張宏偉(特級(jí)教師)
“思考方法的課程建設(shè)和教學(xué)設(shè)計(jì)”是全景式數(shù)學(xué)教育的核心工作之一。全景式數(shù)學(xué)教育認(rèn)為:“思考的一般方法和流程的專項(xiàng)學(xué)習(xí)”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考力特別重要的內(nèi)容和路徑!
教學(xué)中,教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決問題中出現(xiàn)問題時(shí),往往會(huì)這樣提醒學(xué)生“多動(dòng)腦想想、好好想想!用心想、認(rèn)真想、努力想……”但是,我們可曾想過:幾乎沒有學(xué)生不是用心去想、努力去想的,問題是學(xué)生根本不知道怎么去想!很多學(xué)生并不知道思考從哪里啟動(dòng)、往哪個(gè)方向、按照哪個(gè)路線、怎樣一步步地想下去……也就是說(shuō),教學(xué)中,我們可能并沒有讓學(xué)生習(xí)得系統(tǒng)的、明確的、基礎(chǔ)的、具體的、一般的思考方法、步驟和流程,我們很少引導(dǎo)學(xué)生去“思考自己如何思考”。本文是一節(jié)通過應(yīng)用題的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生明確如何去一步步思考應(yīng)用題的教學(xué)樣本,拋磚引玉,期望能引發(fā)教育同仁對(duì)“讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何思考”的思考,進(jìn)一步展開討論和交流。
三年級(jí)下冊(cè),應(yīng)用題:
一、課前暖場(chǎng)(略)
二、課中新探
1.新探的開啟。
師:每個(gè)同學(xué)的桌上都有一張紙,這張紙的正反面一共印了4 道題,大家先整體瀏覽一下。
生:這不是一道題嗎?……
師:就是一道題,重復(fù)打印了4 遍,是不是覺得張老師很怪???隨著你思考的深入你會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的秘密。這樣的題我們叫什么題呢?
生:應(yīng)用題。
師:解答應(yīng)用題的步驟是什么?
生:第一步是讀題,(板書:1.讀)第二步尋找有用信息,(板書:2.找)接下來(lái)是列式,列完后,算出結(jié)果,(板書:3.列,4.算)然后寫答。(板書:5.答)
師:這位同學(xué)不錯(cuò)啊,一個(gè)人說(shuō)了5 樣。
生:還要寫單位名稱。
師:寫單位名稱放在哪里?
生:放在答的前面。
師:答改成6;第五步寫單位名稱。(板書:5.名)
師:找信息,式子就自動(dòng)蹦出來(lái)了?
生:思考、想……
師:那“想”放在哪里?
生:第三步。
師:其實(shí),“讀”和“找”合起來(lái)就是審題,概括成一個(gè)字就是“審”,(板書:1.審)那第二第步就是“想”。(板書:2.想)
[根據(jù)學(xué)生思維的集體碰撞,把解答應(yīng)用題的步驟梳理為:1審(讀、找),2想,3列,4算,5名,6答]
師:很棒,遺憾的是,還少一步,而且是很關(guān)鍵的一步,也是一般人最容易忘掉的一步!
生:檢查。
[教師補(bǔ)充上“查”后,形成更完整的解答應(yīng)用題的一般步驟:1審(讀、找),2想,3列,4算,5名,6查,7答,并讓學(xué)生熟悉和鞏固]
2.刪繁就簡(jiǎn)——我們到底如何去“審”。
(1)原來(lái)怎么審。
師:今天,張老師先和你們一起精細(xì)地研究前兩個(gè)步驟。第一個(gè)步驟是“審”,你以前都怎么審題?
生:讀一遍題,把有關(guān)的信息找出來(lái)。
生:第一遍讀題,第二遍找答案,再讀一遍。
生:先讀一遍題,再讀一遍問題,在題中找出關(guān)于問題的有用的信息。
(2)還可以怎么審?
①“刪刪”來(lái)了。
師:每位同學(xué)都有自己“審題”的“招”。張老師也有一個(gè)招,想不想知道張老師的“招”是什么?
師:張老師的“招”就一個(gè)字——?jiǎng)h。(板書:“刪”)
生:刪?刪什么?怎么刪?……
師:剛才一個(gè)同學(xué)說(shuō)找有用的信息,每個(gè)人都喜歡找有用的信息,張老師跟你相反,專找無(wú)用的東西。明白嗎?
生:我明白了,刪的意思就是把多余的信息和用不上的一些數(shù)字都刪掉。
師:這道應(yīng)用題當(dāng)中可以把哪些字刪掉,而又不改變這道題的數(shù)學(xué)意思?
(3)刪的境界、刪的藝術(shù)。
①投影學(xué)生作品一。
師:看他把誰(shuí)給砍掉了?(為了參加溜溜球比賽)
師:去掉它后,一起讀一遍,品一下題的數(shù)學(xué)含義改變沒?(學(xué)生讀后一致認(rèn)為沒有)
師:為什么?
生:這句話沒有數(shù)學(xué)信息。
生:買了那么多溜溜球、花了那么多錢,參加、不參加比賽,都不影響題目的意思。
②投影學(xué)生作品二。
師:這位同學(xué)把王老師也刪了,行不行?為什么?
生:行,因?yàn)椴还苷l(shuí)買的,有買就行。
③投影學(xué)生作品三。
師:他把“買了”也刪了,行不行?
生:我感覺不行,因?yàn)樗毁I的話,就不能花錢了,就沒有96 了。
生:我認(rèn)為可以,花了96 元,意思就是買了。
這時(shí),多數(shù)學(xué)生認(rèn)為可以刪除“買了”,還有一部分學(xué)生認(rèn)為不能刪。
教師讓學(xué)生讀刪剩的題目,品味題目的意思到底有沒有改變:“4 盒溜溜球,每盒兩個(gè),一共花了96元,平均每個(gè)溜溜球多少元?”最后所有學(xué)生認(rèn)同:可以去掉。
④投影學(xué)生作品四。
師:“花了”刪掉可以嗎?
生:可以,因?yàn)橘I不買價(jià)格都在那里。
教師讓學(xué)生一起品讀:“4 盒溜溜球,每盒2 個(gè),一共96 元,平均每個(gè)溜溜球多少元?”大家一致認(rèn)同可以刪除。
師:還能刪嗎?(全班靜默深思)
生:刪掉“一”!“4 盒溜溜球,每盒2 個(gè),共96元,平均每個(gè)溜溜球多少元?”
生:溜溜球也可以刪掉。
⑤投影學(xué)生作品五。
生:溜溜球換成乒乓球、皮球都行,買蛋糕也行,買什么都行。不管你買什么,都是“4 盒,每盒2 個(gè),一共96 元”。這道題數(shù)學(xué)意思沒變!
師:這就是數(shù)學(xué)厲害的地方,不管你買的是什么,“我自巋然不動(dòng)”?!氨荣悺比サ袅耍巴趵蠋煛弊屇憧沉?,“溜溜球”讓你刪了,“一”“花了”也去掉了,對(duì)這道題的數(shù)學(xué)意思根本沒有影響。
(3)知?jiǎng)h,更知不刪。
生:我覺得“平均”也能刪掉!
生:“平均”不能刪。如果價(jià)格不一樣怎么辦?
生:盒子里兩個(gè)球的錢可能不一樣,這樣平均才可以算,問一個(gè)不知道是哪一個(gè),沒法求。
最后學(xué)生一致認(rèn)為“平均”不能刪,刪了就改變了題目的數(shù)學(xué)含義。
師:不能為了簡(jiǎn)單都刪掉。要保證它的基本意思不變,同時(shí)還要保持?jǐn)?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。
(4)刪后摘錄。
師:剩下這些不能刪的才是這個(gè)題目中——
生:最重要的、最關(guān)鍵的。
師:現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們把刪掉之后剩下來(lái)的關(guān)鍵部分寫下來(lái)。(教師板書三個(gè)條件一個(gè)問題:①4 盒,②每盒2 個(gè),③共96 元→平均每個(gè)多少元?)
師:精簡(jiǎn)之后的題和原來(lái)題目對(duì)比,什么感覺?
生:感覺比之前更清晰、明了了。
生:更好理解、更完整了。
生:信息好找了,字少了。
生:把無(wú)用的刪掉之后,有用的不找就出來(lái)了。
(板書:用“無(wú)用”找“有用”)
師:刪掉“無(wú)用”之后,題目比原來(lái)更簡(jiǎn)單,更容易理解和思考,“刪”是一個(gè)審題的重要方法。其實(shí),不僅數(shù)學(xué)的審題是這樣,其他學(xué)科審題也可以這樣刪。
3.思維導(dǎo)航——我們到底如何去“想”。
(1)原來(lái)怎么想。
師:解答應(yīng)用題的第一步是“審”,其實(shí)就是干一件什么事?(刪)
師:解答應(yīng)用題的第二步是什么?(想)
師:原來(lái),你拿到一道應(yīng)用題怎么想?
生:我就看著條件和問題反復(fù)地想。
生:就是先看問題,然后再想怎么列式。
生:把自己能看到有用的信息總結(jié)起來(lái),想一想怎么列算式。
生:我先看問題,看完問題之后再看題,讀題之后思考這個(gè)問題該怎么解答,之后就算出來(lái)了。
生:先看問題,結(jié)合問題之后再看信息,然后想怎么列式。
師:當(dāng)聚焦到“到底怎么去想一道應(yīng)用題”的時(shí)候,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),自己原來(lái)所謂的想都是大框架的、粗放的、模糊的。對(duì)于如何解答一道應(yīng)用題,其實(shí)你一直沒有一個(gè)明確、具體、詳細(xì)的思考方法和思考流程。說(shuō)白了,我們并沒有掌握思考和解答一道應(yīng)用題的一般步驟和方法!對(duì)于應(yīng)用題,張老師這里有四種基本的“怎么好好想”的方法,今天先研究第一種。
(2)到底該怎樣去想?
①思之路——思路。
師:怎么想,其實(shí)就是解決問題的思路。(板書:思路)平時(shí),老師會(huì)經(jīng)常讓我們說(shuō)一說(shuō)解答這道題的思路。我們思考過、追問過什么叫思路嗎?
(學(xué)生紛紛搖頭,表示沒有)
師:思是思,路是路,思路是思路。
師:(在“思路”兩字之間用紅筆劃線隔開兩字)“思路”是由“思”“路”兩個(gè)字組成?!八肌笔撬伎?,“路”是路線,“思路”是思考的路線,也就是說(shuō)思考就像走路。比如,要去找臺(tái)子后面一角的攝像師,怎么走才能找到她?
a.啟動(dòng)。(板書)先分析現(xiàn)狀,確定下一步要走的方向。(向左轉(zhuǎn))
b.定向。這里有幾個(gè)方向呢?我準(zhǔn)備這次從這個(gè)方向去找她。(教師板書:定向)
c.路線及流程。接下來(lái)呢?(轉(zhuǎn)過去)然后呢?(走)一直往前走嗎?接下來(lái)要找到需要拐彎的地方,就是走路的轉(zhuǎn)折點(diǎn),也就是解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)。(板書:注意節(jié)點(diǎn)——轉(zhuǎn)折點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn))
師:到了轉(zhuǎn)折點(diǎn),也就是解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)、節(jié)點(diǎn),要停下來(lái)思考:“我下一步往哪個(gè)方向”。(向右)轉(zhuǎn)折點(diǎn)是走路和思考的關(guān)鍵。我右轉(zhuǎn)后,走走走,能一直走下去嗎?(走到了轉(zhuǎn)折點(diǎn)后,全體學(xué)生喊停)
師:到了這里……
生:又要想“往哪個(gè)方向轉(zhuǎn)?”,還是向右,然后轉(zhuǎn)身、繼續(xù)走,找到了!
師:現(xiàn)在明白什么是思路了嗎?
生:先根據(jù)情況,定開始想的方向,想到一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)停下來(lái),思考再往哪里走,怎么走。
②思路一——像“過家家”一樣去想。
師:張老師今天教你的第一種想的方法叫“過家家”。(板書:過家家)什么叫“過家家”呢?
生:一個(gè)人當(dāng)爸爸,一個(gè)人當(dāng)媽媽,“結(jié)婚”后還會(huì)“生”“寶寶”。
師:應(yīng)用題里怎么玩過家家呢?就是想第一個(gè)條件“4 盒”跟題目當(dāng)中的誰(shuí)“結(jié)婚”,可以“生”出哪個(gè)“寶寶”?
生:和每盒2 個(gè)“結(jié)婚”,可以“生”出“一共8 個(gè)球”。
教師根據(jù)學(xué)生回答板書如下:
師:怎么列式?
生:4×2=8(個(gè))。
師:做完這一步,就像走路一樣,到了拐彎的地方,也就是解決問題的轉(zhuǎn)折節(jié)點(diǎn),接下來(lái)怎么辦?
生:8 個(gè)和96 元“結(jié)婚”!
師:這個(gè)同學(xué)很了不起!把“生”出來(lái)的這個(gè)“寶寶”再當(dāng)條件④,放到原來(lái)的題目當(dāng)中,用它和剩下的其他條件去“結(jié)婚”。大家看看它們倆能結(jié)嗎?
生:能,“生”的“寶寶”是“96 除以8 等于12 元”。
教師根據(jù)學(xué)生回答板書如下:
①→②:4×2=8(個(gè))
④→③:96÷8=12(元)
師:你會(huì)發(fā)現(xiàn)生“出”的這個(gè)“寶寶”就是你要求的問題,問題解決了。如果這次“生”出的“寶寶”不是問題呢?
生:繼續(xù)放到題中去“結(jié)婚”。
師:張老師教你的這一種思維的方法叫什么?(“過家家”)你現(xiàn)在明白怎么思考了嗎?說(shuō)一說(shuō)。
生:先拿第一個(gè)條件去找跟誰(shuí)“結(jié)婚”,“生”出來(lái)一個(gè)“寶寶”,然后把這個(gè)“寶寶”放到題目當(dāng)中再去找剩下的條件“結(jié)婚”,再“生”出一個(gè)“寶寶”,一直到把問題“生”出來(lái)。(眾生笑)
(3)另一種像“過家家”一樣去想。
師:不加任何限制的話,老師找到攝像師有多少種方法?
生:很多種。
師:其實(shí)數(shù)學(xué)的思路和走路是一樣的,也可能有多種可能、甚至無(wú)數(shù)種?;仡^看這道應(yīng)用題,難道只有這一種過家家的方案嗎?
(學(xué)生在第二個(gè)空白處獨(dú)立進(jìn)行嘗試)
學(xué)生反饋一:先讓條件①和條件③“結(jié)婚”,“生”出的“寶寶”用96÷4=24(元),當(dāng)條件⑤,然后再把“寶寶”⑤和剩下的條件②“結(jié)婚”,就可以“生”出問題“寶寶”了。
教師根據(jù)學(xué)生回答板書如下:
①→③:96÷4=24(元)
⑤→②:24÷2=12(元)
學(xué)生講述自己思路的時(shí)候,教師引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注該拐彎的地方——即把“寶寶”當(dāng)作新的已知條件放回題目進(jìn)行連接。
(4)到底能不能這樣“過家家”?
學(xué)生反饋二:條件③和條件②“結(jié)婚”,“生”出“寶寶”條件⑥,再和條件①“結(jié)婚”。
有很多學(xué)生表示反對(duì),主要意見有兩種:他倆不能“結(jié)婚”,96 元÷2 個(gè),就得1 個(gè)48 元了;他倆不能“結(jié)婚”,因?yàn)樗麄z“生”不出孩子。96 元是4 盒的錢,不是2 個(gè)的錢,不能用96 元÷2 個(gè)。(教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到:就是2 個(gè)球和96 元不對(duì)應(yīng))
師:數(shù)學(xué)中并不是所有的條件都能“結(jié)婚”、都能直接連接的。就像同學(xué)們剛才的發(fā)現(xiàn)一樣:96 元錢是4 盒的錢,不是2 個(gè)的錢,也就是說(shuō)“如果兩個(gè)條件不對(duì)應(yīng)、不匹配,它們就不能直接連接,直接過家家”。(板書)
師:這個(gè)世界充滿了無(wú)限的可能性,數(shù)學(xué)也可能有很多可能。不能直接連接,并不意味就絕對(duì)不能連接,也許……
生:每盒去掉一個(gè),那4 盒,就是一共48 元。
師:我明白你的意思,你可以再試著換一種說(shuō)法,給大家講講嗎?
生:去掉后就剩下4 個(gè),這4 個(gè)是48 元。
生:題里是4 盒,不是4 個(gè)!
師:你們問到點(diǎn)子上了,也許真的能轉(zhuǎn)變。要不你就按他說(shuō)的畫一畫,別忘了,去掉的也不能丟,可以畫在旁邊。
(學(xué)生又開始嘗試、思考、討論)
忽然幾個(gè)學(xué)生歡呼,他們的想法和畫法如下:
這時(shí),絕大多數(shù)學(xué)生都恍然大悟。為了讓學(xué)生更好地理解,選取了4 排同桌的男女生進(jìn)行戲劇化表演。
回到原題中,學(xué)生再次理解:
先把每盒球左邊的一個(gè)組成一組,右邊看成一組,兩組一樣:所以96÷2,這里的2 不是2 個(gè),而是轉(zhuǎn)化成了2 組。得數(shù)48 元是一組4 個(gè)的錢,再除以4,這里的4 不再是4 盒,而是轉(zhuǎn)化成了4 個(gè)。
師:學(xué)習(xí)這道應(yīng)用題的第一重境界是看盒是盒,看個(gè)是個(gè)。到了第二重境界,盒不再是盒,個(gè)不再是個(gè)。說(shuō)白了數(shù)學(xué)其實(shí)跟“個(gè)”,跟“盒”根本沒關(guān)系,4 盒每盒2 個(gè)就是數(shù)學(xué)上的幾個(gè)幾?(4 個(gè)2)4個(gè)2 是幾?(8)8 份一共96 元,求一份是多少?(96÷8)所以你最終算的是數(shù)學(xué)里的幾個(gè)幾和平均每個(gè)是多少。
三、課后續(xù)探
解決問題:6月1日,青海省城中區(qū)北大街小學(xué)舉行慶祝兒童節(jié)表演活動(dòng),三年級(jí)的學(xué)生中,一共有60 人報(bào)名參加大合唱,教合唱的李老師,把他們平均分成3 個(gè)方隊(duì),每個(gè)方隊(duì)又平均分成4 個(gè)小組,三年級(jí)合唱隊(duì)的每個(gè)小組有幾人?
要求:
1.“刪”到底。
2.摘錄最簡(jiǎn)條件和問題。
3.任選一種“過家家”的想法,用自己喜歡的方式記述自己“過家家”的思考過程。