楊梓鑫，薛源，孫暢，徐浩軍，韓欣珉

(1.西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，四川 西昌 615000；2.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，陜西 西安 710072；3.空軍工程大學(xué) 航空工程學(xué)院, 陜西 西安 710038)

0 引言

空戰(zhàn)裝備作為空中作戰(zhàn)體系的重要組成部分，合理準確地對其進行效能評估不僅可以反映武器裝備實際使用效果，對開發(fā)論證起到輔助作用[1]，還可以推動航空裝備研制技術(shù)的不斷發(fā)展，為有關(guān)工業(yè)部門和戰(zhàn)略決策層提供參考信息，因而一直是各國裝備工作的重點[2]。但隨著當代航空裝備復(fù)雜度和空戰(zhàn)信息化程度的不斷提升，評估數(shù)據(jù)也逐漸呈現(xiàn)出非線性、多維性和耦合性等特征[3-4]。

針對評估數(shù)據(jù)的非線性特征，當前主流處理方法是以經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)理論將其簡化至線性問題后進行求解，此種方法在數(shù)據(jù)量較大時會導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的波動性較大，對評估結(jié)構(gòu)中的多動態(tài)性拓撲問題解決效果并不明顯，當預(yù)測參數(shù)發(fā)生變化時，該方法過度關(guān)注系統(tǒng)局部特征而忽略預(yù)測趨勢的缺陷開始逐漸凸顯，預(yù)測精度也隨之下降。近年來隨著人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的興起，將機器學(xué)習(xí)引入到對軍事決策的分析中，從而獲取待測裝備關(guān)鍵指標權(quán)重的方法發(fā)展迅速。劉蜻等[4]通過建立徑向基函數(shù)(RBF)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對某型裝備進行效能評估；趙日強等[5]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對裝備費用效能不能定量描述的問題進行建模分析。但上述方法僅對一維的效能評估模型有所考慮，在面對多維耦合特性的評估數(shù)據(jù)時，尚有一定局限性。

而針對多維耦合特性數(shù)據(jù)的預(yù)測方法，軍地雙方學(xué)者取得了諸多研究成果。如：運用自組織映射(SOM)網(wǎng)絡(luò)對不同型號的裝備建立了效能評估分析模型[6]；通過提出敏感閾值、敏感后坐沖量兩個評估概念建立多因素的機槍評估模型[7]；以北京市強降水頻率嘗試建立強降水致災(zāi)因素的多維變量聯(lián)合分布模型[8]。這些文獻從不同角度對多維耦合變量的預(yù)測評估問題進行了研究，但上述方法仍存在限制條件較多的問題，如需滿足獨立性假設(shè)、各變量服從相同邊緣分布、多變量的聯(lián)合分布服從正態(tài)分布或可以轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布等。

針對上述方法的缺陷，本文提出了一種基于Elman人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與Copula函數(shù)模型相結(jié)合的空戰(zhàn)裝備效能評估模型。針對現(xiàn)代化空中作戰(zhàn)的特點，將空戰(zhàn)過程劃分為超視距和視距內(nèi)兩個階段，并以此在文中構(gòu)建了空戰(zhàn)裝備效能評估指標體系。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別對二者趨勢進行預(yù)測后，針對其間的強耦合關(guān)系，運用Copula函數(shù)模型對變量間相關(guān)性結(jié)構(gòu)進行構(gòu)造，最終建立了空戰(zhàn)裝備效能的聯(lián)合分布模型。并以Quantile Scoring(Q-S)方法和Central probability interval(CPI)指標為依據(jù)將本文提出的預(yù)測方法與傳統(tǒng)方法進行對比，模型較原始方法精度有所提高，且無需對邊緣分布類型加以限制，對武器裝備效能的評估問題具有一定的參考價值，可為裝備組合及新裝定型提供分析和檢驗依據(jù)。

1 空戰(zhàn)裝備效能的邊緣分布預(yù)測模型

1.1 空戰(zhàn)裝備效能的指標體系構(gòu)建

本文空戰(zhàn)裝備效能指標體系以系統(tǒng)效能作為主要評估依據(jù)，在眾多系統(tǒng)效能的評估分析方法中，選用20世紀60年代武器系統(tǒng)效能工業(yè)咨詢委員會(WSEIAC)為美國空軍量身定制的效能計算方法[9]，該方法規(guī)定系統(tǒng)效能E可以看作是可用性A，可靠性D以及系統(tǒng)能力C的函數(shù)：

E=A·D·C.

(1)

由于該方法透明性好，便于計算與理解等的特點，因此本文選取ADC法作為后續(xù)分析和評估的依據(jù)。

1.1.1 可用性A

可用性是對裝備工作時間進行描述的特征參數(shù)，根據(jù)實際情況的不同有著不同的度量方式。使用可用性Ao對固有可用性和可達可用性進行了綜合考慮，可以較好地反映航空裝備在實際使用條件下的可用程度，故文中選用，其表達式如下：

(2)

式中：TBF為平均故障間隔時間；TTR為平均修復(fù)性維修時間；TMD為平均延誤時間。

1.1.2 可靠性D

可信度是某一時間間隔內(nèi)，任務(wù)成功的條件概率矩陣，即

(3)

式中：dij表示任務(wù)開始時裝備處于i狀態(tài)，經(jīng)過預(yù)期任務(wù)時間裝備處于j狀態(tài)的概率，i,j=1,2,…,n.

由于航空裝備任務(wù)期間一般是無法維修的，即任務(wù)維修度為0. 因此可認為此時可信度就是任務(wù)可靠性，即

(4)

式中：t為本次任務(wù)執(zhí)行時間。

1.1.3 系統(tǒng)能力C

系統(tǒng)能力是裝備在給定的條件下，達成任務(wù)目標的概率矩陣，即

C=[c1,c2,…,ci,…,cn]T，

(5)

式中：ci表示裝備處于i狀態(tài)時達成任務(wù)目標的概率。

現(xiàn)代化的空中作戰(zhàn)是敵我雙方在各自地面指揮所、空中預(yù)警指揮部、電子信息干擾機等模塊所提供的信息和火力支援下，由多機群聯(lián)合開展的作戰(zhàn)行動[10]。本文研究對象以航空兵部隊中殲擊機、殲擊轟炸機、殲擊直升機等攻擊型裝備為主，所承擔任務(wù)主要包括攔截敵空中飛行目標、保衛(wèi)地面(海面)目標、與敵升空攔截我方的殲擊機進行空戰(zhàn)、掩護對地攻擊飛機的突防等。構(gòu)建的效能評估指標體系以裝備的機動性、殺傷性、電磁對抗性等攻擊性指標為主。

縱觀當前空戰(zhàn)模式，主要以超視距和視距內(nèi)作為主流作戰(zhàn)劃分階段。作戰(zhàn)過程變化催生了體系對抗強度增大、空戰(zhàn)節(jié)奏加快、機動性需求俱增、電磁對抗程度趨于白熱化等特點[11]?；诖耍疚膶⒖諔?zhàn)裝備效能指標體系細化為超視距打擊能力和視距內(nèi)作戰(zhàn)能力。

超視距打擊能力應(yīng)具備以下4點特征：

1)空- 空導(dǎo)彈具備一定的超視距殺傷力；

2)機載雷達應(yīng)具備一定的電子對抗性；

3)載機信息系統(tǒng)應(yīng)具備從外部獲得信息支援的能力；

4)載機具備良好的隱身性。

視距內(nèi)作戰(zhàn)能力具備以下3點特征：

1)近距武器具備較強的殺傷力，能夠達到快速瞄準的目的；

2)載機具備一定的抗擊打能力；

3)作戰(zhàn)飛機具備較為優(yōu)秀的機動性，可在極限狀態(tài)下擺脫敵方。

綜上所述，本文所構(gòu)建的空戰(zhàn)裝備效能指標體系如圖1所示。

1.2 空戰(zhàn)裝備體系能力指標項計算

結(jié)合戰(zhàn)場環(huán)境仿真與信息化空中對抗體系的仿真模型與武器裝備的試驗數(shù)據(jù)，共提取得到10 000組數(shù)據(jù)(圖1中的最底層戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標數(shù)據(jù))。通過不同方法定量計算(評估)得出超視距殺傷力、電子對抗能力、態(tài)勢感知能力、隱身性、近距離火力參數(shù)、生存性和敏捷性共7項指標能力的結(jié)果，限于篇幅原因，在此以超視距打擊能力為例對文中計算(評估)過程進行說明。

超視距狀態(tài)下的空戰(zhàn)裝備以中遠距離空- 空導(dǎo)彈為主，需要在導(dǎo)彈動力裝置、制導(dǎo)系統(tǒng)和戰(zhàn)斗部的共同作用下達到毀傷效果。由于中遠程導(dǎo)彈主要遵循“先敵發(fā)現(xiàn)，先敵打擊”的攻擊原則，在普通空- 空導(dǎo)彈的火力計算模型基礎(chǔ)上，本文還對導(dǎo)彈的最大實際射程和導(dǎo)彈制導(dǎo)類型進行了考慮，計算公式如(6)式所示。

(6)

式中：nm為同類中遠程導(dǎo)彈掛點數(shù)量；ΔH為允許發(fā)射的總高度差；Ps為單發(fā)彈殺傷概率；Aatt為發(fā)射包線總攻擊角；amax為導(dǎo)彈最大過載；ωmax為導(dǎo)彈最大跟蹤角速度；Aoff為超前及滯后離軸角之和；nc為同類導(dǎo)彈掛載數(shù)量；T為導(dǎo)彈制導(dǎo)的可操作程度，導(dǎo)彈制導(dǎo)類型按照操縱類型可分為主動和半主動兩類，主動彈T取1.2～1.5，半主動彈T=1.0.

由于空戰(zhàn)裝備的效能評估工作是對底層指標的綜合評估，圖1中第3層的指標能力評估(計算)結(jié)果，均可由最底層指標通過不同方法定量得出，在此不再贅述。同時，為確保各底層指標項在單位和采樣上的差別不會對信息在轉(zhuǎn)移和匯聚過程中造成影響，本文計算(評估)所得的效能指標能力值均為標量，以此最大限度保證所得結(jié)果不會受到由于數(shù)據(jù)單位和評估方式的不同對信息造成的嚴重損失，同時也為后續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入端口統(tǒng)一了標準，降低了由于聚合方法不同導(dǎo)致聚合結(jié)果的差異，進而影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練效果。表1及表2給出了部分樣本數(shù)據(jù)集。

1.3 基于Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的效能邊緣分布預(yù)測結(jié)果

人工Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種典型的局部回歸網(wǎng)絡(luò)模型，它在逆向傳播(BP)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過存儲內(nèi)部狀態(tài)具備了映射動態(tài)特征的功能，從而使系統(tǒng)具有一定的變特性能力[12]。其主要結(jié)構(gòu)包括輸入層、結(jié)構(gòu)層、隱含層和輸出層。隱含層的作用是反饋連接層神經(jīng)元信號并接受輸入層神經(jīng)元的輸入，結(jié)構(gòu)層則可以儲存之前隱含層神經(jīng)元的輸出[13]。與其他人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以結(jié)構(gòu)層為基礎(chǔ)形成的局部反饋效果可以記憶過去的狀態(tài)，并在下一時刻與輸入層一同作為隱含層的輸入，因此對于動態(tài)非線性系統(tǒng)具有較強的適應(yīng)性。此外，Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反饋機制使得較少的系統(tǒng)輸入對預(yù)測結(jié)果影響并不明顯，每一層的輸入為上層節(jié)點的加權(quán)和，因此可以減少網(wǎng)絡(luò)輸入層的單元數(shù)，其結(jié)構(gòu)如圖2所示，其中：k為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的迭代次數(shù)，k=1,2,3,…,K；y(k)為輸出層m維的輸出向量；x(k)為n維中間層節(jié)點的單元向量；u(k)為r維輸入向量；ω1、ω2、ω3則分別為結(jié)構(gòu)層與隱含層，輸入層與隱含層、隱含層與輸出層之間的連接權(quán)值矩陣。預(yù)測流程步驟如圖3所示。

圖1 空戰(zhàn)裝備效能評估指標體系Fig.1 Effectiveness evaluation index system of air combat equipment

表1 超視距樣本數(shù)據(jù)集

表2 目視內(nèi)樣本數(shù)據(jù)集Tab.2 Visual sample data set

圖2 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structural chart of Elman neural network

圖3 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測步驟圖Fig.3 Flow chart of Elman neural network prediction

Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性狀態(tài)空間表達式如(7)式所示：

(7)

式中：xc為n維反饋狀態(tài)向量；g(*)為輸出層神經(jīng)元的傳遞函數(shù)，可看作是隱含層的線性組合輸出；f(*)為神經(jīng)元的傳遞函數(shù)。權(quán)值的修正采用BP算法進行，學(xué)習(xí)指標采用的誤差平方和函數(shù)如(8)式所示：

(8)

對表1和表2中數(shù)據(jù)進行歸一化處理后，以前2 000組數(shù)據(jù)作為超視距打擊能力和視距內(nèi)作戰(zhàn)能力的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其中超視距打擊能力的輸入端為4，輸出端為1；視距內(nèi)作戰(zhàn)能力的輸入端為3，輸出端為1；通過設(shè)定隱含層神經(jīng)元個數(shù)、訓(xùn)練函數(shù)以及指定延遲，得出二者的Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練模型。需要說明的是，由于底層指標采樣結(jié)果單位不同的原因，難以將底層指標直接作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入項，故未選用其作為網(wǎng)絡(luò)的輸入項指標進行訓(xùn)練，而是通過計算(評估)后將結(jié)果轉(zhuǎn)化為標量。以該模型對余下8 000組數(shù)據(jù)進行預(yù)測分析，分別得到了超視距打擊能力R及目視內(nèi)作戰(zhàn)能力S的模型預(yù)測值(下文簡稱R值和S值)，選取部分如表3所示。以二者預(yù)測結(jié)果為基礎(chǔ)，結(jié)合任務(wù)過程中裝備的可靠性和可用性，計算得出的該型武器裝備超視距和視距內(nèi)的系統(tǒng)效能值，數(shù)據(jù)散點圖如圖4所示。

圖4 超視距- 目視內(nèi)模型預(yù)測值散點圖Fig.4 Predictive scatter plots of over horizon-intra visual model

觀察散點圖數(shù)據(jù)分布，發(fā)現(xiàn)R值與S值呈現(xiàn)出一定的正相關(guān)性，這種非線性變量間的相關(guān)程度，通?？捎蒏endall秩相關(guān)系數(shù)τ進行描述[14]。表3中第4列列出了以Kendall秩相關(guān)系數(shù)對“R”、“S”二者預(yù)測值之間的相關(guān)系數(shù)評價，計算公式如(9)式所示：

τ=P[(X1-X2)(Y1-Y2)<0]-
P[(X1-X2)(Y1-Y2)>0]，

(9)

式中：(X1,Y1)和(X2,Y2)為分別為獨立同分布的隨機變量，P[(X1-X2)(Y1-Y2)>0]為X和Y相一致的概率，說明X和Y的單調(diào)性相同；P[(X1-X2)(Y1-Y2)<0]為X和Y不一致的概率，說明了X和Y的單調(diào)性反向。Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ不隨X和Y的邊緣分布單調(diào)性的變化而變化。

表3 部分預(yù)測值及其相關(guān)系數(shù)Tab.3 Partial predicted values and correlation coefficients

當τ>0時，X1和X2呈正相關(guān)；當τ<0時，X1和X2呈負相關(guān)；當τ=0時，X1和X2的相關(guān)性不能確定，需要借助其他方法判斷。通過觀察表3中的相關(guān)系數(shù)τ，發(fā)現(xiàn)R值和S值之間存在明顯的正相關(guān)性，忽略這種相關(guān)性將使得所構(gòu)建的評估模型精度大幅降低，難以推廣使用。

2 Copula函數(shù)模型的擇優(yōu)

通過上文所述，由于R值和S值之間具有的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，使得一維模型的整體構(gòu)建方式并不能照搬到多元情形中去，主要原因是多維變量的聯(lián)合分布除了與邊緣分布有關(guān)之外，更重要的是與變量間相關(guān)性密切相關(guān)。對多變量聯(lián)合分布模型進行建模的最關(guān)鍵步驟就是構(gòu)造變量間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，如近些年比較流行的支持向量機模型，其實質(zhì)就是構(gòu)造二維變量相關(guān)性的核函數(shù)，本文選用的Copula函數(shù)亦是采用同樣的思維方式。在判斷出變量之間明顯的相關(guān)性后，本文采用Copula函數(shù)模型的主要建模分析步驟如下及圖5所示，圖5中，A-D法為Anderson-Dareling檢驗法，Q-Q圖檢驗法為Quantiles-Quantiles檢驗法。

步驟1對數(shù)據(jù)模型間的相關(guān)性進行計算；

步驟2判斷邊緣分布類型；

步驟3列舉適當?shù)腃opula函數(shù)備選；

步驟4對Copula函數(shù)進行未知參數(shù)估計；

步驟5對Copula函數(shù)模型進行擬合優(yōu)度檢驗；

步驟6繪制變量的聯(lián)合分布模型；

步驟7結(jié)合優(yōu)度檢驗結(jié)果和數(shù)據(jù)分布情況，選取最優(yōu)Copula函數(shù)模型。

圖5 Copula函數(shù)模型的擇優(yōu)步驟圖Fig.5 Construction flow chart of Copula function model

2.1 二元Copula函數(shù)模型

Copula函數(shù)作為一種分析函數(shù)相關(guān)性并進行多元統(tǒng)計的處理方法，可以看作是一種連接一元邊緣分布和其多元聯(lián)合分布的特殊函數(shù)。

依據(jù)Sklar定理[15]可知，若F為具有連續(xù)邊緣分布F1(x1),F2(x2),…,FN(xN)的聯(lián)合概率分布函數(shù)，則存在一個唯一的Copula函數(shù)C，滿足

F(x1,x2,…,xN)=C(F1(x1),F2(x2),…,FN(xN))，

(10)

式中：C為與F1(x1),F2(x2),…,FN(xN)對應(yīng)的Copula函數(shù)。同理，通過Copula函數(shù)C的概率密度函數(shù)c和邊緣分布F1(x1),F2(x2),…,FN(xN)可以求出N元分布函數(shù)F(x1,x2,…,xN)的概率密度函數(shù)：

(11)

式中:f(x1,x2,…,xN)是邊緣分布F1(x1),F2(x2),…,FN(xN)的概率密度函數(shù)。通過(10)式，Copula函數(shù)可以在不對各變量邊緣分布加以限制條件下求得變量的多維聯(lián)合分布，且對非線性、非對稱性的變量預(yù)測具有良好適應(yīng)性，使得構(gòu)建多維概率模型的建模與相關(guān)性分析可以分開進行，建模難度大大降低。

2.2 邊緣分布類型的判斷

首先篩選5種具有代表性的一維分布類，分別為標準正態(tài)分布、指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布和伽馬分布。以上文的Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)效能預(yù)測結(jié)果，采用A-D檢驗法與Q-Q圖檢驗法相結(jié)合的方法對上述5種待選分布類型的形狀參數(shù)、尺度參數(shù)和位置參數(shù)進行擬合[16]，判斷邊緣分布類型。

A-D檢驗法的計算公式如(12)式所示。

(12)

式中：K為樣本數(shù)量；GK(x)為經(jīng)驗頻率分布；G(x)為待驗函數(shù)的分布形式；ω(x)為權(quán)重函數(shù)，計算公式為

ω(x)=[G(x)(1-G(x))]-1.

(13)

A-D檢驗法擬合結(jié)果的優(yōu)度檢驗值如表4、表5所示，表中P值為當原假設(shè)為真時所得到的樣本觀察結(jié)果或更極端結(jié)果出現(xiàn)的概率：P值越大表示擬合程度越高；當P值越小，拒絕原假設(shè)的理由越充分，即說明該種分布越不適于擬合樣本的數(shù)據(jù)。

表4 超視距樣本擬合優(yōu)度檢驗值Tab.4 Goodness of fit test value R

表5 目視內(nèi)樣本擬合優(yōu)度檢驗值Tab.5 Goodness of fit test value S

由于標準正態(tài)分布與威布爾分布的A-D檢驗值均高于其他分布，通過Q-Q圖繼續(xù)對比仿真數(shù)據(jù)和待選分布的擬合度。理論上，當二者的分位數(shù)分布大致相似時，Q-Q圖應(yīng)為一條直線，反之當仿真數(shù)據(jù)分位數(shù)與中心線偏離較大時，則表明所選分布與仿真數(shù)據(jù)并不匹配。圖6和圖7中：威布爾分布的比例參數(shù)為1.3，形狀參數(shù)為5.2；威布爾分布相比于標準正態(tài)分布而言，對于與仿真數(shù)據(jù)的分位數(shù)擬合度更勝一籌，亦表明二者有著近似相同的分布類型。

圖6 超視距打擊能力與威布爾分布、標準正態(tài)分布 的Q-Q檢驗擬合圖Fig.6 Q-Q fitting test chart of R and Weibull distribution and normal distribution

圖7 目視內(nèi)作戰(zhàn)能力與威布爾分布、標準正態(tài)分布 的Q-Q檢驗擬合圖Fig.7 Q-Q fitting test chart of S and Weibull distribution and normal distribution

為保證所選邊緣分布類型的正確性，繼續(xù)做出樣本分布的概率密度圖，同時畫出威布爾分布、對數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布3種分布的概率密度曲線，擬合結(jié)果如圖8和圖9所示。通過圖8和圖9觀察發(fā)現(xiàn)威布爾分布對二者的擬合結(jié)果最為準確，這也驗證了Q-Q圖和A-D檢驗法結(jié)論的正確性。

圖8 3種分布樣式在超視距的概率密度擬合圖Fig.8 Fitting map of probability densities for three distribution patterns and value R

圖9 3種分布樣式在目視內(nèi)的概率密度擬合圖Fig.9 Fitting map of probability densities for three distribution patterns and value S

綜上所述，可以得出空戰(zhàn)裝備效能指標體系中的二級子式均符合威布爾分布的結(jié)論。

2.3 Copula函數(shù)模型的擇優(yōu)

針對2.2節(jié)判斷所得的邊緣分布類型，選取5類常見Archimedean Copula函數(shù)，分別為Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)、T-Copula函數(shù)、Frank Copula函數(shù)和Joe Copula函數(shù)，具體見表6.

5種Copula函數(shù)模型中，選取基于最大似然函數(shù)的AIC準則、貝葉斯信息BIC準則、χ2檢驗以及K-S檢驗4種方法對函數(shù)進行擬合優(yōu)度檢驗[17]，具體結(jié)果見表7.

4種判別準則中，AIC和BIC準則的判別原理基本相似，均是利用Copula函數(shù)的似然函數(shù)作為判斷擬合效果優(yōu)劣的依據(jù)，待判定Copula函數(shù)的AIC值和BIC值越小，就越符合原始樣本數(shù)據(jù)。

表6 本文所用到的Archimedean Copula函數(shù)Tab.6 Archimedean Copula function used in the present paper

表7 不同Copula模型的擬合優(yōu)度檢驗Tab.7 Goodness of fittest values of different Copulafunctions

假設(shè)(x1,y1),…,(xK,yK)是極值樣本，F(xiàn)1和F2是邊緣分布函數(shù)，記ui=F1(xi)，vi=F2(yi)，i=1,…,K. AIC和BIC公式如(14)式和(15)式所示，待測Copula函數(shù)如(10)式所示，其中kC表示Copula模型中未知參數(shù)的數(shù)目。

(14)

(15)

(16)

式中：p為概率。

χ2檢驗法的公式為

(17)

式中：Oi表示極值樣本點xi的觀測累積概率；Ei是由具體分布函數(shù)求出的xi的期望累計概率，極值樣本點按照升序排列x1

K-S檢驗法的基本思路是通過計算比較極值樣本點的經(jīng)驗概率與理論概率的差值來判斷擬合優(yōu)度[18]，統(tǒng)計量公式為

(18)

式中：DK為Kolmogorov統(tǒng)計量[19]。根據(jù)所提取的數(shù)據(jù)樣本，求得取值范圍內(nèi)的HK(x)與H0(x)，而后計算統(tǒng)計量DK，并以樣本容量K和顯著性水平α，查詢DK(α)；通過對比二者之間的關(guān)系，即可得出對原假設(shè)接受或拒絕的結(jié)論。

表7中，5種Copula函數(shù)模型的K-S檢驗P值均大于0.05，表明在95%置信水平下，5種模型均能滿足要求。繼續(xù)觀察，發(fā)現(xiàn)T-Copula函數(shù)模型的AIC準則、BIC規(guī)則最小，由于這兩種準則的判別原理是以Copula函數(shù)的似然函數(shù)為優(yōu)劣依據(jù)，因而其值越小，表明模型越符合原始樣本數(shù)據(jù)，擬合精度越高。而T-Copula函數(shù)的χ2值和K-S檢驗值最小也同樣印證了相比于其他Copula模型,T-Copula模型對變量分布的描述精度最高。

3 空戰(zhàn)裝備效能的多維聯(lián)合分布模型

3.1 基于Copula函數(shù)的空戰(zhàn)裝備效能聯(lián)合分布

通過觀察，表6中所列Copula函數(shù)均含有未知參數(shù)θ，在構(gòu)建基于Copula函數(shù)的聯(lián)合分布模型前，務(wù)必對未知參數(shù)θ值進行估計。本文采用極大似然估計(MLE)方法[20]對參數(shù)θ進行估計，MLE可根據(jù)分布函數(shù)的概率密度導(dǎo)數(shù)構(gòu)建對數(shù)似然函數(shù)，如(19)式所示，而后通過求解對數(shù)似然函數(shù)的最值來計算未知參數(shù)的估計值。為進一步對2.3節(jié)結(jié)論進行驗證，表8中列出了上述5種Copula函數(shù)對參數(shù)θ的擬合結(jié)果。

(19)

圖10 5種Copula函數(shù)的效能體系分布圖及T-Copula函數(shù)的等高線圖Fig.10 Five copula function probability density maps and T-Copula function contour maps

基于表8中對參數(shù)θ的估值，做出了基于5種Copula函數(shù)的空戰(zhàn)裝備效能聯(lián)合分布圖，如圖11(a)～圖11(e)所示。其中U和V分別是超視距打擊能力和目視內(nèi)作戰(zhàn)能力預(yù)測值，Z是所需預(yù)測的裝備效能的聯(lián)合預(yù)測值。

表8 5種Copula函數(shù)的參數(shù)θ估計值Tab.8 Parameter θ estimates of five Copula functions

圖10中，T-Copula函數(shù)所具備的厚尾特性使得其能夠較好捕捉到二者在尾部的相關(guān)性關(guān)系，等高線圖10(f)中的數(shù)字表示該點裝備效能的聯(lián)合預(yù)測值，由于等高線同線等高的特點，其疏密程度反映了坡度的陡緩情況，亦與圖10(e)以及圖4中散點圖的數(shù)據(jù)分散情況相一致。其余4種Copula函數(shù)中：Gumbel Copula函數(shù)對左右數(shù)據(jù)尾部特征的描述能力并不一致，右側(cè)數(shù)據(jù)的描述能力明顯優(yōu)于左側(cè)，這與圖4中散點圖的數(shù)據(jù)分布相悖；Clayton Copula函數(shù)反映左側(cè)尾部數(shù)據(jù)特征描述效果較好，但對右側(cè)尾部數(shù)據(jù)特征卻幾乎不具備描述能力；Joe Copula函數(shù)對右尾數(shù)據(jù)特征描述較好，但幾乎沒有對左尾數(shù)據(jù)的描述能力；Frank Copula函數(shù)具備對中心分布數(shù)據(jù)的描述能力，但由于其尾部相關(guān)系數(shù)為0，更加適合尾部相關(guān)性為0的數(shù)據(jù)，故與本文數(shù)據(jù)特征不符，均排除。

綜上所述，T-Copula函數(shù)模型能夠較為準確的描述變量間相關(guān)性特征，基于此所構(gòu)建的效能分布圖與表7中擬合優(yōu)度檢驗結(jié)果相吻合，與圖4中散點圖數(shù)據(jù)分布相一致，故可得出選擇T-Copula函數(shù)模型作為空戰(zhàn)裝備效能預(yù)測分布的描述模型較為合理的結(jié)論。

3.2 聯(lián)合分布模型的指標評估

聯(lián)合分布模型的優(yōu)劣評價指標通常包括預(yù)測的準確度、銳度等。為驗證模型的準確性，采用概率統(tǒng)計中常用的Q-S方法[21]和Central CPI指標[22]對模型進行評價。評價維度主要包括預(yù)測的校準性(用來評價預(yù)測分布的形狀與實際概率分布的近似程度)、銳度(用來評價預(yù)測概率的集中分布程度)等，原理大致如下。

3.2.1 Q-S方法

通過目標聯(lián)合概率分布劃分為99個分位點并計算得出該點的預(yù)測值和實際值，可以得出該方法的關(guān)鍵指標Q(wi,zi)，它表示了模型預(yù)測值與實際值間的誤差，具體表達式為

(20)

式中：wi(i=1，2，3,…,99)為第i個分位點的實際值；zi為該對應(yīng)點的理論值。

當預(yù)測的區(qū)間中未能包含理論值zi時，分位點的實際值wi與理論值zi差距也會增大，評價指標Q(wi,zi)會隨之升高。當實際值wi的置信區(qū)間過大時，雖然能將實際值包含在內(nèi)，但由于在區(qū)間內(nèi)大多數(shù)實際值wi和理論值zi都會有一定距離，因此評價指標Q(wi,zi)也會升高。

綜上所述，Q(wi,zi)的值越小說明預(yù)測值和實際值越近，預(yù)測精度越高。

3.2.2 CPI指標

指標連續(xù)分級概率評分可用于檢驗連續(xù)變量概率預(yù)測中的連續(xù)性，具體定義如下：

(21)

式中：H(F,zi)的值越小，預(yù)測結(jié)果越精確。

表9中將本文所提方法與經(jīng)驗分布法、參數(shù)估計法等傳統(tǒng)預(yù)測方法以及效能評估中所常用的SEA計算法進行對比驗證，運用Q-S方法和CPI指標對4種方法進行評估。其中SEA方法是美國麻省理工學(xué)院信息與決策系統(tǒng)實驗室所提出的一種系統(tǒng)效能分析方法。該方法的核心思想是通過確定兩個系統(tǒng)的屬性空間，其中一個是原始參數(shù)映射的屬性空間，另一個是由原始參數(shù)映射的屬性空間。對系統(tǒng)能力和使命要求在相同的使命空間進行相互比較，由此計算出系統(tǒng)的效能值。表10展示了4種不同方法在85%和95%置信水平下的置信區(qū)間。

表9 概率預(yù)測評估結(jié)果Tab.9 Evaluated results of probability prediction

表10 預(yù)測區(qū)間平均寬度Tab.10 Average width of prediction intervals

3.3 指標評估結(jié)果分析

觀察表9發(fā)現(xiàn)，無論是采用Q-S方法還是CPI指標，本文所提方法在4種方法中評價值均為最小值，即預(yù)測精度最高。而觀察表10，本文方法在85%及95%置信區(qū)間下的寬度均為最窄，同樣優(yōu)于其他預(yù)測方法。綜上所述，可得出本文所提方法所構(gòu)建的空戰(zhàn)裝備效能預(yù)測模型精度高于其他方法的結(jié)論。

4 結(jié)論

本文針對傳統(tǒng)裝備效能評估模型對多維變量間相關(guān)性構(gòu)造困難、聯(lián)合分布對邊緣分布限制過多、非線性數(shù)據(jù)擬合能力弱等問題進行研究分析，充分利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對非線性數(shù)據(jù)的良好擬合性以及統(tǒng)計學(xué)中常用Copula函數(shù)對變量間耦合性描述的優(yōu)勢，較為準確地構(gòu)造了多維裝備效能評估模型，并通過統(tǒng)計學(xué)中Q-S值和CPI值對模型精度進行檢驗，得出以下結(jié)論：

1)綜合考慮效能評估指標體系的多方面因素，對現(xiàn)有空戰(zhàn)武器裝備的評估指標進行篩選，凸顯現(xiàn)代化的空中作戰(zhàn)特點，構(gòu)建了分層級的空戰(zhàn)裝備效能指標體系，對效能評估領(lǐng)域的其他工作具有一定借鑒意義。

2)針對信息化條件下空戰(zhàn)過程中的不確定性和非線性特點，引入對非線性數(shù)據(jù)預(yù)測具有良好效果的Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，同時利用其動態(tài)反饋機制，構(gòu)建了在較少的系統(tǒng)輸入狀態(tài)下能夠有效工作的4層Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對非線性數(shù)據(jù)的預(yù)測評估工作具有一定促進作用。

3)針對傳統(tǒng)分析方法中對二維變量相關(guān)性描述不足且困難的問題，將統(tǒng)計學(xué)中常用的Copula函數(shù)引入武器裝備的效能評估中，利用其在構(gòu)建聯(lián)合分布模型時無需限定邊緣分布類型這一特點，較為便捷地構(gòu)造了效能指標間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)。

4)將傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法與多元Copula函數(shù)相結(jié)合，提出了一種具有較強適應(yīng)性和較高精度的武器裝備效能聯(lián)合分布模型構(gòu)造方法，通過對比模型概率圖與仿真數(shù)據(jù)的散點圖，二者分布基本相似，驗證了模型的合理性。

5)采用概率預(yù)測中常用的Q-S方法和CPI指標對模型的優(yōu)劣進行評估，并以經(jīng)驗分布、參數(shù)估計正態(tài)分布和效能評估中常用的SEA方法等4種方法作為對照組。通過計算，本文所用方法的Q(wi,zi)值和H(FC,zi)值均低于傳統(tǒng)預(yù)測方法，而在同等置信水平的前提下本文方法的平均置信區(qū)間為4種方法中最窄，說明本文方法在精度上均優(yōu)于傳統(tǒng)預(yù)測方法。

下一步的研究工作將進一步完善指標體系的規(guī)模，擴大數(shù)據(jù)獲取渠道。并在此基礎(chǔ)上，適度增加Copula函數(shù)的選擇范圍，構(gòu)建更加完善的評估模型。