李 紅，楊新建，徐志杰，劉 冰，朱化鳳

（中國石油大學(xué)（華東） 理學(xué)院，山東 青島 266580）

本科生參與科學(xué)研究不僅可以在實(shí)踐中學(xué)習(xí)科學(xué)研究的方法，對未來的職業(yè)選擇和發(fā)展也具有積極的指導(dǎo)作用。在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中引入研究型教學(xué)項(xiàng)目，是讓本科生參與科研的重要方式，也是本科院校培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的有效途徑[1-3]。

隧穿效應(yīng)作為一種特有的量子現(xiàn)象，不僅是物理學(xué)中一個非常重要的概念，而且在核工業(yè)、電子工業(yè)、納米科技等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[4]。對其進(jìn)行研究可以加深學(xué)生對微觀粒子波動性的認(rèn)識，激發(fā)他們的探索欲和學(xué)習(xí)熱情，但目前的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中并沒有與之對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目。筆者結(jié)合多年的教學(xué)和科研實(shí)踐，設(shè)計(jì)了“基于 MATLAB 的超導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)構(gòu)隧穿效應(yīng)”的研究型模擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)項(xiàng)目。通過該系列模擬實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可以自主設(shè)計(jì)含有超導(dǎo)體的異質(zhì)結(jié)構(gòu)，運(yùn)用 MATLAB 編程實(shí)現(xiàn)對異質(zhì)結(jié)構(gòu)隧穿電流和電導(dǎo)等輸運(yùn)性質(zhì)的研究。教學(xué)內(nèi)容涉及超導(dǎo)體基本理論、量子力學(xué)重要原理以及計(jì)算機(jī)編程和模擬方法，對提高學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維、激發(fā)學(xué)生從事科學(xué)研究的興趣具有促進(jìn)作用。

1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路

計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)是從事科學(xué)研究的一種重要方法，也是近年來輔助教學(xué)的一種重要手段[5-7]。本實(shí)驗(yàn)基于 MATLAB 編程軟件，最終實(shí)現(xiàn)對微觀粒子隧穿效應(yīng)現(xiàn)象的計(jì)算機(jī)模擬。首先讓學(xué)生自主查閱超導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)構(gòu)輸運(yùn)性質(zhì)研究的相關(guān)文獻(xiàn)，了解基本的研究思路和方法。在此基礎(chǔ)上，教師詳細(xì)介紹輸運(yùn)性質(zhì)研究涉及的基本理論和概念，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)出合理的超導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)構(gòu)模型。然后學(xué)生與教師共同探討，根據(jù)散射矩陣?yán)碚?，?gòu)建出模型的哈密頓量和滿足的能量方程。最后，學(xué)生自行運(yùn)用 MATLAB 編程求解得到描述隧穿粒子波函數(shù)的各種反射幅、透射幅以及系統(tǒng)的隧穿電導(dǎo)和電流表達(dá)式；借助 MATLAB 作圖模擬出不同參數(shù)情況下的各種隧穿圖像；并結(jié)合文獻(xiàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行理論分析和討論。

2 模擬實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.1 結(jié)構(gòu)模型構(gòu)建

20 世紀(jì) 60 年代初期，Josephson 理論預(yù)言了Josephson 效應(yīng)，Giaever 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了超導(dǎo)體中的準(zhǔn)粒子隧穿效應(yīng), 此后基于超導(dǎo)隧穿效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究開展起來[8-10]。研究超導(dǎo)體隧穿效應(yīng)的典型模型是圖 1 的“三明治”結(jié)構(gòu)，常被稱作“隧道結(jié)”。其中的M 和N 可以是正常金屬、鐵磁金屬或者半導(dǎo)體，以及目前的熱點(diǎn)材料石墨烯、硅烯等。M 和N 之間的超導(dǎo)體可以選擇s-波、d-波、p-波、f-波等各種配對形式。參與該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的學(xué)生可以根據(jù)自己的調(diào)研情況和研究興趣，選擇材料進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。本文以正常金屬硅烯基/鐵磁 d-波超導(dǎo)隧道結(jié)的輸運(yùn)性質(zhì)研究為例開展模擬實(shí)驗(yàn)。

圖1 超導(dǎo)隧道結(jié)一般結(jié)構(gòu)模型

2.2 理論模型構(gòu)建

目前研究超導(dǎo)隧道結(jié)常用的理論模型是 Blonder等[11]于 1982 年，在散射理論的基礎(chǔ)上建立的適用于正常金屬/超導(dǎo)體點(diǎn)接觸的隧穿電流公式。基于該理論，正常金屬硅烯基/鐵磁 d-波超導(dǎo)隧道結(jié)滿足 DBdG（Dirac- Bogoliubov-de Gennes）方程[12]：

其中，H0是單粒子的哈密頓量，η= 1和-1 分別對應(yīng)于布里淵區(qū)費(fèi)米面上的Dirac 點(diǎn)K 和K′，h是鐵磁d-波超導(dǎo)體中的交換能，是隧穿粒子的波函數(shù)，E是隧穿粒子的激發(fā)能，Δ是d-波超導(dǎo)體中的配對勢。

正常金屬/鐵磁 d-波超導(dǎo)隧道結(jié)系統(tǒng)中超導(dǎo)體和正常金屬中載流子的波函數(shù)分別為：

其中，te、th和re、rh分別表示電子和空穴的透射系數(shù)、反射系數(shù)，kF是費(fèi)米波矢，θ是正常金屬層中粒子的隧穿角，φ+和φ-是超導(dǎo)體中電子型庫伯對和空穴型庫伯對的相位因子，u+和u-是電子型庫伯對的相干因子，ν+和ν-是空穴型庫伯對的相干因子，超導(dǎo)體中的相位因子和相干因子分別滿足（4）式中其中λSO是自旋軌道耦合能，l是晶格常數(shù)，Ez是外加電場的能量。

2.3 編程計(jì)算方法

式（3）和（4）中的所有系數(shù)需要學(xué)生利用MATLAB 編寫程序，通過邊界條件求出。正常金屬硅烯基/鐵磁d-波超導(dǎo)隧道結(jié)系統(tǒng)的電導(dǎo)表達(dá)式為：

其中，G是隧道結(jié)系統(tǒng)的電導(dǎo)，GN是硅烯的彈道電導(dǎo)，分別對應(yīng)自旋向上和向下的粒子。

3 計(jì)算結(jié)果模擬與分析

3.1 反射幅和透射幅分析

隧穿現(xiàn)象能否發(fā)生及發(fā)生的程度如何，取決于研究系統(tǒng)中各區(qū)域中的粒子的反射幅和透射幅。超導(dǎo)體存在的異質(zhì)結(jié)構(gòu)中，一個很重要的物理過程就是Andreev 反射[13]。該過程是一個雙粒子的透射過程，對比圖2 和3 可以看出，Andreev 反射對超導(dǎo)能隙的變化非常敏感。通過對隧穿電子和空穴的正常發(fā)射和Andreev 反射幅度的研究，不僅可以直觀展示隧穿效應(yīng)的決定因素，而且可以使學(xué)生通過研究確定這些因素的影響程度，為設(shè)計(jì)相關(guān)的電子器件積累模擬實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

3.2 隧穿電導(dǎo)分析

隧穿電導(dǎo)是量子隧穿現(xiàn)象的直觀體現(xiàn)，對該物理量的研究可以加深學(xué)生對微觀粒子隧穿效應(yīng)的形象理解。對比圖3 和4 可以看出，超導(dǎo)隧道結(jié)隧穿電導(dǎo)的變化趨勢與Andreev 反射相同。這不僅證實(shí)了Andreev反射對隧穿電流的重要貢獻(xiàn)，也揭示了該過程的雙粒子實(shí)質(zhì)。通過對不同參數(shù)下隧穿電導(dǎo)的模擬，學(xué)生對隧穿現(xiàn)象發(fā)生的物理機(jī)制有了更深入的了解，為后續(xù)的科學(xué)研究奠定了基礎(chǔ)。

圖2 在不同α下正常反射幅隨外加偏壓的變化

圖3 在不同α下Andreev 反射幅隨外加偏壓的變化

圖4 歸一化電導(dǎo)在不同α下隨外加偏壓的變化

4 結(jié)語

通過“基于 MATLAB 的超導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)構(gòu)隧穿效應(yīng)”這一研究型模擬實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生從最基本的文獻(xiàn)調(diào)研、了解前沿動態(tài)、掌握基礎(chǔ)理論知識開始，建立合理的結(jié)構(gòu)模型和理論模型，再在此基礎(chǔ)上編寫程序，最后實(shí)現(xiàn)對所研究問題的計(jì)算機(jī)模擬，并加以討論。學(xué)生在掌握利用計(jì)算機(jī)模擬從事科學(xué)研究的基本方法的同時，若對學(xué)科前沿調(diào)研得足夠充分，就能夠在前期工作基礎(chǔ)上提出自己的設(shè)想，建立新的結(jié)構(gòu)和理論模型，從事真正意義上的創(chuàng)新活動。目前已有學(xué)生在國內(nèi)和國際知名期刊，如《低溫物理學(xué)報(bào)》《低溫與超導(dǎo)》《Physica C》等上發(fā)表了基于該實(shí)驗(yàn)教學(xué)項(xiàng)目的文章。

總之，該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目既豐富了大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)，又將教師的科學(xué)研究工作與對學(xué)生的培養(yǎng)巧妙地融合在一起，是對大學(xué)生參與科學(xué)研究的有益探索。