吳依，李小飛 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

債券是一種按一定利率對債券持有者支付股息并按約定條件償還本金的債權(quán)債務(wù)憑證，屬于有價證券。作為一種債券債務(wù)憑證，債券被應(yīng)用在與保險結(jié)合共同抵抗人身安全和財產(chǎn)風(fēng)險[1～3]、與信用等級結(jié)合共擔(dān)公司違約風(fēng)險[4～6]等領(lǐng)域。不支付股息并以貼現(xiàn)方式發(fā)行的債券稱為零息票債券，按照票面進行打折出售，到期時利息和購買價格之和即為債券的面值。可贖回債券賦予債券發(fā)行者在贖回日以事先約定的價格從債券持有者手中回購債券的權(quán)利，因此可贖回債券通常被視為嵌入了歐式期權(quán)或百慕大期權(quán)的債券[7]：如果贖回日唯一，稱為歐式可贖回債券；如果存在多個贖回日，稱為百慕大可贖回債券。

對于歐式可贖回債券，由于贖回日固定，其定價原理相對簡單[8～10]；對于百慕大及其他類型的可贖回債券，其定價原理相對復(fù)雜，且實際交易中主要以該類債券為主，受到許多學(xué)者的關(guān)注[11～14]。鑒于百慕大可贖回債券在實際金融市場的交易活躍性和實用性，筆者從定價原理出發(fā)，利用條件特征函數(shù)并結(jié)合蒙特卡洛模擬方法推導(dǎo)出百慕大可贖回債券的定價公式，并利用數(shù)值試驗進行了驗證。

1 條件期望的逼近

對金融產(chǎn)品定價的一個難點在于計算條件期望，國內(nèi)外有許多學(xué)者做過研究[15～17]。最近，Ding等[18]利用一維傅里葉級數(shù)展開的方法，結(jié)合倒向隨機微分方程，得到了一種利用正倒向隨機微分方程確定的期權(quán)定價公式。該公式利用了標(biāo)的資產(chǎn)的特征函數(shù)來對條件期望進行估計，并證明了誤差可控，且結(jié)果精度高。

設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)X(t):0≤t≤T服從隨機微分方程(SDE)：

(1)

式中：W(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動；μ(x)和σ(x)滿足李普希茲條件和線性增長條件。

給定時間[0,T]的一個分割Δ:0=t0<…

引理1[18]設(shè)φ(w|x)為條件密度函數(shù)p(y|x)的條件特征函數(shù)，對合適的正整數(shù)N，有：

說明選擇合適的項數(shù)N后，可以利用條件特征函數(shù)來對條件期望進行估計，并通過最小二乘蒙特卡洛模擬法計算出條件特征函數(shù)的系數(shù)項。

2 CIR利率模型

債券和其他金融產(chǎn)品一樣，其價格依賴于利率的走勢，具有一定的風(fēng)險，因此其定價顯得比較重要，這就需要對利率過程進行精細(xì)描述。利率過程通?？捎秒S機微分方程表示，常用的利率模型有Vasicek模型、Brennan-Schwartz模型、Marsh-Rosenfeld模型、Cox-Ingersoll-Ross(CIR)模型等。其中，CIR模型運用最為廣泛，在對零息票債券、歐式債券、百慕大債券等債券進行定價時通常采用CIR模型。CIR模型為均值回歸平方根模型，保證了利率過程非負(fù)，且很好地描述了利率的變化趨勢。鑒于CIR模型的優(yōu)點，筆者考慮CIR模型下的百慕大可贖回債券定價。

假設(shè)利率過程r(t)服從隨機微分方程：

(2)

式中：κ,θ,σ,r0為正常數(shù)。

式中：參數(shù)滿足4κθ>σ2。

3 百慕大可贖回債券定價

主要考慮一類利率過程服從CIR模型的百慕大可贖回債券的定價問題。百慕大可贖回債券通常有一個鎖定期，在鎖定期內(nèi)發(fā)行者禁止贖回債券，過了鎖定期方可贖回債券。在每一個贖回日前通常有一個公告日，在這個公告日債券發(fā)行者要決定是否贖回債券，設(shè)置公告日是為了保護債券發(fā)行者避免或者抵御債券價值出現(xiàn)重大變化。由于可贖回債券不同于定息債券，因此其價格依賴于嵌入的期權(quán)價格，這導(dǎo)致了百慕大可贖回債券定價的復(fù)雜性。對于百慕大可贖回債券，目前有許多定價方法，如二叉樹方法、偏微分方程方法、蒙特卡洛模擬法等。Buttler[23]利用有限差分和帶邊界格式的算法確定自由違約折扣下百慕大可贖回債券的價格，Bliss等[24]指出最優(yōu)的贖回政策并非在贖回價達到時便立即贖回。下面筆者利用條件特征函數(shù)推導(dǎo)定價公式。

假設(shè)瞬時利率r(t)服從隨機微分方程(2)，則條件特征函數(shù)為：

到期日為T的零息票債券在當(dāng)前時刻t的價值為：

Z(t,T;rt)=eA(t,T)-B(t,T)rt

假設(shè)在付息日Ti債券持有者得到的票息流為cTi(i=1,…,I-1)，記TI,…,TL表示贖回日，KI,…,KL表示敲定價格。在每一個贖回日TI,…,TL，債券發(fā)行者需決定是否贖回債券并支付債券持有者KI,…,KL，或者讓債券持有者繼續(xù)持有直至下一個贖回日。考慮公告日發(fā)生在贖回日前δ，即Ti-δ，在公告日Ti-δ，當(dāng)連續(xù)付息價值CTi-δ大于敲定價格Ki的折現(xiàn)值時，理性的債券發(fā)行者會選擇贖回債券，因此，公告日Ti-δ時刻該債券的價值可以表示為：

VTi-δ(rTi-δ)=min{Z(0,δ;rTi-δ)Ki,CTi-δ(rTi-δ)}+Z(0,δ;rTi-δ)cTi

債券的價值VTi-δ(rTi-δ)可以由倒向歸納法給出：在到期日T，設(shè)置VT(rT)=1+cT表示在到期日T前債券未被贖回時的價值；在時刻Ti-1-δ，繼續(xù)持有債券的價值可以表示為：

(3)

由于贖回日在敲出期TI及之后，因此可贖回債券的初始價格為：

(4)

從式(4)可以看出，為了求出初始值，關(guān)鍵問題就是求出CTi-1-δ(rTi-1-δ)，即確定式(4)的條件期望，因此可以選用條件特征函數(shù)進行處理，步驟如下：

步1設(shè)置離散步長h，h可以根據(jù)實際需要進行設(shè)置，如月、天等；

步3給定利率初值r0，利用Matlab隨機模擬N條利率過程；

步5在每一個執(zhí)行贖回日期i(I≤i≤L)，進行如下操作：

1)對每一條離散路徑n，利用最小二乘法計算時刻τi-d的持有函數(shù)：

3)在i=I時停止，計算第1個公告日時刻Ti=δ=(τI-d)h的折現(xiàn)價值：

并計算初始時刻可贖回債券的價格：

4 數(shù)值模擬

TI=T11=11,…,TL=T21=T=21

相應(yīng)的敲定價格為：

K11=1.025K12=1.020K13=1.015

K14=1.010K15=1.005K16=…=K21=1

CIR模型參數(shù)為：

κ=0.54958046θ=0.38757496σ=0.0348468515r0=0.0752280589

容易驗證隨機微分方程(2)有正解。隨機生成5000條利率過程(N=5000)，計算該債券的初始價格，并比較筆者的數(shù)值解與Buttler[26]數(shù)值解的誤差(文獻[26]中利用PDE方法結(jié)合Green函數(shù)計算出的數(shù)值解為0.7981)。

表1 不同M和h的百慕大可贖回債券的價格

5 結(jié)語

作為金融領(lǐng)域的一種重要產(chǎn)品，債券的定價問題一直以來都是金融計算方法中一個熱門話題，債券的價格因市場利率而變使得債券定價問題變得很復(fù)雜。筆者考慮了一類市場利率服從CIR模型的可贖回債券的定價問題，利用條件特征函數(shù)近似逼近一類條件數(shù)學(xué)期望，結(jié)合最小二乘蒙特卡洛方法，得到了該類債券的定價公式，最后通過數(shù)值模擬檢驗了該定價公式的效果，與經(jīng)典的偏微分方程數(shù)值解的結(jié)果進行了對比，驗證了該定價模型的可行性。