范 千，陳振健，夏樟華

(福州大學(xué) 土木工程學(xué)院， 福州 350116)

近年來，優(yōu)化問題在不同的學(xué)科和工程領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注，其主要分為三個類別：約束優(yōu)化、無約束優(yōu)化和約束工程優(yōu)化問題[1].在優(yōu)化過程中，有必要在合理的時間內(nèi)和復(fù)雜的約束下找到給定問題的最優(yōu)解，因此如何構(gòu)建有效的尋優(yōu)策略是一個重要的研究方向.隨著計算機(jī)技術(shù)的蓬勃發(fā)展，越來越多的群智能優(yōu)化算法被相繼提出.目前，常見的群智能算法有差分進(jìn)化算法[2]、粒子群算法[3]、果蠅優(yōu)化算法[4]、灰狼優(yōu)化算法[5]、鯨魚優(yōu)化算法[6]等.不同于傳統(tǒng)優(yōu)化算法，這些新型算法具有參數(shù)設(shè)置簡單、無衍生機(jī)制、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點[7]，已經(jīng)被應(yīng)用于多個研究領(lǐng)域.

樽海鞘群算法(Salp Swarm Algorithm,SSA)是Mirjalili等在2017年提出的一種新型的群體智能優(yōu)化算法[8]，該算法模仿了樽海鞘群體在海洋中的群體覓食行為.試驗表明，與其它元啟發(fā)式算法相比，SSA算法能夠有效改進(jìn)待優(yōu)化問題的初始解并且能收斂到全局最優(yōu).因此原SSA算法被應(yīng)用到各個學(xué)科優(yōu)化問題的研究中，如：時差定位的非線性問題求解[9]，燃料電池的最佳參數(shù)提取[10]，非線性高光譜圖像的處理[11]等.而為了進(jìn)一步提高SSA的性能，不同的學(xué)者也對其進(jìn)行了改進(jìn)：文獻(xiàn)[12]將混沌映射與SSA算法結(jié)合，文獻(xiàn)[13]提出了二進(jìn)制SSA算法，文獻(xiàn)[14]將粒子群算法與SSA算法進(jìn)行混合等.這些算法在不同程度上提高了原SSA算法的性能.

根據(jù)“無免費午餐”(No-Free-Lunch，NFL)定理，沒有一種算法能夠適用于所有的優(yōu)化問題[15].因此，為了在實際應(yīng)用中獲得更好的結(jié)果，修改現(xiàn)有算法、開發(fā)新算法或混合不同種算法的研究工作是非常有價值的.針對原SSA算法存在的收斂速度慢、容易陷入局部最優(yōu)等不足，本文提出一種新型的改進(jìn)SSA算法，并將其稱之為基于折射反向?qū)W習(xí)與自適應(yīng)控制因子的改進(jìn)樽海鞘群算法(Modified SSA Based on Refracted Oppositional Learning and Adaptive Control Factor, RCSSA).該算法首先在求解過程中引入折射反向?qū)W習(xí)機(jī)制，以提高算法收斂速度和精度，其次在部分位置更新中加入了原算法已有的自適應(yīng)控制因子，進(jìn)一步改進(jìn)算法的探索性能.通過多組不同種類和維數(shù)的基準(zhǔn)測試函數(shù)對RCSSA算法的性能進(jìn)行詳細(xì)測試，同時與其他算法進(jìn)行對比分析，以驗證所采用改進(jìn)策略的可行性和有效性.

1 樽海鞘群優(yōu)化算法

SSA算法的靈感來自于樽海鞘群體在海洋中的游動和覓食行為.樽海鞘通過吸入和排出海水來推動自身游動，并以水中的浮游植物為食，如圖1所示.在覓食過程中，樽海鞘種群中的個體彼此相連并形成環(huán)狀的長鏈.該樽海鞘長鏈可分為兩部分：一部分為引導(dǎo)者，位于海鞘鏈的前端，負(fù)責(zé)探索食物的位置；另一部分樽海鞘為追隨者，逐個相連，緊跟在引導(dǎo)者之后，如圖2所示.引導(dǎo)者以食物源為目標(biāo)，不斷更新自身位置，該數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中：x1,j表示搜索空間第j維上第一個樽海鞘的位置，F(xiàn)j表示食物的位置，ubj和lbj分別是搜索空間第j維的上界和下界，c2和c3是兩個相互獨立并服從[0,1]均勻分布的隨機(jī)數(shù)，c1為算法中的控制因子，其值從2非線性遞減至趨于0，如圖3所示，其計算公式如下

(2)

式中：t表示當(dāng)前迭代次數(shù)，T是預(yù)先設(shè)定好的最大迭代次數(shù).

圖3 控制因子c1的變化曲線

當(dāng)引導(dǎo)者位置更新后，追隨者隨之移動，其位置更新的數(shù)學(xué)模型為

(3)

式中:xi,j表示搜索空間第j維上第i個樽海鞘的位置，且i≥2.

SSA算法包括探索和開發(fā)兩個階段.首先，探索階段是從一組隨機(jī)生成的解開始，其目標(biāo)是在搜索空間中擴(kuò)大搜索區(qū)域，以尋找全局最優(yōu)解.接著，算法進(jìn)入開發(fā)階段，在前一階段所得的搜索區(qū)域中進(jìn)一步尋優(yōu)，以提高最優(yōu)解的準(zhǔn)確性.其中，控制因子c1對算法的收斂效果影響較大，有能夠平衡算法的探索和開發(fā)能力：當(dāng)c1>1時，算法進(jìn)行全局探索；當(dāng)c1<1時，算法對局部進(jìn)行開發(fā).在達(dá)到最大迭代次數(shù)時，算法終止并輸出所得的最優(yōu)結(jié)果.

2 改進(jìn)的樽海鞘優(yōu)化算法

與其他元啟發(fā)式算法類似，原SSA算法也存在收斂速度慢、容易陷入局部最優(yōu)等缺點.為此本文從兩個方面對其進(jìn)行改進(jìn)：首先，在種群個體更新時采用折射反向?qū)W習(xí)機(jī)制，從而提高種群多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)；其次，在追隨者位置更新中引入自適應(yīng)控制因子，進(jìn)一步提高求解精度和收斂速度.

2.1 折射反向?qū)W習(xí)機(jī)制

反向?qū)W習(xí)(Opposition-Based Learning,OBL)是由Tizhooshs提出的一種強(qiáng)大的優(yōu)化機(jī)制[16]，其通過計算當(dāng)前解的反向解來擴(kuò)大搜索范圍，由此找出給定問題更好的候選解.將元啟發(fā)式算法與OBL的結(jié)合，能夠有效地提高算法尋優(yōu)的精度[17].但是OBL存在一定的缺點，如引入OBL的算法盡管在早期迭代能夠加強(qiáng)算法的尋優(yōu)性能，但在迭代后期OBL無法使算法跳出局部最優(yōu)，從而導(dǎo)致收斂精度和速度均變差.

折射反向?qū)W習(xí)(Refracted Opposition-Based Learning,ROBL)是一種新型的算法改進(jìn)機(jī)制，其本質(zhì)是在反向?qū)W習(xí)的基礎(chǔ)上，結(jié)合光的折射定律來尋找更優(yōu)的候選解.近年被用于改進(jìn)原粒子群優(yōu)化算法[18]與飛蛾撲火算法[19]等，已被證明能夠在不同程度上改善基本算法的性能.本文嘗試將該機(jī)制引入SSA算法以提升其優(yōu)化性能.ROBL的基本原理如圖4所示.

圖4 折射反向?qū)W習(xí)機(jī)制

在圖4中，x軸上的解的搜索區(qū)間為[a，b]，y軸表示法線，入射光線和折射光線的長度分別為l和l*，α和β分別為入射角和折射角，交點O是區(qū)間[a，b]的中點.由圖中線段的幾何關(guān)系，可得：

sinα=((a+b)/2-x)/l,

(4)

sinβ=(x*-(a+b)/2)/l*.

(5)

由折射率的定義可知n=sinα/sinβ，將其與以上二式結(jié)合得到

(6)

令k=l/l*,帶入上式可得

(7)

將式(7)進(jìn)行變換，得到折射反向?qū)W習(xí)解的計算公式

(8)

當(dāng)k=1，n=1時，上式可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的反向?qū)W習(xí)公式

x*=a+b-x.

(9)

顯然OBL僅為ROBL的一個特例.相對于OBL只能得到固定的候選解，ROBL可以通過調(diào)整參數(shù)獲得動態(tài)的新候選解，這也將會提高算法跳出局部最優(yōu)的概率.當(dāng)優(yōu)化問題的空間維度增加時，折射反向?qū)W習(xí)解可按下式計算

(10)

2.2 自適應(yīng)控制因子

在原SSA算法中，隨著算法的迭代進(jìn)化，樽海鞘群體中的引導(dǎo)者不斷向食物源移動，其余追隨者依次相連，逐漸向種群中適應(yīng)度較優(yōu)的引導(dǎo)者靠攏.然而，從式(3)中可看到，追隨者的位置只跟自身和相鄰個體的位置相關(guān)，其行為較為單一.因此，當(dāng)種群中的引領(lǐng)者陷入局部最優(yōu)時，追隨者必然隨之陷入局部最優(yōu)，從而導(dǎo)致算法出現(xiàn)早熟收斂現(xiàn)象.

前文已經(jīng)提到：控制因子c1隨著迭代次數(shù)的增加，從2非線性降低到趨于0.這樣的變化有利于算法在迭代初期進(jìn)行全局探索，在迭代后期能夠在局部進(jìn)行開發(fā).為此，本文提出將控制因子c1引入追隨者的位置更新，此時追隨者也能夠與引導(dǎo)者一樣，產(chǎn)生自適應(yīng)更新，從而提高算法跳出局部最優(yōu)的能力，并加快整體的收斂速度.新的追隨者公式為

(11)

其中c1的表達(dá)式見式(2).

2.3 所提RCSSA算法

綜合上述策略對基本SSA算法進(jìn)行改進(jìn)后，得到的RCSSA算法實現(xiàn)流程如下：

Step1：設(shè)置算法參數(shù)：種群規(guī)模N，最大迭代次數(shù)T，搜索維數(shù)D，搜索范圍[lb,ub]；隨機(jī)生成樽海鞘種群；

Step2：計算每個個體的適應(yīng)度值，將適應(yīng)度值最小的個體位置作為食物源；

Step3： 更新控制因子c1，判斷種群數(shù)是否超過N/2：超過則進(jìn)入Step5，否則進(jìn)入Step4；

Step4：更新隨機(jī)數(shù)c2、c3，根據(jù)式(1)更新每個引導(dǎo)者個體的位置，同時采用式(10)計算其折射反向解，比較二者適應(yīng)度大小，取較小的一個個體為新的位置，并進(jìn)入Step6；

Step5：根據(jù)式(3)更新每個追隨者個體的位置，采用引入控制因子c1的式(11)計算其折射反向解，比較二者適應(yīng)度大小，取較小的一個個體為新的位置；

Step6：比較食物源和當(dāng)前樽海鞘最優(yōu)個體的適應(yīng)度大小，取較小的一個為新的食物源；

Step7：若當(dāng)代迭代次數(shù)達(dá)到最大迭代次數(shù)T，則輸出最優(yōu)個體，即算法找到的最優(yōu)解；否則，返回Step2.

3 仿真實驗及分析

3.1 基準(zhǔn)測試函數(shù)

為了測試RCSSA在解決全局優(yōu)化問題中的效果，本文從文獻(xiàn)[6]中選取23個基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行算法性能測試.根據(jù)函數(shù)特征將這23個測試函數(shù)分為三個不同類型：可縮放單峰、多峰函數(shù)以及固定維度多峰函數(shù).其中，函數(shù)F1～F7屬于維度可變單峰函數(shù)，其僅包含一個全局最優(yōu)，因此這些函數(shù)能夠測試算法的開發(fā)能力；而維度可變多峰函數(shù)(F8～F13)包含多個局部最優(yōu)，不易找到全局最優(yōu)，可用于驗證算法的全局探索能力；固定維多峰函數(shù)(F14～F23)的極值點較多，但由于維度較低，尋優(yōu)較容易，可用來測試算法的穩(wěn)定性.這些函數(shù)的表達(dá)式、維度、搜索范圍、理論最優(yōu)值和類型如表1所示.

表1 基準(zhǔn)測試函數(shù)

續(xù)表1

3.2 算法參數(shù)設(shè)置

利用RCSSA算法對23個基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)求解，并與基本SSA、僅加入折射反向?qū)W習(xí)機(jī)制的SSA算法(RSSA)以及僅采用自適應(yīng)控制因子的SSA算法(CSSA)進(jìn)行對比，以驗證所提綜合改進(jìn)策略的效果.此外，選擇了5種群智能算法進(jìn)行對比測試，這5種算法分別為： PSO[3]，GWO[5]，WOA[6]，多元宇宙優(yōu)化算法(MVO)[20]和正弦余弦算法(SCA)[21].這些算法已被證明具有較好的優(yōu)化性能，并被應(yīng)用到了不同的學(xué)科與工程領(lǐng)域.因此，將本文所提的RCSSA算法與之進(jìn)行對比，可驗證所提算法在優(yōu)化性能方面是否具有優(yōu)越性.

為了對比的公平性，將所有算法的參數(shù)設(shè)置為一致：迭代次數(shù)設(shè)為500，種群規(guī)模均設(shè)為30，控制因子初始值均設(shè)為2.其余算法參數(shù)按原論文進(jìn)行取值，其中，RCSSA與RSSA中的縮放因子k=10 000.

3.3 RCSSA算法的性能測試

3.3.1 精度分析

為防止隨機(jī)性造成的誤差，在相同條件下，將各算法在MATLAB2017a中獨立運(yùn)行30次，得到30維、100維函數(shù)的試驗結(jié)果見表2、表3.表中的適應(yīng)度平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別反映不同算法在給定獨立運(yùn)行次數(shù)下的收斂精度和穩(wěn)定性，表中的加粗?jǐn)?shù)據(jù)為最佳試驗結(jié)果.

從表2可以看出，對于30維單峰基準(zhǔn)函數(shù)(F1～F7)和多峰基準(zhǔn)函數(shù)(F8～F13)，在除函數(shù)F6之外的其他函數(shù)上，RSSA算法和CSSA算法的平均適應(yīng)度均小于原SSA算法，其中在函數(shù)F9和F10上收斂到了最小值，其標(biāo)準(zhǔn)差也是遠(yuǎn)小于SSA算法.這表明兩種策略的加入對于提升原始算法的精度是有效的.同時可以看出，聯(lián)合兩種策略的RCSSA算法相對于兩種單策略改進(jìn)算法又有很大程度的提高.除了在函數(shù)F1和F3上得到了理論最優(yōu)解，RCSSA算法在其他函數(shù)上也獲得了比另外兩種算法更好的結(jié)果.而相對于其他5種優(yōu)化算法，RCSSA在30維函數(shù)上的平均適應(yīng)度獲得了9次領(lǐng)先，其中在函數(shù)F1～F4和F9～F11上的優(yōu)勢尤為明顯.其余函數(shù)結(jié)果中，RCSSA在函數(shù)F8和F12上，分別僅次于WOA和PSO算法.

為了進(jìn)一步測試RCSSA處理高維優(yōu)化問題的性能，將基準(zhǔn)函數(shù)F1～F13的維度擴(kuò)大至100維，算法參數(shù)設(shè)置不發(fā)生改變，測試結(jié)果如表3所示.隨著維度的提高，原SSA算法和其他群優(yōu)化算法的求解精度越來越差，而RCSSA仍然能保持較高的搜索精度，并且全面超過SSA算法.

函數(shù)F14～F23為固定維多峰函數(shù)，由于維度較低，因此相對于可變維度的多峰函數(shù)來說其局部最優(yōu)值并不多.這類函數(shù)可測試算法在平衡探索和開發(fā)能力之間的性能.從表4可以看到，幾種算法在函數(shù)F16～F20上的結(jié)果相差不大，均能接近理論值，但是在函數(shù)F21～F23上，僅有RCSSA算法的結(jié)果能夠最接近理論值.并且就標(biāo)準(zhǔn)差而言，所提出的算法也在大多數(shù)函數(shù)中實現(xiàn)了更好的性能.

表2 30維基準(zhǔn)測試函數(shù)尋優(yōu)結(jié)果對比

表3 100維基準(zhǔn)測試函數(shù)尋優(yōu)結(jié)果對比

表4 固定維基準(zhǔn)測試函數(shù)尋優(yōu)結(jié)果對比

3.3.2 收斂性分析

圖5給出了各算法在30維基準(zhǔn)函數(shù)和固定維多峰函數(shù)上的尋優(yōu)收斂曲線，由此可直觀地比較9種算法的收斂性能.從圖中可以看出，在單峰函數(shù)F1～F7上，RCSSA算法從迭代初期就保持較高的收斂速度，并且獲得了函數(shù)F1和F3的全局最優(yōu).而很明顯SSA算法和其他算法在這些函數(shù)上陷入了局部最優(yōu).多峰函數(shù)F9～F13上，RCSSA在不到10次已經(jīng)找到全局最優(yōu).在固定維函數(shù)F14和F16～F20上，幾種算法的收斂速度相差不大，但是在F21～F23上，顯然RCSSA算法的收斂速度和精度均優(yōu)于其他算法.這些收斂圖像充分表明了RCSSA算法在低維函數(shù)上優(yōu)越的尋優(yōu)能力.

通過分析表2～表4以及圖5，可以得出結(jié)論：聯(lián)合ROBL機(jī)制和自適應(yīng)控制因子的RCSSA算法在總體上優(yōu)于原SSA算法、兩種單策略改進(jìn)的SSA算法和其他5種優(yōu)化算法，表現(xiàn)出更高的搜索精度、收斂速度以及穩(wěn)定性.

3.4 RCSSA求解工程設(shè)計優(yōu)化問題

0≤x1,x2≤99，10≤x3,x4≤200.

根據(jù)文獻(xiàn)[23]，將RCSSA算法的種群規(guī)模和最大迭代次數(shù)分別設(shè)置為20和500，獨立運(yùn)行20次后取最優(yōu)值.在相同試驗條件下，所得結(jié)果以及文獻(xiàn)中已有的試驗結(jié)果列于表5.由表5可知，RCSSA是處理該問題的最佳優(yōu)化算法，與其他算法相比可獲得更好的結(jié)果.進(jìn)一步說明了RCSSA可應(yīng)用于實際問題且具有較好的優(yōu)化效果.

圖5 各種算法收斂曲線

圖6 壓力容器設(shè)計問題

4 結(jié)論

本文基于折射反向?qū)W習(xí)機(jī)制與自適應(yīng)控制因子

提出了一種新型改進(jìn)SSA算法.首先采用ROBL機(jī)制在每一次個體的求解中計算折射反向解，從而能夠提高探索和增加原SSA算法的收斂能力.其次將SSA算法中引導(dǎo)者的自適應(yīng)控制因子引入至跟隨者的位置更新中，有效地控制整個搜索過程并增加了算法的局部開發(fā)能力.

對23個不同類型與維數(shù)的基準(zhǔn)測試問題以及一個工程設(shè)計優(yōu)化問題進(jìn)行了仿真實驗研究，詳細(xì)分析了所提算法的探索、開發(fā)和跳出局部最優(yōu)的能力.其研究結(jié)果表明：所提RCSSA算法可以有效提升原SSA算法的優(yōu)化性能，其在整體性能上要明顯優(yōu)于GWO、WOA、SCA等多個當(dāng)前最先進(jìn)的群智能優(yōu)化算法，并適用于處理高維函數(shù)優(yōu)化問題.RCSSA在對工程設(shè)計問題進(jìn)行優(yōu)化時，其求解精度、收斂速度也均具有顯著的優(yōu)越性.在未來的研究工作中，RCSSA算法將進(jìn)一步與工程應(yīng)用相結(jié)合，以期解決更多實際優(yōu)化問題.

表5 各算法的壓力容器設(shè)計結(jié)果對比