張傳美, 孟旭東

(南昌航空大學(xué)科技學(xué)院 文理學(xué)部, 南昌 330034)

集值向量均衡問題在最優(yōu)控制和經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 目前, 關(guān)于集值向量均衡問題的研究已取得許多成果[1-18]： Huang等[1]研究了含參隱向量均衡問題解集映射的連續(xù)性; Chen等[2]在拓?fù)湎蛄靠臻g中給出了含參集值弱向量均衡問題解映射連續(xù)性定理; 在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上, 借助標(biāo)量化技巧, Chen等[3]討論了含參廣義向量均衡問題解集映射的下半連續(xù)性; Chen等[4]在實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g中得到了含參弱向量均衡問題各種真有效解集映射的連續(xù)性定理; Peng等[5-6]用標(biāo)量化方法給出了含參廣義系統(tǒng)弱有效解映射、 強(qiáng)有效解映射和全局有效解映射的下半連續(xù)性; Han等[7]在賦范線性空間中分析了一類廣義向量均衡問題弱有效解和強(qiáng)有效解下半連續(xù)的最優(yōu)條件; Xu等[8]提出了近似錐-次類凸集值映射的概念, 證明了近似錐-次類凸性是目前更廣義的凸性, 并在此條件下給出了強(qiáng)有效解的Kuhn-Tucker型最優(yōu)性條件和超有效解的Lagrange型最優(yōu)條件; Xu等[9]給出了集值映射的f-性, 并討論了含參廣義強(qiáng)向量均衡問題有效解映射下半連續(xù)性定理； 孟旭東等[10]在實(shí)Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g中討論了一類含參廣義集值向量均衡問題弱有效解與有效解映射的下半連續(xù)性, 在近似錐-次類凸條件下, 運(yùn)用標(biāo)量化方法得到了弱有效解的標(biāo)量化結(jié)果, 并在集值映射的弱f-性條件下, 得到了含參廣義集值向量均衡問題弱有效解與有效解映射下半連續(xù)性定理. 本文在文獻(xiàn)[7,9-10]的基礎(chǔ)上, 在實(shí)Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g中討論一類含參集值向量均衡問題有效解的最優(yōu)條件, 推廣了文獻(xiàn)[7,9-10]中的相關(guān)結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X,Y為實(shí)Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g,Z,W為實(shí)拓?fù)淇臻g,X,Y,Z,W中的零向量皆記為0.Y的拓?fù)鋵?duì)偶空間為Y*,Y中的閉凸點(diǎn)錐C滿足其拓?fù)鋬?nèi)部intC≠?, 錐C的共軛錐C*及C*的擬內(nèi)部C#分別定義為

C*∶={f∈Y*:f(y)≥0, ?y∈C},

C#∶={f∈Y*:f(y)>0 ,?y∈C{0}}.

記Y中非空子集D的閉包和錐包分別為cl(D)和cone(D), 且cone(D)={td:t≥0,d∈D}.

設(shè)B為凸錐C的非空凸子集, 如果C=cone(B)且0?cl(B), 則稱B為C的基. 易知,C#≠?當(dāng)且僅當(dāng)C存在基. 根據(jù)文獻(xiàn)[11]知, intC*?C#當(dāng)且僅當(dāng)intC*≠?. 設(shè)B為C的基, 定義

CΔ={f∈C#: 對(duì)任意的b∈B, 存在t>0, 使得f(b)≥t},

由凸集分離定理知,CΔ≠?, 且CΔ?C#. 又0?cl(B), 則存在f∈Y*{0}, 有r=inf{f(b):b∈B}>f(0)=0. 因此VB={y∈Y: |f(y)|

對(duì)任意零元凸鄰域U?VB,B+U為凸集且0?cl(B+U), 則CU(B)∶=cone(B+U)為點(diǎn)凸錐, 且滿足C{0}?intCU(B).

設(shè)A?X為非空子集,F:A×A→2Y{?}為集值映射,h:A×A→A為向量值映射. 考慮如下集值向量均衡問題(簡(jiǎn)稱問題(SVEP)), 存在點(diǎn)x0∈A, 使得

F(x0,h(x0,y))∩(-K)=?, ?y∈A,

其中K∪{0}為Y中的凸錐. 設(shè)Λ?Z,Ω?W為非空指標(biāo)集,M:X×Λ→2X{?},F:E×E×Ω?X×X×W→2Y{?}為集值映射,h:A(Λ)×A(Λ)→A(Λ)為向量值映射. 考慮如下含參集值向量均衡問題(簡(jiǎn)稱問題(PSVEP)), 對(duì)每個(gè)(λ,μ)∈Λ×Ω, 存在點(diǎn)x0∈A(λ), 使得

F(x0,h(x0,y),μ)∩(-K)=?, ?y∈A(λ),

定義1設(shè)Λ?Z,Ω?W為非空指標(biāo)集,F:E×E×Ω?X×X×W→2Y{?}為給定的集值映射,h:A(Λ)×A(Λ)→A(Λ)為向量值映射, 對(duì)每個(gè)(λ,μ)∈Λ×Ω, 有下列定義:

1) 如果存在點(diǎn)x0∈A(λ), 使得

F(x0,h(x0,y),μ)∩(-intC)=?, ?y∈A(λ),

則稱點(diǎn)x0是問題(PSVEP)的弱有效解, 此時(shí), 將問題(PSVEP)所有弱有效解的全體記為VW(λ,μ), 則

VW(λ,μ)={x∈A(λ):F(x,h(x,y),μ)∩(-intC)=?, ?y∈A(λ)};

2) 如果存在點(diǎn)x0∈A(λ)及零點(diǎn)的鄰域U?VB, 使得

F(x0,h(x0,y),μ)∩(-intCU(B))=?, ?y∈A(λ),

則稱點(diǎn)x0是問題(PSVEP)的Henig有效解, 此時(shí), 將問題(PSVEP)所有Henig有效解的全體記為VH(λ,μ), 則

VH(λ,μ)={x∈A(λ):F(x,h(x,y),μ)∩(-intCU(B))=?, ?y∈A(λ)};

3) 如果存在點(diǎn)x0∈A(λ)及點(diǎn)凸錐H?Y, 滿足C{0}?intH, 使得

F(x0,h(x0,y),λ)∩(-H{0})=?, ?y∈A(λ),

則稱點(diǎn)x0是問題(PSVEP)的Global有效解, 此時(shí), 將問題(PSVEP)所有Global有效解的全體記為VG(λ,μ), 則

VG(λ,μ)={x∈A(λ):F(x,h(x,y),μ)∩(-H{0})=?, ?y∈A(λ)};

4) 如果存在點(diǎn)x0∈A(λ), 且對(duì)零點(diǎn)的每個(gè)鄰域V?Y, 都存在零點(diǎn)的鄰域U?Y, 使得

cone(F(x0,h(x0,y),μ))∩(U-C)?V, ?y∈A(λ),

則稱點(diǎn)x0是問題(PSVEP)的超有效解, 此時(shí), 將問題(PSVEP)所有超有效解的全體記為VS(λ,μ), 則

VS(λ,μ)={x∈A(λ): cone(F(x,h(x,y),μ))∩(U-C)?V, ?y∈A(λ)};

5) 對(duì)每個(gè)f∈C*{0Y*}, 如果存在點(diǎn)x0∈A(λ), 使得?y∈A(λ)及?z∈F(x0,h(x0,y),μ),f(z)≥0， 則稱點(diǎn)x0是問題(PSVEP)的f-有效解, 此時(shí), 將問題(PSVEP)所有f-有效解的全體記為Vf(λ,μ), 則

注1問題(PSVEP)有下列4種特殊情形:

3) 若Λ=Z,Ω=W,h(x,y)=y, 則問題(PSVEP)即為文獻(xiàn)[7]中分析的一類廣義向量均衡問題, 即對(duì)每個(gè)(λ,μ)∈Λ×W, 都存在點(diǎn)x0∈A(λ), 使得?y∈A(λ),F(x0,y,μ)∩(-C{0})=?, 其中A:Λ→2X{?},F:X×X×W→2Y{?}為給定集值映射;

4) 若W=Z=Λ=Ω,h(x,y)=y,λ=μ, 則問題(PSVEP)即為文獻(xiàn)[14]中討論的廣義強(qiáng)向量均衡問題, 即對(duì)每個(gè)μ∈Λ, 都存在點(diǎn)x0∈A(μ), 使得?y∈A(μ),F(x0,y,μ)?-C{0}, 其中A:Λ→2X{?},F:X×X×Λ→Y為給定向量值映射.

定義2[15]設(shè)X,Y為實(shí)Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g,G:X→2Y{?}為給定集值映射, 點(diǎn)x0∈X給定.

1) 如果對(duì)任意開集V?Y, 都滿足G(x0)?V, 且存在點(diǎn)x0的鄰域U?Y, 使得對(duì)任意的點(diǎn)x∈U, 都有G(x)?V, 則稱集值映射G在點(diǎn)x0處上半連續(xù)；

2) 如果對(duì)任意開集V?Y, 均滿足G(x0)∩V≠?, 且存在點(diǎn)x0的鄰域U?Y, 使得對(duì)任意的點(diǎn)x∈U, 都有G(x)∩V≠?, 則稱集值映射G在點(diǎn)x0處下半連續(xù)；

3) 如果集值映射G在點(diǎn)x0處既上半連續(xù)又下半連續(xù), 則稱集值映射G在點(diǎn)x0處連續(xù)；

4) 如果集值映射G在X上的每一點(diǎn)處都連續(xù), 則集值映射G在X上連續(xù).

定義3[16-17]設(shè)X,Y為實(shí)Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g,G:Λ?X→2Y{?}為給定的集值映射.

1) 如果對(duì)任意的點(diǎn)x1,x2∈Λ,λ∈[0,1], 都有

λG(x1)+(1-λ)G(x2)?G(λx1+(1-λ)x2)+C,

則稱G在Λ上為C-凸集值映射;

2) 如果存在點(diǎn)θ∈intC, 對(duì)任意的點(diǎn)x1,x2∈Λ,λ∈[0,1],α>0, 存在點(diǎn)x3∈Λ, 使得

αθ+λG(x1)+(1-λ)G(x2)?G(x3)+C,

則稱G在Λ上為近似C-次類凸集值映射, 且G在Λ上為近似C-次類凸集值映射當(dāng)且僅當(dāng)clcone(G(Λ)+C)為Y中的凸集.

注2根據(jù)定義3知, 若G在Λ上為C-凸集值映射, 則G在Λ上為近似C-次類凸集值映射. 反之不然(參見文獻(xiàn)[16]中例3.1).

(1)

則稱集值映射H在點(diǎn)x0處具有弱f-性. 如果H在每點(diǎn)x∈E處都具有弱f-性, 則稱集值映射H在E上具有弱f-性.

2) 根據(jù)定義4, 如果H在X上具有f-性, 則H在X上具有弱f-性. 但反之不然(參見文獻(xiàn)[10]中例2.1).

引理1[18]設(shè)X,Y為實(shí)Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g,G:X→2Y{?}為給定集值映射, 點(diǎn)x0∈X給定, 則下列結(jié)論成立:

1) 集值映射G在點(diǎn)x0處下半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的網(wǎng){xα}?X,xα→x0及任意的點(diǎn)y0∈G(x0), 存在點(diǎn)yα∈G(xα), 使得yα→y0.

2) 如果G為緊值的(即對(duì)每個(gè)點(diǎn)x∈X,G(x)均為緊集), 則集值映射G在點(diǎn)x0處上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的網(wǎng){xα}?X,xα→x0及任意的點(diǎn)yα∈G(xα), 存在點(diǎn)y0∈G(x0)和子網(wǎng){yβ}?{yα}, 使得yβ→y0.

2 下半連續(xù)性

引理3設(shè)B為C的基, 對(duì)每個(gè)(λ,μ)∈Λ×Ω及點(diǎn)x∈A(λ),F(x,h(x,·),μ)在A(λ)上近似C-次類凸, 則下列結(jié)論成立：

證明： 1) 先證

(2)

再證

(3)

事實(shí)上, 對(duì)任意的點(diǎn)x∈VW(λ,μ), 均有點(diǎn)x∈A(λ), 且?y∈A(λ),F(x,h(x,y),μ)∩(-intC)=?, 因此

F(x,h(x,A(λ)),μ)∩(-intC)=?.

(4)

從而必有

cone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C)∩(-intC)=?.

(5)

若存在t≥0及點(diǎn)y0∈A(λ), 使得

t(F(x,h(x,y0),μ)+C)∩(-intC)≠?,

(6)

則根據(jù)0?-intC知,t>0, 注意到C為凸錐, 結(jié)合式(6)得F(x,h(x,y0),μ)∩(-intC)≠?. 與式(4)矛盾, 故式(5)成立.

由-intC為開集, 并結(jié)合式(5)有

clcone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C)∩(-intC)=?.

(7)

注意到已知條件, 對(duì)每個(gè)(λ,μ)∈Λ×Ω及點(diǎn)x∈A(λ),F(x,h(x,·),μ)在A(λ)上為近似C-次類凸的, 則clcone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C)為凸集. 根據(jù)凸集分離定理知, 存在f∈Y*{0Y*}, 使得

(8)

又由clcone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C)為錐, ?z∈clcone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C), 有f(z)≥0, 因此

f(z)≥0, ?z∈F(x,h(x,A(λ)),μ)+C.

(9)

由0∈C知

f(z)≥0, ?z∈F(x,h(x,A(λ)),μ),

(10)

故

(11)

最后證f∈C*. 事實(shí)上, 根據(jù)式(10)知

f(z)≥0, ?x∈A(λ),y∈A(λ),z∈F(x,h(x,y),μ).

(12)

再由式(9)得

f(z+δc)≥0, ?x∈A(λ),y∈A(λ),z∈F(x,h(x,y),μ),δ≥0,c∈C.

(13)

從而必有

f(c)≥0, ?c∈C.

(14)

若不然, 則存在點(diǎn)c0∈C, 使得f(c0)<0, 取δ充分大, 存在點(diǎn)x0∈A(λ),y0∈A(λ),z0∈F(x0,h(x0,y0),μ), 使得

δf(c)<-f(z0),

(15)

與式(13)矛盾, 故式(14)成立, 從而f∈C*. 再結(jié)合式(11), 有

(16)

故式(3)成立. 因此

類似1)的證明方法, 易證2),3),4)成立.

注4當(dāng)h(x,y)=y時(shí), 根據(jù)引理3中1)可得文獻(xiàn)[10]中引理2.2, 且借助于弱f-性代替文獻(xiàn)[9]中的f-性, 并推廣了文獻(xiàn)[9]中引理3.2.

為討論問題(PSVEP)的有效解在Λ×Ω上的下半連續(xù)性, 下面給出Vf(·,·)在Λ×Ω上的下半連續(xù)性.

引理4設(shè)f∈C*{0Y*}, 如果下列條件成立：

1)A(·)在Λ上連續(xù)且具有非空緊值；

2)h(·,·)在A(Λ)×A(Λ)上連續(xù)；

3)F(·,·,·)在A(Λ)×A(Λ)×Ω上有弱f-性.

則Vf(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

證明： 如果存在點(diǎn)(λ0,μ0)∈Λ×Ω, 使得Vf(·,·)在點(diǎn)(λ0,μ0)處不是下半連續(xù)的, 則存在網(wǎng){(λα,μα)}?Λ×Ω, 滿足(λα,μα)→(λ0,μ0), 且點(diǎn)x0∈Vf(λ0,μ0), 對(duì)任意的點(diǎn)xα∈Vf(λα,μα), 有xα→/x0. 由點(diǎn)x0∈Vf(λ0,μ0)知, 點(diǎn)x0∈A(λ0). 于是,

(17)

(18)

(19)

與式(18)矛盾, 從而Vf(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

注5當(dāng)h(x,y)=y時(shí), 即可得文獻(xiàn)[10]中引理2.1, 并借助于弱f-性代替文獻(xiàn)[9]中的f-性, 推廣了文獻(xiàn)[9]中引理3.1.

結(jié)合Vf(·,·)在Λ×Ω上的下半連續(xù)性, 可得問題(PSVEP)的弱有效解在Λ×Ω上的下半連續(xù)性的最優(yōu)條件.

為方便敘述， 給出如下假設(shè)條件：

(H1)A(·)在Λ上連續(xù)且具有非空緊值；

(H2)h(·,·)在A(Λ)×A(Λ)上連續(xù)；

(H3)F(·,·,·)在A(Λ)×A(Λ)×Ω上有弱f-性；

(H4) 對(duì)每個(gè)(λ,μ)∈Λ×Ω及點(diǎn)x∈A(λ),F(x,h(x,·),μ)在A(λ)上近似C-次類凸;

(H5) 對(duì)每個(gè)(λ,μ)∈Λ×Ω及點(diǎn)x∈A(λ),F(x,h(x,·),μ)在A(λ)上C-凸.

定理1設(shè)f∈C*{0Y*}且intC≠?, 如果假設(shè)條件(H1)～(H4)成立, 則VW(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

注6當(dāng)h(x,y)=y時(shí), 即可得文獻(xiàn)[10]中定理2.1. 此外, 將文獻(xiàn)[7]中定理4.1的條件F(·,·,·)在A(Λ)×A(Λ)×Ω上具有連續(xù)性弱化為具有弱f-性, 結(jié)論仍然成立.

結(jié)合注2可得:

推論1設(shè)f∈C*{0Y*}且intC≠?, 如果假設(shè)條件(H1)～(H3),(H5)成立, 則VW(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

類似定理1的證明, 結(jié)合引理2～引理4及注2, 可得問題(PSVEP)的Henig有效解、 Global有效解和超有效解在Λ×Ω上下半連續(xù)性最優(yōu)條件的相關(guān)結(jié)論.

定理2設(shè)f∈CΔ, 如果假設(shè)條件(H1)～(H4)成立, 則VH(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

推論2設(shè)f∈CΔ, 如果假設(shè)條件(H1)～(H3),(H5)成立, 則VH(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

定理3設(shè)f∈C#, 如果假設(shè)條件(H1)～(H4)成立, 則VG(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

推論3設(shè)f∈C#, 如果假設(shè)條件(H1)～(H3),(H5)成立, 則VG(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

定理4設(shè)B為C的有界基, 且f∈intC*, 如果假設(shè)條件(H1)～(H4)成立, 則VS(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

推論4設(shè)B為C的有界基, 且f∈intC*, 如果假設(shè)條件(H1)～(H3),(H5)成立, 則VS(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).