陶兆寶 陳新華

(江蘇省常州市第一中學(xué)，江蘇 常州 213003)

1 問題的提出

在高中階段，學(xué)生可以解決二維平面情景下的運(yùn)動(dòng)問題，如果將問題設(shè)計(jì)在三維空間情景下，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)思維障礙，不能構(gòu)建正確的三維空間運(yùn)動(dòng)模型，難以利用合適的物理規(guī)律和數(shù)學(xué)空間關(guān)系解決問題。所以要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三維空間中典型運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究，理解其基本分析方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的分析、解決問題的能力。[1]

2 三維運(yùn)動(dòng)的降維策略

2.1 應(yīng)用數(shù)學(xué)方法將三維運(yùn)動(dòng)問題降至二維運(yùn)動(dòng)問題

例1：如圖1所示，實(shí)心長(zhǎng)方體木塊長(zhǎng)、寬、高分別是a、b、c，且a>c>b，有一個(gè)物體沿外表面從A至C1，求物體運(yùn)動(dòng)的最短路程。

圖1

方法一：利用數(shù)形結(jié)合方法，將三維問題降至二維。

需要找出可能的運(yùn)動(dòng)路徑，從A點(diǎn)出發(fā)可能由幾個(gè)平面路徑組合而成，將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題，得出共有6種運(yùn)動(dòng)路徑：ABCD→CC1D1D、ABB1A1→A1B1C1D1、AA1D1D→A1B1C1D1、ABCD→BB1C1C、ABB1A1→BB1C1C、AA1D1D→CC1D1D。

圖2

圖3

方法二：進(jìn)行恰當(dāng)?shù)男误w變化，利用平面旋轉(zhuǎn)使三維問題降至二維。

圖4

對(duì)于三維空間的運(yùn)動(dòng)，我們可以通過數(shù)學(xué)中的解析幾何法和平面旋轉(zhuǎn)法進(jìn)行降維，將三維轉(zhuǎn)化為二維，使研究更為直觀簡(jiǎn)潔，應(yīng)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行有效降維是空間運(yùn)動(dòng)研究的基本策略。

2.2 基于運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性進(jìn)行降維，透析三維空間背景下的二維平面問題

例2：如圖5所示,正方體上下表面水平，其下表面在水平地面上,正方體的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，將質(zhì)量為m的小球從頂點(diǎn)A在∠BAD所在范圍內(nèi)(包括邊界)分別沿不同的速度水平方向拋出,落點(diǎn)都在A1B1C1D1平面范圍內(nèi)(包括邊界)。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g。若小球軌跡與AC1線段相交，在交點(diǎn)處的速度方向與水平面的夾角為α，求tanα。

圖5

將二維平面運(yùn)動(dòng)植入三維空間中，有利于學(xué)生由淺入深研究物體的空間運(yùn)動(dòng)。利用運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，將三維空間運(yùn)動(dòng)按特定方向的單維度獨(dú)立進(jìn)行分析，是研究三維空間問題的基本方法。通過這樣的研究可以使學(xué)生初步掌握三維空間運(yùn)動(dòng)的數(shù)理關(guān)系，強(qiáng)化數(shù)學(xué)和物理的融合，形成正確的解決立體空間運(yùn)動(dòng)的思路，為應(yīng)用物理規(guī)律解決三維復(fù)雜運(yùn)動(dòng)問題、尋找空間幾何關(guān)系奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

2.3 巧用運(yùn)動(dòng)的合成和分解方法，構(gòu)建三維立體空間中的二維平面問題

例3：如圖6所示,正方體上、下表面水平,空間有沿A→D方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，從A點(diǎn)沿AB方向分別以初速度v01、v02、v03水平拋出同一帶電小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，小球分別從D1C1的中點(diǎn)、C1點(diǎn)、BC1的中點(diǎn)射出，且射出時(shí)的動(dòng)能分別為Ek1、Ek2、Ek3。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求：

圖6

(1) 三次沿AB方向分別拋出時(shí)的初速度之比v01∶v02∶v03；

(2) 三次射出時(shí)的動(dòng)能之比Ek1∶Ek2∶Ek3。

解析：(1) 物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)取決于初速度和所受的外力，根據(jù)三次小球落點(diǎn)的位置，由運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，分別從空間的三個(gè)方向分析小球的初速度。小球在AB方向上不受力，沿AB方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)；小球沿AD方向的初速為零，受到電場(chǎng)力作用，沿AD方向做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；小球沿AA1方向的初速為零，受到重力作用做自由落體運(yùn)動(dòng)。由于沿AD、AA1方向的加速度相同，且電場(chǎng)力與重力大小相等，所以加速度大小均為g。

由運(yùn)動(dòng)的合成和分解出發(fā)，從運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)角度分析運(yùn)動(dòng)關(guān)系，將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題，也是重要的問題解決方法。

2.4 利用等效替代方法，將三維立體問題轉(zhuǎn)化為二維平面問題

將三維空間中的速度和受多個(gè)力的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為速度和等效力在二維平面中的關(guān)系，這種等效降維方法是將空間多力作用問題簡(jiǎn)單化的另一個(gè)重要思想方法。

2.5 巧用物理規(guī)律，將三維問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)狀態(tài)關(guān)系問題

例3第(2)問與空間運(yùn)動(dòng)的功能關(guān)系相關(guān)，如果用前面的解法，思路與第(1)問類似，解答過程較為繁瑣。可根據(jù)研究問題的特征，從功能關(guān)系入手，將三維立體空間問題轉(zhuǎn)化為起、終兩點(diǎn)狀態(tài)關(guān)系問題，則解答過程會(huì)簡(jiǎn)潔、清晰。

物理觀念是學(xué)生對(duì)物理概念和規(guī)律理解和應(yīng)用的提煉升華，讓學(xué)生形成正確的物理觀念，根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)特征，將復(fù)雜的空間運(yùn)動(dòng)問題轉(zhuǎn)化成狀態(tài)關(guān)系問題，也是解決空間運(yùn)動(dòng)問題的重要方法。

3 結(jié)語

處理物體在三維空間運(yùn)動(dòng)的問題可以用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效降維，也可以通過運(yùn)動(dòng)的分解和合成以及力的等效處理進(jìn)行有效降維，還可以根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)特性進(jìn)行有效降維。從多種視角綜合研判物體的空間運(yùn)動(dòng)，將物理、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效融合，可提高學(xué)生的綜合分析和遷移能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，有效培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力。