王紹楠，劉立坤

（中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院，西安 710089）

顫振試飛信號(hào)具有信噪比低、模態(tài)密集、非平穩(wěn)的特點(diǎn)，且隨著飛機(jī)設(shè)計(jì)中折疊機(jī)翼的出現(xiàn)，復(fù)合材料的大量使用以及飛機(jī)外掛復(fù)雜化，使得信號(hào)的非平穩(wěn)特征更加突出[1]。對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)處理成為飛行試驗(yàn)工程中不可回避的問題[2]。

傳統(tǒng)的信號(hào)處理最常采用的方法是傅里葉變換（FFT），但該方法不適用于瞬態(tài)信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)，只是一種單純的頻域分析方法，無法獲取時(shí)域信息。短時(shí)傅里葉變換和小波變換雖然能改進(jìn)不足，能滿足信號(hào)的時(shí)頻局部化分析，但其本質(zhì)還是屬于傅里葉變換。小波分析結(jié)果受小波基影響很大，目前缺乏系統(tǒng)規(guī)范的小波基選取方法，且小波變換是非自適應(yīng)的，小波基一旦被選定，整個(gè)分析過程只能采用同一小波基。1998 年，美籍華人N. E. Huang[3]提出了一種針對(duì)非平穩(wěn)、非線性的數(shù)據(jù)處理方法，稱為希爾伯特黃變換（Hilbert-Huang Transform，HHT）。該方法以經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）為核心，能夠自適應(yīng)地將非平穩(wěn)信號(hào)分解為單一組分的平穩(wěn)信號(hào)，在處理非平穩(wěn)信號(hào)方面有著廣泛應(yīng)用。但該方法實(shí)踐超前于理論，目前尚沒有嚴(yán)格的理論支持。2005 年，Smith 等[4]提出了局部均值分解（LMD），但遞歸式的模態(tài)分解（EMD、LMD 等）采用的是基于極值點(diǎn)的包絡(luò)求取方法，多次的遞歸式分解會(huì)很大程度上增加計(jì)算誤差，容易出現(xiàn)模態(tài)混疊。雖然采用集成式模態(tài)分解方法，如EEMD[5]和ELMD[6]，可在一定程度上抑制模態(tài)混疊現(xiàn)象，但計(jì)算量將大幅增加，且這兩種方法也無法將兩個(gè)頻率相近的分量正確分離，均存在采樣效應(yīng)和端點(diǎn)效應(yīng)的問題。

直到2014 年，Dragomiretskiy 等人[7]提出了一種完全不同于遞歸式模態(tài)分解的新方法，稱為變分模態(tài)分解（VMD）。該方法理論的總體思路為求解變分問題，具有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。其假設(shè)信號(hào)是由若干個(gè)不同的具有中心頻率和有限帶寬的模態(tài)組成，由此構(gòu)造變分問題。再通過乘法算子交替方向法不斷搜尋變分問題最優(yōu)解，使得每個(gè)模態(tài)的估計(jì)帶寬之和最小。最終，自適應(yīng)地將信號(hào)中的單一組分模態(tài)成功分離。VMD 可以將兩個(gè)頻率接近的諧波信號(hào)很好分離，表現(xiàn)出更好的噪聲魯棒性。相比于遞歸式的模態(tài)分解方法，VMD 的端點(diǎn)效應(yīng)也更弱[8-9]。

VMD 一經(jīng)提出，即成為眾多研究者研究的熱點(diǎn)[10-13]。目前，該方法已用于機(jī)械、電子、生物、能源等領(lǐng)域，尤其在機(jī)械故障診斷中應(yīng)用最廣[14-20]。武英杰等[11]將VMD 應(yīng)用于風(fēng)機(jī)電組故障診斷中，證明了VMD 比EMD 和LMD 等遞歸式模態(tài)分解方法，能更有效地避免噪聲和沖擊信號(hào)的頻率混疊現(xiàn)象，也更適合提取信號(hào)中的低頻成分。趙巖等[14]將VMD 用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械碰摩故障診斷，并得出該方法與EEMD相比可以有效抑制模態(tài)混疊，更加準(zhǔn)確地反映故障信息。唐貴基等[15]將參數(shù)優(yōu)化變分模態(tài)分解方法應(yīng)用于滾動(dòng)軸承的早期故障診斷。陳立軍等[17]將VMD 應(yīng)用于水聲跳頻信號(hào)的時(shí)頻分析，結(jié)果表明其能在低信噪比情況下獲得高清時(shí)頻圖。劉長(zhǎng)福等[18]將VMD 用于變切深側(cè)銑顫振特征的提取。然而，還未有將該方法應(yīng)用于顫振飛行數(shù)據(jù)處理的研究報(bào)道。鑒于該方法在處理信噪比低、模態(tài)密集、非平穩(wěn)信號(hào)中的優(yōu)勢(shì)，文中首次將VMD 方法引入顫振試飛領(lǐng)域，將其與希爾伯特變換結(jié)合，用于顫振試飛數(shù)據(jù)的時(shí)頻分析。

1 理論介紹

1.1 變分模態(tài)分解（VMD）理論

在VMD 算法中，本征模函數(shù)（IMF）被重新定義為一個(gè)調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào)，表達(dá)式為：

為求以上變分問題的最優(yōu)解，引入了二次罰因子α 及拉格朗日乘法算子 λ(t) ，得到如下的擴(kuò)展拉格朗日表達(dá)式：

1.2 基于VMD 的時(shí)頻分析方法理論

通過1.1 節(jié)介紹的VMD 將初始信號(hào)分解為不同的IMF 分量進(jìn)行希爾伯特變換得：

Re 表示取實(shí)部，式（7）右端即為希爾伯特譜。它表示瞬時(shí)振幅在頻率-時(shí)間平面上的分布，記作：

2 仿真算例

為驗(yàn)證該時(shí)頻分析方法的正確性，構(gòu)造仿真信號(hào)f，由三部分組成，如式（9）所示：

式中：v1是頻率為2 Hz 的正弦信號(hào)；v2是余弦調(diào)頻信號(hào)，頻率隨時(shí)間成正弦波動(dòng)，其頻率值以5 Hz為中心，在4～6 Hz 之間成余弦波動(dòng)；v3為正弦掃頻信號(hào)，頻率從10 Hz 起，呈2 Hz/s 線性增加。構(gòu)造的仿真信號(hào)時(shí)間為6 s，仿真信號(hào)f的時(shí)域波形如圖1所示。

圖1 仿真信號(hào)f 的時(shí)域波形Fig.1 Waveform of simulation signal f in time domain

采用VMD 對(duì)原信號(hào)進(jìn)行分解，模態(tài)數(shù)K取5。VMD 分解信號(hào)的頻譜與仿真信號(hào)的對(duì)比如圖2 所示，其中黑色虛線為仿真信號(hào)頻譜。從頻譜中能清晰看到該信號(hào)第一個(gè)組分的主頻為2 Hz，第二個(gè)組分信號(hào)5 Hz 及其變化邊界4 Hz 和6 Hz，還有第三個(gè)組分信號(hào)從10 Hz 變化到22 Hz 的譜圖。此外，還有信號(hào)中沒出現(xiàn)過的3 Hz 和7 Hz 的 “偽” 諧波分量。

圖2 VMD 分解頻譜與仿真信號(hào)對(duì)比Fig.2 Comparison between the frequency spectrum decomposed by VMD and the simulation signal

由于設(shè)置模態(tài)數(shù)為5，故VMD 分解出了u1～u5共5 個(gè)諧波分量，結(jié)果如圖3 所示。圖3 第一行為原始信號(hào)波形，之后從上到下依次為VMD 分解得到的諧波分量與原始信號(hào)分量的對(duì)比。其中，虛線顯示的是原信號(hào)分量的波形，實(shí)線為VMD 分解的波形?？梢?，VMD 準(zhǔn)確地分解出了前兩個(gè)組分信號(hào)，對(duì)應(yīng)了原信號(hào)中的v1和v2。v3是頻率變化很快的掃頻信號(hào)，VMD 分了3 次對(duì)該信號(hào)進(jìn)行了分解。u3、u4和u5分別對(duì)應(yīng)了該信號(hào)的不同頻率段的波形，但都與v3對(duì)應(yīng)段的波形吻合良好。

圖3 VMD 分解結(jié)果與仿真信號(hào)對(duì)比Fig.3 Comparison between the result decomposed by VMD and the simulation signal

圖4 基于VMD 的時(shí)頻分析圖Fig.4 Time-frequency analysis diagram based on VMD

VMD 方法的時(shí)頻分析如圖4 所示，描繪了信號(hào)不同組分的頻率隨時(shí)間的變化。為了對(duì)比，采用小波分析的方法也對(duì)這段信號(hào)進(jìn)行了時(shí)頻分析，分辨率取0.2 Hz，如圖5 所示?？梢姡赩MD 的時(shí)頻分析方法可以很好地展示出原非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻特征，包括頻率隨時(shí)間線性增長(zhǎng)和正弦波動(dòng)的特性，而小波分析無法描繪出頻率呈正弦變化的過程，得到的頻帶也不夠清晰。

3 試飛應(yīng)用

某型飛機(jī)在某高度跨音速飛行時(shí)，給外掛物上施加側(cè)脈沖激勵(lì)，外掛物的振動(dòng)響應(yīng)并未衰減，而是出現(xiàn)等幅振蕩的異?，F(xiàn)象。施加激勵(lì)后外掛物的時(shí)域振動(dòng)如圖6 所示。

圖5 小波分析時(shí)頻圖Fig.5 Time-frequency diagram of wavelet analysis

圖6 外掛物的振動(dòng)時(shí)間歷程Fig.6 Vibration time history of the aircraft stores

將時(shí)域信號(hào)放大，可見在整個(gè)振蕩過程信號(hào)波形有變化。為研究其非平穩(wěn)的變化特性，采用VMD 時(shí)頻分析方法對(duì)典型的不同特性的三段信號(hào)進(jìn)行分析。第一段為0～3 s（如圖7 所示），可見，VMD 方法完全捕捉到了所有的頻率成分。從時(shí)域波形看出，在0.3 s 時(shí)施加的激勵(lì)，從時(shí)頻圖中可見，在施加激勵(lì)前9 Hz 頻率就存在，對(duì)應(yīng)了外掛物的側(cè)平振動(dòng)。施加激勵(lì)后，其振幅逐漸衰減，而17.5 Hz 的振動(dòng)是在施加激勵(lì)后才被激發(fā)出來，對(duì)應(yīng)了外掛物的偏航振動(dòng)，伴隨出現(xiàn)的還有它的2 倍頻。第二段為7.8～10.3 s 數(shù)據(jù)（如圖8 所示），可見9 Hz 模態(tài)已消失，只有17.5 Hz模態(tài)及2 倍頻存在。第三段為18～21.3 s 數(shù)據(jù)（如圖9 所示），該段信號(hào)時(shí)域幅值略有增大，且波形有明顯變化，波峰與波谷出現(xiàn)許多鋸齒，類似多頻率的疊加現(xiàn)象。從頻譜圖和時(shí)頻譜圖可見，該段只呈現(xiàn)外掛物偏航振動(dòng)，同時(shí)出現(xiàn)了其2 倍頻和3 倍頻，且偏航振動(dòng)頻率由最初的17.5 Hz 左右變?yōu)榱?6 Hz 左右。即脈沖激勵(lì)后，主要呈現(xiàn)的是外掛物的持續(xù)偏航振動(dòng)，隨著時(shí)間的推移，其倍頻振動(dòng)也越發(fā)顯著，振幅在后期還有增大趨勢(shì)，直到飛機(jī)減速爬升，退出異常振動(dòng)過程，該振動(dòng)才衰減。由此，通過基于VMD 的時(shí)頻分析可以清楚詳細(xì)地分析出外掛物以偏航振動(dòng)為主導(dǎo)的極限環(huán)振蕩過程，找到了故障的來源，為解決異常振動(dòng)問題提供支撐。

圖7 前0～3 s 信號(hào)分析結(jié)果Fig.7 Analysis results of the first 0～3 s: a) time domain signal of interception section; b) comparison between signal spectrum decomposed by VMD and intercepted spectrum; c) time frequency analysis based on VMD

圖8 前7.8～10.3 s 信號(hào)分析結(jié)果Fig.8 Analysis results of the first 7.8～10.3 s: a) time domain signal of interception section; b) comparison between signal spectrum decomposed by VMD and intercepted spectrum; c) time frequency analysis based on VMD

圖9 前18～21 s 信號(hào)分析結(jié)果Fig.9 Analysis results of the first 18～21 s: a) time domain signal of interception section; b) comparison between signal spectrum decomposed by VMD and intercepted spectrum; c) time frequency analysis based on VMD

4 結(jié)論

1）基于VMD 的時(shí)頻分析方法能細(xì)致清晰地展示出非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻特性，有較高聚集度。

2）該方法在實(shí)際顫振試飛數(shù)據(jù)處理應(yīng)用中取得了良好效果。對(duì)于飛行異常振動(dòng)數(shù)據(jù)，有助于分析試飛故障來源，為后續(xù)問題解決提供支撐。