（廣西師范大學(xué) 電子工程學(xué)院，廣西 桂林 541004）

引言

單目光柵投影三維測量系統(tǒng)由相機(jī)、投影儀和計算機(jī)組成。投影儀向待測物體投影一組編碼圖案，圖案受到物體表面形貌的調(diào)制產(chǎn)生形變，再由相機(jī)捕獲；通過解碼調(diào)制后的編碼圖案，獲得待測物體表面上各點(diǎn)在相機(jī)和投影儀的圖像坐標(biāo)，最后根據(jù)光學(xué)三角法計算待測物表面各點(diǎn)在世界坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)[1-3]。光柵投影三維測量技術(shù)具有非接觸、測量速度快、自動化等優(yōu)點(diǎn)，近年來在逆向工程、質(zhì)量檢測、文物保護(hù)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

其中相機(jī)和投影儀的標(biāo)定是系統(tǒng)工作的基本步驟與關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其精度直接決定了系統(tǒng)的測量精度。

圓形特征對噪聲的抑制性較強(qiáng)，識別率較高[4]，且在投影儀標(biāo)定時，標(biāo)志點(diǎn)中心處的相位調(diào)制度較好，故圓形陣列標(biāo)定板常作為三維測量系統(tǒng)的標(biāo)定物。圓形特征的提取在圖像處理領(lǐng)域研究較早，對圖像中圓形及橢圓的識別具有較高的準(zhǔn)確度與速度[5-7]，標(biāo)定場景中標(biāo)定板圖像特征簡單，標(biāo)志點(diǎn)與非標(biāo)志點(diǎn)在輪廓的閉合性、輪廓長度、圓度、對比度等特征上區(qū)分明顯，綜合使用以上方式可以準(zhǔn)確快速提取標(biāo)志點(diǎn)圖像[8，10，12]。

圓形標(biāo)志點(diǎn)像素坐標(biāo)的獲取精度主要由邊緣檢測精度決定，朱統(tǒng)晶等基于正交傅里葉—馬林距的算法來獲取亞像素邊緣[9]，張虎等人通過邊緣梯度方向的灰度插值擬合高斯曲線進(jìn)行亞像素邊緣定位[10]。除傳統(tǒng)的插值、擬合、基于距等方法外，Agustin 等人提出了一種基于邊緣局部區(qū)域效應(yīng)的亞像素邊緣提取方法[11]。此外，標(biāo)志點(diǎn)圖像坐標(biāo)需要與空間坐標(biāo)匹配，夏仁波等人通過標(biāo)志點(diǎn)之間的幾何位置關(guān)系，對標(biāo)志點(diǎn)進(jìn)行了排序和匹配[12]，以實現(xiàn)相機(jī)的自動標(biāo)定。

投影儀使用逆向相機(jī)模型，使用相移輪廓術(shù)進(jìn)行投影儀像素編碼，通過相位建立標(biāo)志點(diǎn)的投影儀圖像坐標(biāo)與相機(jī)圖像坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系[13]，進(jìn)而與標(biāo)志點(diǎn)的空間坐標(biāo)相匹配來進(jìn)行標(biāo)定。光柵條紋會受到物體表面調(diào)制及環(huán)境光干擾等影響，引起相位誤差。通過補(bǔ)償、校正等方式可以減小相位誤差，毛翠麗等人提出多頻法和反向相位誤差補(bǔ)償結(jié)合的高效方法[14]，鄭東亮等人提出雙四步相移的方法[15]，有效減小非線性引起的相位誤差。標(biāo)志點(diǎn)圓心坐標(biāo)往往是亞像素級別的，圓心處的相位值需要通過插值獲得，Jakob Wilm 等人使用高斯徑向基函數(shù)方法進(jìn)行插值[16]，進(jìn)一步提高圓心處相位獲取精度與穩(wěn)定性。

本文考慮邊緣變化劇烈程度和噪聲影響，根據(jù)邊緣特征靈活提出了基于擬合及局域區(qū)域效應(yīng)的亞像素邊緣檢測算法，獲得高精度標(biāo)志點(diǎn)圓心圖像坐標(biāo)；同時提供一種基于透視變換圖像矯正的簡易快速標(biāo)志點(diǎn)匹配方法。投影儀標(biāo)定中，除使用雙四步相移減小誤差之外，針對插值算法，提出一種基于徑向基的線性插值方式。

1 系統(tǒng)模型

單目光柵投影三維測量系統(tǒng)模型如圖1所示。其中，世界坐標(biāo)系Ow?XwYwZw是物體在空間中所建立的絕對坐標(biāo)系，以標(biāo)定時的標(biāo)定物為基礎(chǔ)而建立，重建的點(diǎn)云通過該坐標(biāo)系來描述；相機(jī)坐標(biāo)系Oc?XcYcZc是以相機(jī)鏡頭光心為原點(diǎn)建立的坐標(biāo)系；相機(jī)圖像坐標(biāo)系oc?ucvc是以圖像的左上角為原點(diǎn)建立的二維坐標(biāo)系；投影儀坐標(biāo)系與投影儀圖像坐標(biāo)系同理。

圖1 三維測量系統(tǒng)模型示意圖Fig.1 Schematic of 3D measurement system model

在相機(jī)的小孔成像模型中，相機(jī)的成像過程可以簡化為透視投影模型：

式中：s為尺度因子；A為相機(jī)的內(nèi)參矩陣；R3×3為世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的正交旋轉(zhuǎn)矩陣；T3×1為平移向量；Mc是3×4 大小的相機(jī)投影變換矩陣。使用逆向相機(jī)模型對投影儀進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，世界坐標(biāo)系下物點(diǎn)PW(XW,YW,ZW)到投影儀圖像Pp(up,vp)的轉(zhuǎn)換關(guān)系同相機(jī)一致，描述為

Mc、Mp進(jìn)一步表示為

通過系統(tǒng)標(biāo)定，可得投影變換矩陣Mc和Mp，由（1）式～（4）式可求得物體表面的世界坐標(biāo)[3]為

由上述公式可以看出，相機(jī)和投影儀的標(biāo)定精度直接決定了三維掃描系統(tǒng)的工作精度。

2 相機(jī)標(biāo)定

使用圓形陣列標(biāo)定板進(jìn)行相機(jī)標(biāo)定時，需要拍攝不同方位的標(biāo)定板，并建立各個標(biāo)志點(diǎn)的世界坐標(biāo)與相機(jī)圖像坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系。標(biāo)志點(diǎn)圓心的圖像坐標(biāo)直接參與標(biāo)定計算，提取的精度決定相機(jī)標(biāo)定的精度。

2.1 標(biāo)志點(diǎn)邊緣提取

標(biāo)志點(diǎn)圖像特征簡單，由黑色背景和白色圓形填充組成。由方形孔徑采樣定理[17]，標(biāo)志點(diǎn)由一系列離散的灰度陣列描述，設(shè)對應(yīng)標(biāo)志點(diǎn)內(nèi)、外的像素灰度值分別為fA、fB，當(dāng)像素點(diǎn)內(nèi)有邊緣穿過時，像素落在標(biāo)志點(diǎn)內(nèi)外兩個部分，該像素的灰度值可以表示為

式中：SA、SB分別為該像素點(diǎn)在標(biāo)志點(diǎn)內(nèi)、外所占的面積，設(shè)像素寬、高均為1，則有SA+SB=1。

圓形標(biāo)志點(diǎn)通過投影變換成像時，往往退化成橢圓，而且由于相機(jī)的離焦等影響，實際空間中劇變的灰度經(jīng)過光學(xué)成像成為漸變的形式[17-18]。這種變化可以看作是系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)與圖像卷積的結(jié)果。圖像邊緣灰度值變化表征為高斯分布，標(biāo)志點(diǎn)邊緣退化模型可以用典型的二維高斯點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)描述為

式中：σp為點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)方差，方差越大，代表像素點(diǎn)灰度值受周圍像素影響越大。

邊緣的精確提取還受到噪聲的影響，通過分析標(biāo)志點(diǎn)內(nèi)外的灰度分布均勻區(qū)域的圖像，相機(jī)拍攝到圖像包含隨機(jī)噪聲[19]，信噪比（signal noise ratio，SNR）為18 dB，SNR 定義為

式中:k為圖像的對比度；σr為隨機(jī)噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。

根據(jù)上述分析，采用圖像模擬方式生成標(biāo)志點(diǎn)圖像[4]。為直觀體現(xiàn)邊緣退化情況，本文提出了四分區(qū)的模擬標(biāo)志點(diǎn)圖像進(jìn)行邊緣檢測驗證，如圖2（a）所示，四個分區(qū)1～4分別為理想邊緣圖像、添加隨機(jī)噪聲的邊緣圖像、使用點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)與邊緣圖像卷積后添加隨機(jī)噪聲、使用點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)與邊緣圖像卷積。

圖2 模擬標(biāo)志點(diǎn)與提取的亞像素邊緣Fig.2 Simulation of mark point and extracted sub-pixel edges

根據(jù)文獻(xiàn)[10]所提供的方法，將邊緣的二維高斯曲面擬合轉(zhuǎn)化為一維的高斯曲線擬合，其亞像素邊緣提取分為4個步驟：

1） 提取包含橢圓的感興趣區(qū)域（region of interesting，ROI），使用Canny算子定位像素級的單邊緣；

2） 邊緣點(diǎn)梯度方向的確定以及基于梯度方向的區(qū)域劃分；

3） 梯度方向的灰度插值以及灰度差求?。?/p>

4） 高斯曲線擬合。

步驟3 中求出的灰度差分曲線可以使用高斯曲線描述，曲線極值點(diǎn)即梯度方向上的邊緣，描述為

式中：N(x)為梯度方向上插值點(diǎn)x的灰度差分值；k,σ,μ分別為高斯曲線系數(shù)、方差和均值，其中k對應(yīng)曲線極值點(diǎn)大小，μ對應(yīng)極值點(diǎn)位置。

對（9）式兩邊取對數(shù)，等式變成關(guān)于x的多項式：

當(dāng)存在2個以上有效灰度插值時，擬合多項式可以得到μ=?p2/2p1。

使用文獻(xiàn)[11]中的方法對模擬生成的標(biāo)志點(diǎn)圖像進(jìn)行亞像素邊緣提取，結(jié)果如圖2（b）所示?？梢钥吹?，對于圖中區(qū)域2 中的邊緣，該方法提取效果并不理想。如圖3所示，以區(qū)域2 中的點(diǎn)P(x,y)為例，該點(diǎn)處的邊緣變化劇烈且灰度差分分布曲線受噪聲影響，使用最小二乘法擬合時求得高斯曲線定點(diǎn)偏差較大。

圖3 P點(diǎn)局部像素分布及高斯曲線擬合示意圖Fig.3 Point Ppartial pixel distribution and schematic of Gaussian curve fitting

實際使用中，文獻(xiàn)[10]中的方法在σp比較大的情況下表現(xiàn)較好，但在σp較小的情況下表現(xiàn)較差。計算邊緣梯度方向上插值點(diǎn)的灰度差分值，本文取閾值為10，當(dāng)差分值中大于閾值的個數(shù)小于4的時候，判斷邊緣變化劇烈。變化劇烈的邊緣處，使用基于邊緣灰度值分布局部區(qū)域效應(yīng)的方法[11]，替換高斯曲線擬合方法，進(jìn)行亞像素邊緣提取，如圖4所示。

圖4 二階曲線模擬邊緣示意圖及局部區(qū)域效應(yīng)邊緣提取Fig.4 Schematic of second order curve simulated edge and partial area effect edge extraction

圖4（a）中的邊緣用虛線表示，二次曲線可以表示在點(diǎn)P(x,y)附 近的邊緣走向，以P(x,y)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸，列出曲線方程為

求解系數(shù)a、b、c后，可以計算曲線邊緣點(diǎn)P(x,y)處的亞像素位置。在已知邊緣像素點(diǎn)及周圍像素灰度值的情況下，以該點(diǎn)為中心選擇周圍像素建立方程與灰度值的對應(yīng)關(guān)系，可以求解方程系數(shù)。

首先進(jìn)行梯度方向區(qū)域劃分，劃分標(biāo)準(zhǔn)是邊緣點(diǎn)在灰度梯度方向上的直線斜率kl的大小。當(dāng)|kl|＜1時，為k1區(qū)域，否則為k2區(qū)域。已知點(diǎn)P(x,y)屬于k2區(qū)域，選擇該點(diǎn)周圍 5×3區(qū)域的像素，當(dāng)屬于k1區(qū)域時，取 3×5區(qū)域的像素進(jìn)行計算。如圖4（a）所示，區(qū)域分為3列，計算每一列的灰度值之和，以SL、SM、SR表示為

式中：L、M、R表示區(qū)域中每一列在標(biāo)志點(diǎn)內(nèi)部，即邊緣內(nèi)側(cè)的面積，帶入曲線方程使用積分求得

根據(jù)3個等式，可以求得曲線方程系數(shù)為

實際使用中，fA、fB使用靠近所求邊緣內(nèi)外、側(cè)附近像素點(diǎn)均值求得。使用該方法求得亞像素邊緣如圖4（b）所示，邊緣獲取精度大幅度提高。

對比試驗分別用方法1) 基于Canny 算子邊緣像素提取，方法2) 基于文獻(xiàn)[10]中高斯曲線擬合的亞像素邊緣提取，方法3) 本文所使用方法，對實際拍攝所得的標(biāo)志點(diǎn)圖像進(jìn)行處理及橢圓擬合（標(biāo)志點(diǎn)邊緣及橢圓焦點(diǎn)由方法3 得出）。由于實際拍攝的標(biāo)志點(diǎn)無法得到圓心的準(zhǔn)確位置，使用殘差的方法進(jìn)行對比，殘差由以下方式給出：首先用邊緣點(diǎn)進(jìn)行橢圓擬合，得到橢圓方程；計算所有參與擬合的點(diǎn)到橢圓方程曲線的距離，距離均值則為殘差。如表1所示，方法2的平均殘差為0.1477，方法3的平均殘差為0.0871，本文方法對比方法2，殘差精度提高41%。

表1 擬合殘差比較Table1 Comparison of fitting residual error

2.2 標(biāo)志點(diǎn)匹配

對標(biāo)志點(diǎn)進(jìn)行排序，建立標(biāo)志點(diǎn)的圖像坐標(biāo)與其世界坐標(biāo)一一的對應(yīng)關(guān)系。當(dāng)相機(jī)正視標(biāo)定板時，標(biāo)志點(diǎn)橫平豎直地排列，容易進(jìn)行排序匹配，透視變換可以將圖像投影到一個新的視平面，使用透視變換矩陣將傾斜的標(biāo)定板進(jìn)行矯正得到

式中：(x,y,1)為圖像坐標(biāo)；(x′,y′,1)為矯正后的圖像坐標(biāo)；A為透視矩陣，通常令a33值為1。透視矩陣為8 自由度，因此透視矩陣只需要4個對應(yīng)的點(diǎn)就可以解出。透視變換矯正步驟如下：

1） 提取到圖像中標(biāo)志點(diǎn)后，通過面積篩選出定位標(biāo)志點(diǎn)，如圖5（a）所示；

2） 通過定位標(biāo)志點(diǎn)之間的距離，首先為每個定位標(biāo)志點(diǎn)進(jìn)行區(qū)分，預(yù)算出每個定位標(biāo)志點(diǎn)透視變換矯正后的圖像坐標(biāo)；

3） 求出透視矩陣；

4） 使用（16）式求出標(biāo)定板圖像透視變換矯正后的圖像坐標(biāo)為

5） 此時矯正后的標(biāo)志點(diǎn)橫平豎直排列，如圖5（b）所示，可以進(jìn)行排序和匹配。

完成上述操作后，可以使用張氏標(biāo)定法對相機(jī)進(jìn)行快速標(biāo)定，相機(jī)標(biāo)定的重投影誤差均值為0.0524像素，誤差分布如圖5（d）所示。

圖5 透視變換標(biāo)志點(diǎn)匹配過程及相機(jī)重投影誤差Fig.5 Process of mark points matching by perspective transformation and re-projection error of camera

3 投影儀標(biāo)定

投影儀使用相移輪廓術(shù)進(jìn)行像素編碼[20]，相移條紋圖片的生成公式為

式中：In為圖片在點(diǎn)(x,y)處的灰度值；IA為條紋圖案的背景光強(qiáng)；IB為條紋調(diào)制強(qiáng)度；φ(x,y)為待求相位，φ(x,y)=2πx/p，p為條紋周期；N為相移步數(shù)；n表示第幾次相移。

實際使用中，生成的圖像從投影出來到相機(jī)捕獲的過程還會引入非線性的誤差，這種非線性往往不能用Gamma 變換等來描述。系統(tǒng)的灰度響應(yīng)如圖6（a）所示，這種非線性導(dǎo)致正弦條紋變形，從而引起周期性的相位誤差，如圖6（b）。本文使用文獻(xiàn)[15]中雙四步相移方式進(jìn)行誤差抑制。

圖6 灰度響應(yīng)曲線與相位誤差Fig.6 Gray scale response curves and phase error

圖7 相位插值示意圖Fig.7 Schematic of phase interpolation

在投影儀標(biāo)定時，分別投影上述兩組水平、垂直條紋圖像序列并使用相機(jī)捕獲，另拍攝一張不包含條紋的圖片。使用多頻條紋，基于時域方式進(jìn)行相位展開。條紋圖像序列分別解碼得到水平、垂直的絕對相位，由標(biāo)志點(diǎn)圓心的絕對相位值可以計算出標(biāo)志點(diǎn)的投影儀圖像坐標(biāo)[13]，如圖7所示。

拍攝的不包含條紋的標(biāo)定板圖片可以提取亞像素精度的標(biāo)志點(diǎn)圓心圖像坐標(biāo)。將標(biāo)定板的絕對相位看做關(guān)于圖像坐標(biāo)的二維函數(shù)，通過插值方式獲取圓心的絕對相位值，常用插值方式為雙線性插值，公式為

式中：θ (x,y)表示該點(diǎn)處插值后的相位值，θ (x0,y0)表示圖7中對應(yīng)已知點(diǎn)的相位值，λx=x?[x]，λy=y?[y]，[x]、[y]表示取整數(shù)部分。使用雙線性差值的方式，進(jìn)行投影儀標(biāo)定，重投影誤差均值為0.1582，誤差分布如圖8（a）所示，分布特征明顯。文獻(xiàn)[16]中提到使用基于徑向基函數(shù)的插值方法，將插值問題轉(zhuǎn)化成曲面重構(gòu)問題，使用該方法求出標(biāo)志點(diǎn)圓心的投影儀圖像坐標(biāo)，標(biāo)定后的重投影誤差均值為0.1602，誤差分布如圖8（b）所示?？紤]到存在噪聲等因素影響，本文提出一個基于徑向基的插值方式為

式中：r(xi,yj)是點(diǎn)(xi,yj)到待插值點(diǎn)的歐氏距離，遍歷待插值點(diǎn)周圍已知點(diǎn)，本文取所有歐氏距離小于2.6的已知點(diǎn)，令經(jīng)式（20）變換后參與計算得

該方法是線性插值的方式，將已知點(diǎn)到待插值點(diǎn)徑向距離的高斯變換作為權(quán)值，使用SR保證權(quán)值和為1。使用本文方法對投影儀進(jìn)行標(biāo)定，重投影誤差均值為0.1203，誤差分布如圖8（c）所示，對比使用雙線性插值和基于徑向基函數(shù)的插值方法，標(biāo)定精度分別提高23.9%、24.9%。

圖8 投影儀重投影誤差Fig.8 Re-projection error of projector

4 實驗及結(jié)果

搭建如圖9所示單目光柵投影三維測量系統(tǒng)對本文算法進(jìn)行驗證。使用PointGrey公司FL3-U3-13Y3M-C COMS 相機(jī)，分辨率1280×1024，相機(jī)搭配Computar 8 mm 定焦鏡頭；投影儀為TI公司DLP LightCrafter 4500 數(shù)字微鏡（DMD）投影儀，本征分辨率為912×1140，偏軸率為100%；使用9行11列圓形陣列標(biāo)定板，標(biāo)志點(diǎn)直徑18 mm，中心距離45 mm。使用本文標(biāo)定方法進(jìn)行系統(tǒng)標(biāo)定，結(jié)果如表2所示。

圖9 三維測量系統(tǒng)硬件Fig.9 Hardware of 3D measurement system

表2 系統(tǒng)標(biāo)定結(jié)果Table2 System calibration results

單目光柵投影三維測量系統(tǒng)完成標(biāo)定后，對標(biāo)準(zhǔn)塊進(jìn)行測量，測量距離為1050 mm。如圖10所示，導(dǎo)出點(diǎn)云到Geomagic Studio 軟件中進(jìn)行分析，本文方法測得標(biāo)準(zhǔn)塊正面有效點(diǎn)云30 290個。將左中右三個平面進(jìn)行擬合，標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.221 mm、0.232 mm、0.210 mm，系統(tǒng)相對精度約為1:5000。

圖10 標(biāo)準(zhǔn)塊的三維測量實驗Fig.10 3D measurement experiment of standard block

圖11 三維測量系統(tǒng)人臉重建結(jié)果Fig.11 Reconstruction results of face with 3D measurement system

使用單目光柵投影三維測量系統(tǒng)進(jìn)行人臉掃描，重建效果較好，如圖11所示。

5 結(jié)論

本文研究了單目光柵投影三維測量系統(tǒng)標(biāo)定的兩個關(guān)鍵步驟。提出了基于擬合和局部區(qū)域效應(yīng)相結(jié)合的亞像素邊緣檢測方法，對標(biāo)志點(diǎn)邊緣進(jìn)行高精度提取，標(biāo)志點(diǎn)邊緣平均殘差為0.0871。對比基于擬合方法提取的邊緣殘差，精度提高了41%，并提供了一種快速簡單的、基于透視矯正的標(biāo)志點(diǎn)自動化匹配方法，相機(jī)標(biāo)定重投影誤差均值為0.0524像素。投影儀標(biāo)定中，分析相位誤差產(chǎn)生原因并使用雙四步相移減小誤差。針對插值算法，提出一種基于徑向基的線性插值方式，投影儀標(biāo)定重投影誤差均值為0.1203像素，對比雙線性插值方式，精度提高23.9%。使用上述標(biāo)定方法，有效地提高了單目光柵三維測量系統(tǒng)的標(biāo)定精度。