李 玄，周雙武，路 松，丁冰曉

（1.吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南吉首416000；2.澳門大學(xué)科技學(xué)院，澳門999078）

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，針對(duì)微機(jī)電技術(shù)、微加工與制造技術(shù)、微操作技術(shù)和微裝配技術(shù)等的研究不斷深入，現(xiàn)已進(jìn)入微米級(jí)、量子級(jí)時(shí)代［1］。在光纖對(duì)接、激光加工以及微電機(jī)系統(tǒng)開(kāi)發(fā)等領(lǐng)域均需要使用高精度微定位平臺(tái)［2-5］。微定位平臺(tái)是微定位系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，主要由驅(qū)動(dòng)部分和機(jī)械傳動(dòng)部分組成，其定位精度直接決定了微定位系統(tǒng)的精度［6］。目前，微定位系統(tǒng)主要有壓電工作臺(tái)型、電熱微驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)型以及電磁驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)型等。其中，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器因具有分辨率高、驅(qū)動(dòng)力大和動(dòng)態(tài)特性好等優(yōu)點(diǎn)，成為了微定位領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛的驅(qū)動(dòng)元件［7］。但是，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的行程較小且往往伴隨多余的寄生運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致其驅(qū)動(dòng)的微定位平臺(tái)在工程上的應(yīng)用受限。

為了解決這一問(wèn)題，需借助放大機(jī)構(gòu)來(lái)補(bǔ)償壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的輸出位移［8］，以擴(kuò)大微定位平臺(tái)的工作空間。常采用的放大機(jī)構(gòu)有橋式放大機(jī)構(gòu)、Scoot-Russel機(jī)構(gòu)和杠桿機(jī)構(gòu)［9］。圍繞基于柔性結(jié)構(gòu)的放大機(jī)構(gòu)在微定位平臺(tái)中的應(yīng)用，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了很多研究［10-11］。例如：天津大學(xué)的李政設(shè)計(jì)了一種用音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)的二自由度微定位平臺(tái)，其具有行程大、承載能力強(qiáng)、完全解耦等優(yōu)點(diǎn)［12］；西安電子科技大學(xué)的王子毅設(shè)計(jì)了一種柔順精密二自由度定位平臺(tái)，并通過(guò)有限元仿真分析得到了該平臺(tái)的固有頻率以及對(duì)應(yīng)振型［13］；Huang等設(shè)計(jì)了一種新型二自由度精密微定位平臺(tái)，其運(yùn)動(dòng)行程可達(dá)19.2 μm×18.8 μm，定位誤差小于5%［14］；Lee等設(shè)計(jì)了一種基于橋式放大機(jī)構(gòu)的二自由度微定位平臺(tái)，并通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證了該平臺(tái)具有較大的行程以及較高的定位精度和分辨率［15］。上述二自由度微定位平臺(tái)雖各具優(yōu)點(diǎn)，但多數(shù)存在輸出位移范圍較小、整體剛度較小及結(jié)構(gòu)復(fù)雜等問(wèn)題。鑒于目前精密微定位平臺(tái)的應(yīng)用前景十分廣闊，設(shè)計(jì)性能優(yōu)異的微定位平臺(tái)具有重要意義。

基于此，筆者擬基于杠桿原理和柔性結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)一種基于二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)的由壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)的二自由度微定位平臺(tái)。首先，為提升微定位平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)杠桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化；然后，為了解微定位平臺(tái)的性能，對(duì)其輸出位移放大倍數(shù)、剛度特征及固有頻率進(jìn)行理論分析；最后，為驗(yàn)證理論分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，對(duì)微定位平臺(tái)的輸出位移、靜剛度與模態(tài)特性進(jìn)行仿真分析。

1 二自由度微定位平臺(tái)設(shè)計(jì)

1.1 柔性鉸鏈選擇

柔性鉸鏈?zhǔn)侨嵝越Y(jié)構(gòu)的最小單元，主要利用材料在結(jié)構(gòu)薄弱部位的可塑性變形來(lái)傳遞力和運(yùn)動(dòng)，其具有體積小、無(wú)機(jī)械摩擦、無(wú)間隙和靈敏度高［16］等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于微精密機(jī)械、光學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。按缺口形式分類，柔性鉸鏈主要可分為直梁型柔性鉸鏈、橢圓型柔性鉸鏈和正圓型柔性鉸鏈，如圖1所示。不同缺口型柔性鉸鏈的剛度、轉(zhuǎn)動(dòng)范圍和轉(zhuǎn)動(dòng)精度均不同，具體如表1所示。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，橢圓型柔性鉸鏈的性能介于直梁型柔性鉸鏈與正圓型柔性鉸鏈之間。為提升放大機(jī)構(gòu)的性能，采用正圓型柔性鉸鏈和直梁型柔性鉸鏈作為放大機(jī)構(gòu)的柔性結(jié)構(gòu)，其中：正圓型柔性鉸鏈主要用于杠桿機(jī)構(gòu)，可提高轉(zhuǎn)動(dòng)精度；直梁型柔性鉸鏈具有轉(zhuǎn)動(dòng)范圍大、剛度小等特點(diǎn)，可用于位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)。

圖1 典型缺口型柔性鉸鏈?zhǔn)疽鈭DFig.1 Diagram of typical notched flexible hinges

表1 不同柔性鉸鏈的性能對(duì)比Table 1 Comparison of performance of different flexure hinges

1.2 杠桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

杠桿機(jī)構(gòu)是較常用的放大機(jī)構(gòu)，相比于其他放大機(jī)構(gòu)，其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、制造方便和放大倍數(shù)易分析等優(yōu)點(diǎn)，但其結(jié)構(gòu)不緊湊，尤其是為了得到大放大比，需要增大機(jī)構(gòu)的整體尺寸。為有效平衡杠桿機(jī)構(gòu)尺寸和微定位平臺(tái)輸出位移之間的關(guān)系，需選擇具有合適放大級(jí)數(shù)的杠桿機(jī)構(gòu)。一級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但難以得到足夠大的輸出位移；三級(jí)或多級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)不夠緊湊，易產(chǎn)生寄生運(yùn)動(dòng)。鑒于此，選擇二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)作為微定位平臺(tái)的放大機(jī)構(gòu)。同時(shí)，為了提高微定位平臺(tái)的響應(yīng)速度，對(duì)傳統(tǒng)杠桿機(jī)構(gòu)的幾何形狀進(jìn)行優(yōu)化。圖2所示為3種不同類型的杠桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)及其力驅(qū)動(dòng)形式，其中圖2（a）、（b）為新型杠桿機(jī)構(gòu)，圖2（c）為傳統(tǒng)杠桿機(jī)構(gòu)。圖2中：小黑點(diǎn)表示杠桿機(jī)構(gòu)的質(zhì)心，m表示杠桿機(jī)構(gòu)的質(zhì)量，r1、r2和r3分別表示3種不同類型杠桿機(jī)構(gòu)的質(zhì)心與轉(zhuǎn)動(dòng)軸之間的距離，F(xiàn)表示驅(qū)動(dòng)力。

圖2 不同類型杠桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)與力驅(qū)動(dòng)形式對(duì)比Fig.2 Comparison of structure and force driving form of different types of lever mechanisms

杠桿機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為：

則圖2所示的3種杠桿機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：

由r1＜r3＜r2可得：

在相同的驅(qū)動(dòng)力F和力矩τ的作用下，不同杠桿機(jī)構(gòu)的終端加速度ai（i=1，2，3）為：

根據(jù)式（3）可知a1＞a3＞a2，由此說(shuō)明相比于圖2（c）所示傳統(tǒng)杠桿機(jī)構(gòu)和圖2（b）所示的新型杠桿機(jī)構(gòu)，圖2（a）所示的新型杠桿機(jī)構(gòu)可更有效縮短反應(yīng)時(shí)間。因此，采用圖2（a）所示的新型杠桿機(jī)構(gòu)有利于提高微定位平臺(tái)的響應(yīng)速度，進(jìn)而提升微定位平臺(tái)的整體性能。

1.3 微定位平臺(tái)設(shè)計(jì)

基于新型二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)的二自由度微定位平臺(tái)的結(jié)構(gòu)如圖3所示，整個(gè)微定位平臺(tái)的外形尺寸為235mm×235mm×10mm，其內(nèi)部含有36個(gè)柔性鉸鏈，由壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)。二自由度微定位平臺(tái)采用并聯(lián)形式，由4個(gè)支鏈（2個(gè)二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)和2個(gè)位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)）連接末端工作平臺(tái)和基座，具有剛度大、承載能力強(qiáng)、無(wú)積累誤差和響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)。二自由度微定位平臺(tái)利用二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)放大輸入位移，在每個(gè)二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)的第1級(jí)杠桿的柔性鉸鏈支點(diǎn)附近添加1對(duì)固定孔，以有效防止在杠桿機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)柔性鉸鏈因受到較大的拉伸而導(dǎo)致微定位平臺(tái)整體發(fā)生大的形變，從而影響該方向輸出位移的放大；同時(shí)，固定孔中心應(yīng)適當(dāng)偏離柔性鉸鏈中心，以防止柔性鉸鏈因拉伸過(guò)大而發(fā)生斷裂。在二自由度微定位平臺(tái)的x、y方向上，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器輸入的位移經(jīng)二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)放大后傳至末端工作平臺(tái)，再通過(guò)位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的定向傳導(dǎo)，消除多余的耦合寄生運(yùn)動(dòng)后輸出。

2 二自由度微定位平臺(tái)性能理論分析

為進(jìn)一步了解二自由度微定位平臺(tái)的各項(xiàng)性能，對(duì)該微定位平臺(tái)的位移放大倍數(shù)、靜力學(xué)特性（剛度特征）以及動(dòng)力學(xué)特性（固有頻率）進(jìn)行理論分析。

2.1 位移放大倍數(shù)分析

圖3 基于二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)的二自由度微定位平臺(tái)整體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Overall structure diagram of two-DOF micro-positioning platform based on two-level lever mechanism

二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)作為微定位平臺(tái)的位移放大、傳遞機(jī)構(gòu)，采用完全對(duì)稱結(jié)構(gòu)，以避免應(yīng)力集中和確保機(jī)構(gòu)不受切向破壞力的影響，同時(shí)使非驅(qū)動(dòng)位移方向上的受力抵消，不產(chǎn)生附加位移，以提高運(yùn)動(dòng)精度。二自由度微定位平臺(tái)中二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)如圖4所示。圖4中：l1為位移輸入點(diǎn)S到柔性鉸鏈A的水平距離；l2為柔性鉸鏈A到柔性鉸鏈B的水平距離；l3為柔性鉸鏈C到柔性鉸鏈D的水平距離；l4為柔性鉸鏈D到柔性鉸鏈G的水平距離；l5為連接工作平臺(tái)的每根桿的長(zhǎng)度；l6為位移導(dǎo)向機(jī)構(gòu)中直梁型柔性鉸鏈的缺口長(zhǎng)度。為了方便計(jì)算，取二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)的一側(cè)進(jìn)行分析，其放大原理如圖5所示：輸入位移Δd經(jīng)由柔性鉸鏈A、B組成的第1級(jí)杠桿和由柔性鉸鏈C、D、G組成的第2級(jí)杠桿進(jìn)行放大處理，最終在柔性鉸鏈H處輸出位移Δy。圖5中：Δa表示輸入位移經(jīng)第1級(jí)杠桿放大后的輸出位移，同時(shí)也是第2級(jí)杠桿的輸入位移；θ1表示第1級(jí)杠桿的轉(zhuǎn)角；θ2表示第2級(jí)杠桿的轉(zhuǎn)角。

圖4 二自由度微定位平臺(tái)中二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)Fig.4 Dimension parameters of two-level lever mechanism in the two-DOF micro-positioning platform

圖5 二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)的放大原理Fig.5 Amplification principle of two-level lever mechanism

根據(jù)圖5所示的二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)放大原理和相似三角形理論，可得第1級(jí)杠桿的位移放大倍數(shù)為［17］：

同理可得第2級(jí)杠桿的位移放大倍數(shù)為：

綜上可得二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)的位移放大倍數(shù)為：

2.2 靜力學(xué)分析

為得到二自由度微定位平臺(tái)輸出位移與驅(qū)動(dòng)力的關(guān)系，對(duì)其進(jìn)行靜力學(xué)分析。驅(qū)動(dòng)力主要用于驅(qū)使柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)，因此需要先計(jì)算柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。如圖6所示，以柔性鉸鏈連接桿截面中心為原心，中性軸方向?yàn)閥軸方向，柔性鉸鏈兩端連接方向?yàn)閤軸方向，與柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)平面相互垂直的方向?yàn)閦軸方向，建立直角坐標(biāo)系，其中：t、h、b分別為柔性鉸鏈的最小厚度、高度和寬度，R為正圓型柔性鉸鏈的圓弧半徑，2w為直梁型柔性鉸鏈中間梁桿的長(zhǎng)度，Mz為柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到的力矩。

圖6 柔性鉸鏈幾何模型Fig.6 Geometric model of flexure hinges

由圖6可知，正圓型柔性鉸鏈和直梁型柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)角剛度k1、k2分別為［18］：

式中：E表示材料的彈性模量；I為直梁型柔性鉸鏈中間梁桿截面上y方向的慣性矩。

對(duì)二自由度微定位平臺(tái)y方向的剛度進(jìn)行分析，為方便計(jì)算，取微定位平臺(tái)的左側(cè)進(jìn)行分析，具體參數(shù)如圖7所示。

圖7 二自由度微定位平臺(tái)靜力學(xué)分析參數(shù)Fig.7 Static analysis parameters of two-DOF micro-positioning platform

微定位平臺(tái)在驅(qū)動(dòng)力作用下運(yùn)轉(zhuǎn)做功時(shí)會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的動(dòng)能與勢(shì)能，分別可表示為：

式中：T、U分別為微定位平臺(tái)的動(dòng)能和勢(shì)能；m1為連接二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)與工作平臺(tái)的每根桿的質(zhì)量；J4、J5、J6分別為第1級(jí)杠桿、第2級(jí)杠桿和x方向上與工作平臺(tái)相連的每根桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ3為x方向上與工作平臺(tái)相連的每根桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

同時(shí)，依據(jù)微定位平臺(tái)的輸出位移Δy，可得：

由于微定位平臺(tái)的輸出位移Δy很小，可得：

將式（15）至式（17）代入式（10）和（11）可得：

式中：M表示二自由度微定位平臺(tái)的質(zhì)量；K表示二自由度微定位平臺(tái)y方向的剛度。

綜上，二自由度微定位平臺(tái)y方向的剛度K可表示為：

二自由度微定位平臺(tái)的結(jié)構(gòu)對(duì)稱，其x方向的剛度與y方向的剛度相同，不再重復(fù)推導(dǎo)。

2.3 動(dòng)力學(xué)分析

對(duì)二自由度微定位平臺(tái)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，以得到其固有頻率。由靜力學(xué)分析可知，該微定位平臺(tái)的質(zhì)量M可表示為：

基于拉格朗日公式，得到該微定位平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程：

式中：qj為廣義坐標(biāo)；Fj為非有勢(shì)力；n為微定位平臺(tái)的自由度數(shù)。

由此可得二自由度微定位平臺(tái)在位移輸出方向上的動(dòng)力學(xué)方程為：

3 二自由度微定位平臺(tái)性能仿真分析

為了驗(yàn)證理論分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，利用有限元分析軟件Workbench對(duì)二自由度微定位平臺(tái)的位移放大倍數(shù)、靜力學(xué)特性和動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行仿真驗(yàn)證。二自由度微定位平臺(tái)的材料為鋁合金7075-T6（SN），其彈性模量E=72 GPa，泊松比μ=0.33，屈服強(qiáng)度σ=505 MPa。二自由度微定位平臺(tái)的尺寸參數(shù)如表2所示。

表2 二自由度微定位平臺(tái)的尺寸參數(shù)Table 2 Dimension parameters of two-DOF micro-positioning platform

3.1 位移仿真分析

利用有限元分析軟件Workbench對(duì)二自由度微定位平臺(tái)進(jìn)行位移仿真分析。將二自由度微定位平臺(tái)的三維模型（Solidworks中建立）導(dǎo)入Workbench后建立有限元模型，并在所有定位孔的內(nèi)圓柱面施加固定約束，在加載節(jié)點(diǎn)處進(jìn)行位移加載。二自由度微定位平臺(tái)的位移云圖及應(yīng)變?cè)茍D如圖8所示。

為驗(yàn)證二自由度微定位平臺(tái)的穩(wěn)定性，對(duì)其y方向的輸入位移和輸出位移進(jìn)行分析，結(jié)果如表3所示。由表3可知，該二自由度微定位平臺(tái)在y方向上輸出位移時(shí)，會(huì)在x方向上產(chǎn)生一定的耦合位移xc，但相比于實(shí)際需要的輸出位移yout，xc非常微小，可以忽略不計(jì)，這表明該微定位平臺(tái)具有較高的穩(wěn)定性。

3.2 靜力學(xué)仿真分析

為了驗(yàn)證二自由度微定平臺(tái)理論剛度模型的準(zhǔn)確性，對(duì)其進(jìn)行靜力學(xué)仿真分析。不同驅(qū)動(dòng)力下二自由度微定位平臺(tái)輸出位移的理論值與仿真值對(duì)比如圖9所示。

由圖9可知：二自由度微定位平臺(tái)的輸出位移與驅(qū)動(dòng)力呈線性相關(guān)關(guān)系，輸出位移隨驅(qū)動(dòng)力的增大而增大，其仿真剛度為7.57 N/μm。根據(jù)式（20）計(jì)算得到該微定位平臺(tái)的理論剛度為6.86 N/μm，仿真剛度與理論剛度比較接近，其相對(duì)誤差為9%；隨著驅(qū)動(dòng)力的增大，理論剛度與仿真剛度的差異逐漸增大，這是因?yàn)槲⒆冃魏臀⑦\(yùn)動(dòng)對(duì)輸出位移的影響會(huì)隨驅(qū)動(dòng)力的增大而增大，而理論分析時(shí)忽略了微變形、微運(yùn)動(dòng)的影響，從而導(dǎo)致差異變大。但總體而言，理論分析結(jié)果具有較高的可靠性，可為微定位平臺(tái)剛度分析提供理論指導(dǎo)。

3.3 動(dòng)力學(xué)仿真分析

圖8 二自由度微定位平臺(tái)的位移云圖及應(yīng)變?cè)茍DFig.8 Displacement nephogram and strain nephogram of two-DOF micro-positioning platform

表3 二自由度微定位平臺(tái)y方向輸出位移仿真結(jié)果Table 3 Simulation results of y-direction output displacement of two-DOF micro-positioning platform

為驗(yàn)證二自由度微定位平臺(tái)動(dòng)力學(xué)特性理論分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，對(duì)該微定位平臺(tái)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析，主要通過(guò)模態(tài)和固有頻率來(lái)表征其動(dòng)力學(xué)性能，仿真結(jié)果如圖10所示。由圖10可以看出，二自由度微定位平臺(tái)的第1階共振頻率為638.21 Hz，在該頻率下，工作平臺(tái)沿z方向發(fā)生了偏移；在第2、第3階頻率下，工作平臺(tái)沿x、y方向產(chǎn)生平移；在第4、第5、第6階頻率下，工作平臺(tái)沿z方向產(chǎn)生平移。在工作平臺(tái)沿x、y方向作平移運(yùn)動(dòng)的情況下，微定位平臺(tái)的固有頻率比較接近，表明在第2、第3階頻率下，該微定位平臺(tái)具有相似的動(dòng)力學(xué)特性。

圖9 不同驅(qū)動(dòng)力下二自由度微定位平臺(tái)輸出位移的理論值與仿真值對(duì)比Fig.9 Comparison of theoretical and simulated output displacements of two-DOF micro-positioning platform under different driving forces

4 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種基于二級(jí)杠桿機(jī)構(gòu)的二自由度微定位平臺(tái)。通過(guò)對(duì)該微定位平臺(tái)的位移放大倍數(shù)、剛度及固有頻率進(jìn)行理論分析和仿真分析發(fā)現(xiàn)，該微定位平臺(tái)具有穩(wěn)定性好、剛度大和動(dòng)力學(xué)性能良好等優(yōu)點(diǎn)。本文采用的微定位平臺(tái)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和分析方法具有一定的實(shí)用價(jià)值。

圖10 二自由度微定位平臺(tái)動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果Fig.10 Dynamics simulation results of two-DOF micro-positioning platform