北京市豐臺(tái)二中(100071)

甘志國(guó)●

對(duì)2016年高考四川卷第15題的研究

北京市豐臺(tái)二中(100071)

甘志國(guó)●

①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A；②單元圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”仍在單位圓上；③若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則它們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；④若三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，則它們的“伴隨點(diǎn)”一定共線(xiàn).

其中的真命題是____(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).

①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A；②單位圓的“伴隨曲線(xiàn)”是它自身；③若曲線(xiàn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則其“伴隨曲線(xiàn)”C′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；④一條直線(xiàn)的“伴隨曲線(xiàn)”是一條直線(xiàn).

其中的真命題是____(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).

這兩道高考題是一對(duì)姊妹題，下面只對(duì)后者做詳細(xì)解答和研究.

所以點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是(-x，-y)，得①錯(cuò)誤．

下面再對(duì)高考題2作研究.

設(shè)點(diǎn)P(x，y)的“伴隨點(diǎn)”為P′(u，v).

當(dāng)x2+y2=0即x=y=0時(shí)，得P′(0,0).

若x2+y2=0，得x=y=0，再得u=v=0,u2+v2=0，與題設(shè)u2+v2≠0矛盾！所以x2+y2≠0.

由此可證得下面的結(jié)論.

證明 設(shè)直線(xiàn)ax+by+c=0上的點(diǎn)P(x，y)的“伴隨點(diǎn)”為P′(u，v).當(dāng)x2+y2=0時(shí)，得P′(0,0).

此時(shí)，由點(diǎn)P(x，y)在直線(xiàn)ax+by+c=0上，可得

c(u2+v2)+bu-av=0(u2+v2≠0).

進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

證明 設(shè)圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)P(x，y)的“伴隨點(diǎn)”為P′(u，v).

當(dāng)x2+y2=0時(shí)，得P′(0,0).

此時(shí)，由點(diǎn)P(x，y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上，可得

(u2+v2)[(a2+b2-r2)(u2+v2)-2bu+2av+1]=0(u2+v2≠0),

(a2+b2-r2)(u2+v2)-2bu+2av+1=0(u2+v2≠0).

當(dāng)圓(x-a)2+(y-b)2=r2過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)即a2+b2-r2=0時(shí)，可得欲證結(jié)論成立；當(dāng)圓(x-a)2+(y-b)2=r2不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)即a2+b2-r2≠0時(shí)，可得也欲證結(jié)論成立.所以欲證結(jié)論成立.

推論 (1)單位圓的“伴隨曲線(xiàn)”是自身；

(3)圓(x-a)2+(y-b)2=a2+b2的“伴隨曲線(xiàn)”是直線(xiàn)2bx-2ay-1=0及坐標(biāo)原點(diǎn)組成的圖形.

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1008-0333(2017)07-0002-02