楊志黎，移乃琴，程書博，田永紅 (長江大學物理與光電工程學院，湖北 荊州 434023)

傳統(tǒng)的波帶片由一系列不透明或透明的同心圓環(huán)交替組成，被廣泛應用于X射線成像[1～4]、天文學[5]、太赫茲光學[6]和光學捕獲[7,8]等領域。然而，菲涅耳波帶片在成像像差上具有一定局限性。隨著分形光學在各個領域的應用[9,10]，科學家們開始將這種思想引入到波帶片的構造中，Saavedra等[11]提出了一種新型光子學元件，即分形波帶片，Davis等[12]在液晶顯示器上實現(xiàn)了該類型波帶片的軸向衍射實驗。盡管用分形康托爾集生成的分形波帶片沿光軸具有多個焦點，并且可以在一定程度上降低白光照明下的色差，但該類型波帶片各個焦點強度差別較大[13]。自Shechtman等發(fā)現(xiàn)準晶體以來，準周期和非周期系統(tǒng)的結構和物理特性的研究引起了人們的極大關注[14]。近年來，科學家們基于不同的非周期序列設計出了多種具有特殊衍射特性的波帶片。Fibonacci波帶片和Thue-Morse波帶片沿光軸都具有雙焦點，并且在光學成像和光學捕獲中有潛在的應用[15,16]。Fibonacci波帶片的雙焦點不具有自相似特性，Thue-Morse波帶片具有對稱分布的2個自相似焦點。TMZPs結合了菲涅耳波帶片和Fibonacci波帶片的優(yōu)點，一定程度上降低了成像色差。但是，該類型波帶片的軸向聚焦強度和分辨率相對較低，限制了其在光學成像領域的應用。課題組最近提出了一種新的衍射透鏡——復合Thue-Morse波帶片, 該類型波帶片由多階Thue-Morse波帶片組成。與Thue-Morse相比，復合Thue-Morse波帶片在軸向強度和成像分辨率等方面性能較強[17]。此外，課題組還提出了一種軸向具有4個等強度焦點的Canto-Thue-Morse波帶片,該類型波帶片的4個焦點位于所設定的軸向位置，焦點處的能量效率隨焦距的增大而增大[18]。

作為Thue-Morse序列的擴展，文獻[19]提出了廣義Thue-Morse模型，并發(fā)現(xiàn)電子能譜具有自相似性?；谶@種數(shù)學序列，筆者引入了一類與Thue-Morse波帶片相似的新型光學元件——廣義Thue-Morse波帶片，并對該類型波帶片的軸向聚焦特性和衍射圖樣進行了理論研究。

1 廣義Thue-Morse 波帶片的構造

以S0=A作為初始序列元素，然后依據(jù)替代規(guī)則：

A→AnBmB→BmAn(n,m=1,2,3,…)

可以依次得到各級廣義Thue-Morse二值序列。n與m可取任意整數(shù)，取值不同，對應的二值序列也不同。

考慮一般情況，前3級二值序列可表示如下，其他級次以此類推:

下面以n=1、m=2時對應的廣義Thue-Morse二值序列為例分析廣義Thue-Morse波帶片的構造方法。當n=1、m=2時，替代規(guī)則變更為A→AB2,B→B2A，對應的前3級Thue-Morse序列如下：

S0=A

S1=ABB

S2=ABBBBABBA

S3=ABBBBABBABBABBAABBBBABBAABB

(1)

(2)

第i級廣義Thue-Morse二值非周期性序列的字母(A/B)按照上述方法由內(nèi)向外依次映射到波帶片圓面上，每一個字母對應圓面上的一個環(huán)帶，其中字母A代表相應的環(huán)帶對光是透明的，字母B代表相應的環(huán)帶對光是不透明的。圖1展示了基于n=1、m=2的廣義Thue-Morse二值序列的第1級所構造的波帶片，為了直觀展示該類形波帶片結構，圖2是與圖1所示波帶片具有相同分辨率的菲涅耳波帶片。

2 軸向衍射特性

筆者利用菲涅耳近似公式計算單色平面波照射廣義Thue-Morse波帶片后的軸向強度分布[20]，如式(3)所示：

(3)

2.1 軸向強度分布

為了展示廣義Thue-Morse波帶片的軸向強度分布，取n=1，m=2的廣義Thue-Morse非周期性二值序列的第1級、第2級、第3級，并按照上述波帶片的構造方法產(chǎn)生相應的波帶片。計算得到的軸向強度分布分別如圖3(a)～(c)所示，作為對比，圖4(a)～(c)展示了相同分辨率的菲涅耳波帶片的軸向強度分布。對比發(fā)現(xiàn)，相比于傳統(tǒng)的菲涅耳波帶片，廣義Thue-Morse波帶片的焦點分居在相應菲涅耳波帶片的主焦點兩側且具有更大的焦深，焦點數(shù)目也更多。

2.2 軸向自恢復特性

以基于n=1、m=2的第4級廣義Thue-Morse二值序列的波帶片為例，討論該類型波帶片的軸向強度自恢復特性。選取波帶片軸向距離z= 0.2795、0.3056、0.3248m這3個位置，各個位置處的軸向橫截面強度分布如圖5所示。在軸向距離z=0.2795m處放置障礙物，圖6顯示了放置障礙物后，軸向距離z=0.2795、0.3056、0.3248m處的軸向橫截面強度分布?？梢钥吹剑胖谜系K物的位置中心強度基本為零，但是短距離自由傳播后該波帶片軸向強度分布基本恢復到?jīng)]有障礙物存在時候的情況，這表明廣義Thue-Morse波帶片的軸向強度在遇到障礙物時候自重建特性較好。

3 多色聚焦特性

廣義Thue-Morse波帶片具有較多對稱性的焦點，可廣泛應用于成像領域，筆者對該類型波帶片在多種波長光照射下的成像性能進行了分析。

基于方程(4)與(5)可以計算波帶片相應的三刺激值和色度坐標。在方程(4)中，I(z，λ)是軸向照度,S(λ)是光譜分布,(x,y,z)代表色度坐標。廣義Thu-Morse波帶片及相應的菲涅耳波帶片的軸向照度與色度坐標可以分別通過方程(4)與(5)計算得到：

(4)

(5)

以基于n=1、m=2的第4級廣義Thue-Morse二值序列的波帶片為例，并采用3種不同波長(λ=450、550、650nm)對該類型波帶片的成像性能進行分析。在不同波長(λ=450、550、650nm，分別對應藍色、綠色、紅色)照射下該波帶片主焦點周圍的多個次焦點之間存在更多重疊，如圖7(a)所示；在相同情況下，具有相同分辨率的菲涅耳波帶片的焦點不會交疊，如圖8(a)所示。在重疊位置處該類波帶片成像的色差相對于傳統(tǒng)的菲涅耳波帶片較低。圖7(b)、8(b)分別顯示了該廣義Thue-Morse波帶片與相同級次的菲涅耳波帶片的軸向照度。圖7(b)中的空心圓表示廣義Thue-Morse波帶片的2個主焦點位置，圖8(b)中空心圓代表菲涅耳波帶片的主焦點位置，三角形和正方形代表照度降低至其最大值的 90%的軸向位置。圖7(c)、8(c)中，圓圈、三角形和正方形表示圖7(b)、8(b)中所示的相應部分對應的軸向坐標。圖像的色度坐標值越接近白色光源點C，圖像的色差越低。圖7(c)、8(c)表明，廣義Thue-Morse波帶片焦點的色度坐標比相同級次的菲涅耳波帶片的主焦點更接近C點。因此，廣義Thue-Morse波帶片相比傳統(tǒng)的菲涅耳波帶片具有較小的成像色差。

4 結語

基于廣義Thue-Morse二值序列構造了一種新型的廣義Thue-Morse波帶片，對該類型波帶片的軸向衍射特性做了進一步分析，結果顯示，該類型波帶片沿軸向具有多個焦點且相對于相應的菲涅耳波帶片的主焦點對稱分布。此外，該類型波帶片還被證實了其軸向強度在遇到障礙物的時候具有較好的自重建特性，這種特性在構造三維光鑷領域意義重大。另外，該類型波帶片被證實在多個波長光束照射下具有較小的色差，這個特性使得該類型波帶片在X射線衍射成像、白光域OCT、THz成像等領域有著潛在的應用。