度圈有兩個交點(diǎn)，由式(4)、式(5)可以計(jì)算θ角與停泊軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)的關(guān)系，如圖5所示。

圖5 停泊軌道軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)隨θ角變化曲線Fig.5 Correlation curve of RAAN and inclination of parking orbit expressed by θ

從圖5可以看出，升交點(diǎn)赤經(jīng)與θ角一一對應(yīng)，在θ繞H軸旋轉(zhuǎn)一周時，停泊軌道升交點(diǎn)也恰好旋轉(zhuǎn)一周。與此同時，軌道傾角可唯一確定，隨θ呈類正弦波動，最小值與出發(fā)速度方向赤緯相等，最大值對應(yīng)軌道面與最小軌道傾角面重合，旋轉(zhuǎn)方向相反。此圖進(jìn)一步說明了方程組(3)所包含的自由度關(guān)系，其既可以用θ角表示，也可以用停泊軌道的升交點(diǎn)赤經(jīng)或軌道傾角來描述。本文采用θ角來表征這一自由度，原因是θ角既可以與每個停泊軌道一一對應(yīng)，同時也能在0到2π的范圍內(nèi)連續(xù)變化，其物理意義相比升交點(diǎn)赤經(jīng)和軌道傾角更為明確。

根據(jù)式(6)～式(9)，可以計(jì)算不同停泊軌道對應(yīng)的火箭末級滑行段地心角大小，如圖6所示。

圖6 運(yùn)載火箭末級滑行段地心角隨θ角變化曲線Fig.6 Correlation curve between rocket’s coasting angle and θ

從圖6可以看出，滑行時間隨θ角呈現(xiàn)周期變化關(guān)系。無論是降軌發(fā)射還是升軌發(fā)射，其最短滑行時間均對應(yīng)θ角取180°，最大值均對應(yīng)θ角取0°或360°，且長短滑行時間增減趨勢基本保持同步。本類情況中，可達(dá)到的最短滑行地心角約為110°，約相當(dāng)于27 min。另外注意到，升軌發(fā)射方案的滑行時間均會大于降軌發(fā)射，這是因?yàn)镸點(diǎn)位于發(fā)射場緯度圈南方所致。

圖7 運(yùn)載火箭射向隨θ角變化曲線Fig.7 Correlation curve between launching azimuth and θ

進(jìn)一步根據(jù)式(10)計(jì)算不同發(fā)射彈道對應(yīng)的射向，如圖7所示。從圖7可以看出，兩種發(fā)射方案射向均隨θ角表現(xiàn)出周期變化的關(guān)系，且當(dāng)θ角小于180°時，兩種發(fā)射方案射向關(guān)于90°對稱，當(dāng)θ角大于180°時，兩種發(fā)射方案射向關(guān)于270°對稱。在本算例中，由于發(fā)射場地處北半球，所以短滑行的降軌發(fā)射方案射向均為偏南方向，長滑行的升軌發(fā)射方案均為偏北射向，即火箭起飛后會經(jīng)由北極上空再飛至M點(diǎn)。

一般情況下，希望運(yùn)載火箭射向接近90°，這樣可以充分利用地球自轉(zhuǎn)能量，但是對比結(jié)果發(fā)現(xiàn)，滑行時間短的發(fā)射方案射向均為正南或正北，接近90°射向的滑行時間一般都大幅高于最短滑行時間，因此在實(shí)際任務(wù)中，需要根據(jù)火箭滑行時間和射向約束合理選擇發(fā)射方案，以求在滿足拼接條件的情況下實(shí)現(xiàn)最大運(yùn)載能力。

2.2 停泊軌道公共點(diǎn)緯度低于發(fā)射場且位于異半球

假定深空出發(fā)速度vdpt大小為10 km/s，M點(diǎn)赤緯δM為-10°，與發(fā)射場異半球且低于發(fā)射場地理緯度。入軌位置關(guān)系見圖8。

圖8中，L1、L2、L1′、L2′、E1、E2等所有點(diǎn)的定義方式均同第2.1節(jié)，分別分析停泊軌道軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)隨θ角變化關(guān)系，以及升降軌滑行段地心角大小和射向隨θ角變化關(guān)系，如圖9所示。

圖9 公共點(diǎn)M赤緯為-10°時各參數(shù)隨θ角變化曲線Fig.9 Correlation curve between each parameter and θ when M declination is -10°

從圖9可以看出，升交點(diǎn)赤經(jīng)與軌道傾角的變化規(guī)律與圖5基本類似，但是由于出發(fā)速度矢量的赤緯由-40°降低為-10°，所以也使得升交點(diǎn)赤經(jīng)隨θ角的變化速率有所不同，在θ角處于90°和270°附近，停泊軌道升交點(diǎn)赤經(jīng)會發(fā)生快速變化。另外，由于出發(fā)速度矢量的赤緯較低，所以停泊軌道軌道傾角取值范圍可以進(jìn)一步擴(kuò)大，能夠在低緯度地區(qū)出現(xiàn)更多的發(fā)射機(jī)會。

此外，由于出發(fā)速度矢量所指向的赤緯低于發(fā)射場，所以對于傾角小于28.5°的停泊軌道，不存在不施加火箭偏航的發(fā)射機(jī)會，該類情況下滑行時間無解。在有解的區(qū)域，升降軌飛行方案之間的差異也呈現(xiàn)出“從0增大再減小至0”的規(guī)律，在升降軌發(fā)射方案的交點(diǎn)處，表示停泊軌道與發(fā)射場運(yùn)動軌跡在天球上相切，因而兩個解重合，退化為一個解。該例仿真結(jié)果與第1節(jié)中關(guān)于式(3)的理論分析相符。

另外注意到，在滑行段地心角隨θ角變化曲線中，由于升軌發(fā)射部分弧段的滑行地心角大小超過了360°，所以該情形實(shí)際相當(dāng)于多滑行了一周，與之對應(yīng)的實(shí)際發(fā)射方案可以晚一圈再入軌，因此就可能出現(xiàn)“0滑行時間”的解。由式(6)可知，滑行段是否出現(xiàn)零點(diǎn)解與火箭主動段射程和深空出發(fā)速度大小相關(guān)。

在射向變化方面，與滑行時間的計(jì)算結(jié)果類似，在停泊軌道傾角小于發(fā)射場地理緯度的情況下，射向無解。在有解的區(qū)域內(nèi)，同樣與圖7呈現(xiàn)出類似的規(guī)律，這是由于發(fā)射點(diǎn)位于M點(diǎn)北方的假設(shè)條件所決定的。不同于第2.1節(jié)中情形的是，在升軌發(fā)射方案中，接近90°射向可以對應(yīng)到短滑行時間的飛行方案。

2.3 停泊軌道公共點(diǎn)緯度低于發(fā)射場且位于同半球

假定深空出發(fā)速度vdpt大小為10 km/s，M點(diǎn)赤緯δM為10°，與發(fā)射場異半球且低于發(fā)射場地理緯度。本節(jié)分析方法同第2.1節(jié)、2.2節(jié)，但滑行時間計(jì)算公式需考慮到位置關(guān)系變化所帶來的正負(fù)變化和反三角函數(shù)值域?qū)?yīng)關(guān)系，因此需對式(7)結(jié)果分類討論，限于篇幅此處不詳細(xì)說明。

此種情況中，升交點(diǎn)赤經(jīng)、軌道傾角、升降軌發(fā)射射向變化規(guī)律完全等同于M點(diǎn)赤緯為-10°時的情形，因?yàn)槎叩膸缀侮P(guān)系是關(guān)于赤道面對稱的。

在滑行段地心角隨θ角變化規(guī)律中，除基本保持第2.2節(jié)中規(guī)律外，更可以發(fā)現(xiàn)平均值要普遍小于M點(diǎn)赤緯為-10°時的情形。這是因?yàn)榇死腥胲夵c(diǎn)偏向發(fā)射場所在的北半球，因而其在大多數(shù)發(fā)射情況下可以實(shí)現(xiàn)比南半球入軌更短的滑行時間。

2.4 停泊軌道公共點(diǎn)緯度高于發(fā)射場且位于同半球

假定深空出發(fā)速度vdpt大小為10 km/s，M點(diǎn)赤緯δM為40°，與發(fā)射場異半球且低于發(fā)射場地理緯度。分析方法同第2.1～2.3節(jié)，滑行時間計(jì)算與第2.3節(jié)相同，但是升降軌發(fā)射對應(yīng)的滑行段地心角求解的大小關(guān)系恰好相反，這是因?yàn)橥２窜壍拦餐c(diǎn)M位于發(fā)射場北方的原因造成的。

此種情況中，升交點(diǎn)赤經(jīng)、軌道傾角、升降軌發(fā)射射向變化規(guī)律完全等同于M點(diǎn)赤緯為-40°時的情形，因?yàn)槎叩膸缀侮P(guān)系關(guān)于赤道面對稱。在滑行段地心角隨θ角變化規(guī)律中，除保持與第2.1節(jié)中相同規(guī)律外，更出現(xiàn)了短滑行時間發(fā)射選擇，這是因?yàn)榇死腥胲夵c(diǎn)偏向發(fā)射場所在的北半球。

3 考慮約束的彈軌道拼接問題解集范圍分析

進(jìn)一步考慮指定型號運(yùn)載火箭射向和滑行時間的約束范圍，分析固定地理位置發(fā)射場對不同出發(fā)條件的匹配能力，找出不同停泊軌道中滿足約束的解集范圍。

假設(shè)發(fā)射場位于北緯28.5°，第3.1節(jié)、3.2節(jié)將分別分析考慮具體射向和滑行時間約束下的彈軌道拼接解集范圍。

3.1 考慮射向約束的解集范圍

由式(10)可知，求解射向過程與vdpt大小無關(guān)，因此在分析射向約束下的解集變化時，vdpt大小任意取值即可，令vdpt大小為10 km/s，變換M點(diǎn)赤緯，以δM和θ角為橫縱坐標(biāo)，畫出求解得到射向的曲面圖。由于射向解集在θ-δM平面內(nèi)左右對稱，且在各自半?yún)^(qū)也分別關(guān)于90°和270°取值對稱，所以只考察90°～180°射向范圍內(nèi)的解集變化情況即可知其趨勢。分別查看射向約束為90°～105°、105°～120°、120°～135°、135°～150°、150°～165°、165°～180°六種情況下的解集范圍，如圖10所示。

圖10 不同射向約束下解集變化示意圖Fig.10 Schematic diagram of solution set variation under different constraints

隨著射向約束范圍從90°逐步增加到180°，可行域的范圍也呈類同心圓狀逐步擴(kuò)大，直至覆蓋θ-δM平面的邊緣地區(qū)。當(dāng)射向約束涵蓋180°時，在任何深空出發(fā)速度方向下，均可以找到匹配拼接問題的解。

如果已知運(yùn)載火箭射向的約束范圍，則可以通過射向約束反求可行域的邊界點(diǎn)M赤緯值，根據(jù)式(2)和式(10)，假設(shè)射向約束邊界值為Acr，則可以反推得到可行域邊界點(diǎn)M赤緯表達(dá)式，如式(11)所示

δcr=±arccos(sinAcrcosH0)

(11)

從式(11)可以看出，可行域邊界點(diǎn)M赤緯的值與深空出發(fā)速度大小并無關(guān)系，因此可以直接根據(jù)運(yùn)載火箭的射向約束判斷其與深空出發(fā)速度方向的約束關(guān)系。

3.2 考慮滑行時間約束的解集范圍

由式(6)～式(9)可知，滑行時間的計(jì)算結(jié)果同時與vdpt大小、M赤緯、θ角相關(guān)，因此無法將其表示在同一幅三維曲面圖中。先假設(shè)深空出發(fā)速度大小為10 km/s，以停泊軌道轉(zhuǎn)角θ和公共點(diǎn)M赤緯為橫縱坐標(biāo)，計(jì)算滑行時間曲面，可以分別得到升軌發(fā)射與降軌發(fā)射的滑行時間曲面圖。取滑行時間約束范圍為200～1500 s，在θ-δM平面上用黑色陰影區(qū)域表示滿足約束的解集范圍，如圖11所示。

從圖11可以看出，升軌發(fā)射與降軌發(fā)射的解集有所不同，升軌發(fā)射解集基本處于θ角在小于90°或大于270°的范圍，而降軌發(fā)射的解集大致處于θ角在90°～270°的范圍內(nèi)，且兩者均偏向于M點(diǎn)偏北的部分，這是因?yàn)榛袝r間的約束使得太靠南方的入軌點(diǎn)都超出了約束上限。

綜合考慮升降軌的發(fā)射方案，取兩者可行域的并集，即為此出發(fā)條件下的全部解集。因?yàn)橐话愕纳羁仗綔y任務(wù)地球出發(fā)速度矢量不會超過10 km/s，因此分別考慮出發(fā)速度大小為2～9 km/s時的可行域變化情況，如圖12所示。

圖11 升、降軌發(fā)射滑行時間曲面及其解集示意圖Fig.11 Schematic diagram of coasting time surface and its solution set by ascending/descending launch

圖12 出發(fā)速度為2～9 km/s時解集變化情況Fig.12 Solution set change when departure speed is 2～9 km/s

當(dāng)出發(fā)速度矢量較小時，在M赤緯方向存在較多解。隨著出發(fā)速度矢量大小逐漸增大，解集范圍向高緯方向移動，也就是說此時如果深空出發(fā)方向要求M點(diǎn)的赤緯過于偏南，則無論θ角取何值，均不會存在滿足滑行時間約束的發(fā)射機(jī)會。

4 利用“赤緯-能量”(δ-C3)圖描述運(yùn)載火箭深空發(fā)射能力方法

將射向和滑行時間約束下的解集表示為深空出發(fā)赤緯和速度大小的函數(shù)，并在圖上表示存在拼接解的可行域。在某一出發(fā)條件下，只要存在可以拼接的停泊軌道，則認(rèn)為該點(diǎn)處在可行域內(nèi)。對于滑行時間約束為200 s～1000 s，射向約束為95°～105°的情況，其可行域如圖13所示。

圖13 滑行時間與射向可行域示意圖Fig.13 Feasible domain of coasting time and launching azimuth

從圖13可以看出，兩部分陰影區(qū)域分別對應(yīng)射向約束和滑行時間約束，重疊區(qū)域即為同時滿足兩種約束的總可行域?？梢钥闯錾湎蚣s束的變化與vdpt大小無關(guān)，且關(guān)于δ=0°對稱，這與第3.1節(jié)中結(jié)論一致。

滑行時間約束隨著vdpt大小的增大而逐漸減小，并關(guān)于δ=H0對稱。進(jìn)一步根據(jù)特殊點(diǎn)性質(zhì)判斷可行域邊界隨速度大小的變化情況，可以推導(dǎo)得到，在vdpt處，臨界滑行時間約束對應(yīng)的赤緯臨界值δcr計(jì)算如式(12)所示。

δcr|vdpt=H0±(φc+φLI-φMP|vdpt)

(12)

根據(jù)式(12)，可以省去數(shù)值計(jì)算判斷某點(diǎn)是否存在拼接解，而是直接畫出可行域邊界曲線，進(jìn)而快速判斷結(jié)果。以射向約束為95°～105°，滑行時間約束下限為200 s、上限分別為1000 s～2200 s的情況為例，畫出δ-C3圖及可行域邊界如圖14所示。

圖14 不同滑行時間對應(yīng)可行域變化圖Fig.14 Feasible domain change under different coasting time

隨著滑行時間上限的提升，可行域逐步擴(kuò)大，當(dāng)滑行時間上限超過1400 s時，δ-C3圖右上角已基本不存在無解區(qū)域，說明可以勝任所有北半球出發(fā)情況。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)滑行時間上限取至2300 s后，圖14范圍內(nèi)所有區(qū)域均變?yōu)榭尚杏颉?/p>

針對不同型號的運(yùn)載火箭和發(fā)射場位置，均可根據(jù)式(11)～式(12)快速畫出其δ-C3圖上的可行域范圍，進(jìn)而能夠直接判斷某一出發(fā)條件是否能夠在限制條件內(nèi)完成彈軌道拼接。

對于特定目標(biāo)和轉(zhuǎn)移方式的深空探測軌道，其出發(fā)速度在δ-C3圖上也表現(xiàn)為特定區(qū)域形式?？紤]從地球出發(fā)直接轉(zhuǎn)移至火星的探測軌道，在Pork-Chop圖上篩選總速度增量小于10 km/s區(qū)域，遍歷取點(diǎn)并將其表示在δ-C3圖中，如圖15所示。

圖15 在δ-C3圖中表示火星探測窗口Fig.15 Representing Mars detection window in δ-C3 diagram

圖15中，灰色矩形區(qū)域代表95°～105°的射向可行域，左右弧線間包圍的區(qū)域分別代表1000 s、1400 s、1800 s的滑行時間可行域，滑行時間的可行域關(guān)于28.5°呈對稱分布。從圖15可以看出，代表本窗口軌道方案的所有散點(diǎn)均處在1000 s滑行時間可行域內(nèi)。若某個其他深空出發(fā)窗口在δ-C3圖中所代表的散點(diǎn)處在可行域范圍外，則說明該方案一定無法滿足火箭的發(fā)射約束。針對其他探測目標(biāo)和其他軌道方案的深空探測彈軌道拼接問題，均可以使用此方法進(jìn)行快速分析。

5 結(jié)論與展望

本文基于地球引力影響球模型，建立火箭無偏航情況下的彈軌道拼接模型，推導(dǎo)得到射向和滑行時間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，計(jì)算并分析了不同出發(fā)情形下的彈軌道拼接規(guī)律，主要?dú)w納得到以下3點(diǎn)結(jié)論：

1) 對于依靠脈沖機(jī)動飛出地球引力影響球的深空探測軌道與運(yùn)載火箭彈道拼接問題，限定停泊軌道高度和發(fā)射場地理位置后，該問題具有1個自由度。這一自由度可以表征為停泊軌道繞出發(fā)速度過地心軸的轉(zhuǎn)角。停泊軌道升交點(diǎn)赤經(jīng)和這一轉(zhuǎn)角一一對應(yīng)，停泊軌道傾角會隨其在一定范圍內(nèi)波動，出發(fā)點(diǎn)赤緯越低，停泊軌道傾角變化范圍越大。

2) 對于深空出發(fā)速度在天球上的赤緯不同，彈軌道拼接求解結(jié)果呈現(xiàn)不同規(guī)律。在停泊軌道公共點(diǎn)赤緯高于發(fā)射場地理緯度時，所有轉(zhuǎn)角的軌道面均可以求解得到升軌和降軌兩種發(fā)射模式；在停泊軌道公共點(diǎn)赤緯低于發(fā)射場地理緯度時，部分轉(zhuǎn)角取值時會存在無解情況。公共點(diǎn)赤緯越接近0°，無解區(qū)間越大，意味可選擇的停泊軌道區(qū)間更狹窄。

3) 針對指定型號運(yùn)載火箭執(zhí)行的深空發(fā)射任務(wù)，利用本文提出的δ-C3圖方法，可以將火箭在指定射向和滑行時間約束下的發(fā)射能力表示為δ-C3圖中的特定區(qū)域。如果深空出發(fā)點(diǎn)位于這一區(qū)域內(nèi)，則意味著彈軌道拼接必然存在滿足發(fā)射約束的解，反之則必然無解。通過這一方法可以快速判斷任一深空出發(fā)速度條件是否具有工程上可行的發(fā)射機(jī)會。

本文研究并未考慮火箭射向、滑行時間等與運(yùn)載能力的對應(yīng)關(guān)系，可以在此模型基礎(chǔ)上進(jìn)一步補(bǔ)充研究。