沈林武,陳 強(qiáng),陶玫玲,何熊熊

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，杭州 3100232.浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣電子技術(shù)系，杭州 310053)

0 引言

無(wú)人機(jī)由于其多功能性、機(jī)動(dòng)性和實(shí)用性，引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的極大重視。旋翼飛行器作為無(wú)人機(jī)的一種常見(jiàn)類型，具有體積小，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和機(jī)動(dòng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[1]，通常用于某些危險(xiǎn)的環(huán)境中，包括搜索、營(yíng)救、區(qū)域制圖和監(jiān)視等[2-3]。當(dāng)前，旋翼飛行器的姿態(tài)控制逐步成為無(wú)人機(jī)控制研究的熱點(diǎn)問(wèn)題[4-8]。為保證四旋翼傾轉(zhuǎn)飛行器的姿態(tài)穩(wěn)定，文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)比例積分微分(proportion-integration-differentiation，PID)控制器，融合自適應(yīng)控制算法，實(shí)現(xiàn)PID參數(shù)自整定，經(jīng)仿真實(shí)驗(yàn)表明該控制器的穩(wěn)態(tài)性能和跟蹤性能良好。文獻(xiàn)[10]利用前饋控制和線性化技術(shù)，設(shè)計(jì)四旋翼無(wú)人機(jī)控制算法，并基于線性二次調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)姿態(tài)控制器，通過(guò)反饋調(diào)節(jié)矩陣增益，改善控制器性能，根據(jù)時(shí)延、上升時(shí)間、超調(diào)等參數(shù)驗(yàn)證了其優(yōu)越性能。文獻(xiàn)[11]針對(duì)三旋翼飛行器尾部舵機(jī)發(fā)生堵塞故障的情況下，基于反步法和終端滑?？刂萍夹g(shù)，提出一種魯棒容錯(cuò)控制方法，經(jīng)李雅普諾夫方法證明姿態(tài)跟蹤誤差漸近收斂，且經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證對(duì)姿態(tài)控制有較好的效果。文獻(xiàn)[12]利用反步法技術(shù)和常規(guī)滑模設(shè)計(jì)控制器，常規(guī)滑模控制器保證姿態(tài)角快速收斂的能力，反步法技術(shù)應(yīng)用于位置跟蹤，最終獲得四旋翼飛行器位姿的快速收斂，模擬仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性。然而，上述控制方法僅能實(shí)現(xiàn)姿態(tài)的漸近收斂。

與上述方法相比，有限時(shí)間控制能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)變量的有限時(shí)間收斂。文獻(xiàn)[13]針對(duì)剛性航天器帶有控制輸入飽和的輸出反饋?zhàn)藨B(tài)控制，基于四元數(shù)方法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，結(jié)合有限時(shí)間觀測(cè)器，設(shè)計(jì)有限時(shí)間控制律，保證系統(tǒng)姿態(tài)有限時(shí)間收斂于平衡點(diǎn)。文獻(xiàn)[14]利用分段函數(shù)設(shè)計(jì)一種終端滑?？刂撇呗?，結(jié)合自適應(yīng)技術(shù)，保證剛性飛行器的有限時(shí)間姿態(tài)收斂，且更魯棒、收斂速度更快、控制精度更高等性能，仿真結(jié)果表明了該控制策略的有效性。文獻(xiàn)[15]針對(duì)存在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有界、未知外部干擾的情況，基于四元數(shù)建立剛性飛行器動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)有限時(shí)間全階滑模連續(xù)控制器，保證系統(tǒng)軌跡有限時(shí)間收斂于平衡點(diǎn)，所提控制器有效性經(jīng)仿真驗(yàn)證。

基于上述討論，本文針對(duì)兩旋翼飛行器提出一種基于快速終端滑模面的有限時(shí)間自適應(yīng)姿態(tài)控制方法，保證兩旋翼飛行器姿態(tài)角跟蹤誤差的有限時(shí)間收斂。通過(guò)設(shè)計(jì)分段函數(shù)避免控制律和滑模變量求導(dǎo)產(chǎn)生的奇異值問(wèn)題，同時(shí)設(shè)計(jì)用于估計(jì)系統(tǒng)模型不確定上界和未知外部干擾的自適應(yīng)更新律，并無(wú)需提前了解系統(tǒng)的先驗(yàn)知識(shí)。最后，在兩旋翼飛行器平臺(tái)上驗(yàn)證所提控制方法的有效性。

1 系統(tǒng)描述及預(yù)備知識(shí)

圖1為兩旋翼飛行器測(cè)試臺(tái)示意圖，由機(jī)械和電子兩部分組成。機(jī)械部分包含底板、支架、平衡桿和軸承對(duì)組件；電子部分由陀螺儀模塊、控制單元、電子調(diào)速器和無(wú)刷直流電機(jī)組件構(gòu)成，其中兩個(gè)無(wú)刷直流電機(jī)的槳葉分別為正槳葉和反槳葉，以抵消兩個(gè)電機(jī)不同旋轉(zhuǎn)方向的轉(zhuǎn)矩。

圖1 兩旋翼飛行器測(cè)試臺(tái)示意圖

兩旋翼飛行器平衡桿可認(rèn)為是剛體，根據(jù)杠桿原理，其槳葉產(chǎn)生的升力矩Mb為：

Mb=(F1-F2)L=ku，

(1)

式中,F1、F2為槳葉產(chǎn)生的升力，L是電機(jī)軸中心線到轉(zhuǎn)軸中心線的垂直距離，k為正系數(shù)，u∈R為電機(jī)電子調(diào)速器控制輸入。

基于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程分析，兩旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)模型的表達(dá)式為：

(2)

(3)

假設(shè)1：Mf和Md有界，即f(x1,x2)和d(t,x1,x2)有界，存在常數(shù)F>0和D>0，保證|f(x1,x2)|≤F和|d(t,x1,x2)|≤D成立。

收斂時(shí)間上界Tr滿足

(4)

2 快速終端滑?？刂破?/h2>

2.1 滑模面設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)快速終端滑模面為：

(5)

根據(jù)兩旋翼飛行器控制系統(tǒng)(3)可得：

(6)

對(duì)式(5)求導(dǎo)，得：

(7)

滑模變量s一旦到達(dá)滑模面s=0之后， 式(4)表示為：

(8)

選取李雅普諾夫函數(shù):

(9)

對(duì)其求導(dǎo)，得:

(10)

(11)

2.2 控制律設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)有限時(shí)間自適應(yīng)控制律u為：

(12)

設(shè)計(jì)自適應(yīng)更新律為：

(13)

(14)

式中,p1>0，p2>0，c1>0，c2>0。

3 定性證明

定理1：針對(duì)兩旋翼飛行器系統(tǒng)式(3)，設(shè)計(jì)快速終端滑模面式(5)，控制律式(12)，自適應(yīng)更新律式(13)和式(14)，則：

證明：(1)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：

(15)

對(duì)式(15)求導(dǎo)，可得：

(16)

把控制律式(12)代入式(16)，得：

(17)

把自適應(yīng)更新律式(13)和式(14)代入式(17)，得：

(18)

根據(jù)楊不等式，以下不等式成立,

(19)

(20)

把式(19)和式(20)代入式(18)，得：

-η0V2+υ1

(21)

(2)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：

(22)

對(duì)式(22)求導(dǎo)，可得：

(23)

把控制律式(12)代入式(23)，得：

(24)

根據(jù)引理1，滑模變量s在趨近模態(tài)時(shí)有限時(shí)間收斂到平衡點(diǎn)附近鄰域Δs：

(25)

且收斂時(shí)間上界Tr為：

(26)

把式(25)代入滑模面式(5)，得:

(27)

式中,|ε|≤Δs。

由式(27)可知，姿態(tài)角誤差e收斂至以下鄰域：

(28)

(29)

T≤Tr+Ts=

(30)

注：根據(jù)式(30)，系統(tǒng)狀態(tài)變量的收斂時(shí)間與系統(tǒng)初始值條件相關(guān)，如滑模面初始值s(0)、姿態(tài)角誤差初始值e(0)，且其它可設(shè)計(jì)參數(shù)也能影響系統(tǒng)收斂時(shí)間上界，如k1、k2、a2、γ2、η1、η2等。如減少γ2、a2，可縮短系統(tǒng)狀態(tài)變量的收斂時(shí)間，但是過(guò)小的γ2、a2，等同于控制器獲得過(guò)高的增益，導(dǎo)致系統(tǒng)的大幅度顫振、甚至不穩(wěn)定。為了獲得系統(tǒng)收斂時(shí)間與穩(wěn)定性之間的平衡，選擇合理的控制參數(shù)也是設(shè)計(jì)工作中的一項(xiàng)重要工作，證畢。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)描述

兩旋翼飛行器控制系統(tǒng)如圖2所示，該系統(tǒng)由飛行器測(cè)試臺(tái)、上位機(jī)控制臺(tái)以及輔助直流電源組成。

圖2 兩旋翼飛行器控制系統(tǒng)

兩旋翼飛行器測(cè)試臺(tái)有兩臺(tái)無(wú)刷直流電機(jī)(X2212，中山市朗宇模型有限公司)；兩臺(tái)電子調(diào)速器(SKYWALKER 40A，深圳市好盈科技有限公司)，電子調(diào)速器用于控制無(wú)刷直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速；一個(gè)陀螺儀模塊(WT931，深圳維特智能科技有限公司)，用于獲取兩旋翼飛行器測(cè)試臺(tái)平衡桿的姿態(tài)角和角速度；一個(gè)用于執(zhí)行控制方法的控制單元(STM32F103C8T6，意法半導(dǎo)體有限公司)和必要的機(jī)械支撐鋁合金結(jié)構(gòu)件。兩旋翼飛行器電子線路硬件連接圖如圖3所示。

圖3 兩旋翼飛行器電子線路硬件連接圖

上位機(jī)控制臺(tái)為一臺(tái)工作站(W520，聯(lián)想控股股份有限公司)。其中通用串行總線(universal serial bus，USB)接口1用于連接飛行器測(cè)試臺(tái)數(shù)據(jù)接口(FT2232HL，F(xiàn)TDI Chip)，實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集、控制飛行器測(cè)試臺(tái)的啟停；USB2接口通過(guò)調(diào)試器(STlinkV2，意法半導(dǎo)體有限公司),與飛行器測(cè)試臺(tái)的控制單元連接,實(shí)現(xiàn)控制程序的編譯和加載。上位機(jī)控制臺(tái)通過(guò)中間文件獲取實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的顯示、分析和處理。

在實(shí)驗(yàn)中，僅使用兩旋翼飛行器測(cè)試臺(tái)平衡桿的俯仰軸，陀螺儀模塊提供相應(yīng)的姿態(tài)角和角速度信息，其中姿態(tài)角的動(dòng)態(tài)精度可達(dá)0.1°，姿態(tài)角速度測(cè)量范圍±1 000°/s，采樣周期為6 ms，滿足后續(xù)的閉環(huán)信號(hào)控制要求。

兩旋翼飛行器測(cè)試臺(tái)的指標(biāo)參數(shù)：

1)平衡桿實(shí)驗(yàn)角度范圍為±60°。

2)陀螺儀模塊與控制單元通信速率為921 600 bps，本測(cè)試臺(tái)僅使用俯仰姿態(tài)角和角速度。

3)控制算法輸出控制量u為±1 500，待機(jī)電門(mén)控制量u0為3 000，控制單元最終輸出控制量u1最大輸出值為10 000，為實(shí)驗(yàn)安全考慮，限幅值為4 500，則控制量u1范圍為500～ 4 500。

4)USB1轉(zhuǎn)通用異步收發(fā)傳輸器(univer sal asynchronous receiver/transmitter，UART)接口1的通信速率為921 600 bps。

5)下載調(diào)試器STlinkV2的單總線接口(single wire，SW)運(yùn)行頻率為1.8 MHz。

4.2 實(shí)驗(yàn)方法對(duì)比

為驗(yàn)證所提控制方法的可行性和優(yōu)越性，提出兩種控制方法在兩旋翼飛行器測(cè)試臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較。方法一為本文所設(shè)計(jì)的基于快速終端滑模面的有限時(shí)間姿態(tài)控制方法，方法二為文獻(xiàn)[18]的線性滑?？刂品椒ā楸ＷC公平比較，兩種控制方法相應(yīng)的系統(tǒng)控制參數(shù)設(shè)置一致。

方法一的滑模面為式(5)，控制律為式(12)，自適應(yīng)更新律為式(13)～(14)。

方法二的滑模面為：

(31)

式中，k1>0。

¨控制律設(shè)計(jì)為：

(32)

方法一的滑模面siga2e項(xiàng)的冪次系數(shù)0

(33)

針對(duì)兩旋翼飛行器系統(tǒng)式，根據(jù)控制律式和式，當(dāng)滑模變量s=0時(shí)，符號(hào)函數(shù)sgn(·)不連續(xù)性，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)顫震。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，為了消除符號(hào)函數(shù)不連續(xù)性，可以采用分段函數(shù)替換，如文獻(xiàn)[19]采用以下函數(shù)：

(34)

式中,ζ>0，ζ是一個(gè)充分小有界正數(shù)，代表邊界層的厚度。也可采用雙曲正切函數(shù)替換符號(hào)函數(shù)：

(35)

式中,ρ>0，參數(shù)ρ越大，雙曲正切函數(shù)越接近于符號(hào)函數(shù)，則控制律式和式獲得控制性能越好。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，如果能夠選擇合適的參數(shù)ρ或ζ，則可保持系統(tǒng)顫震和跟蹤性能之間的平衡。

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

1)矩形波跟蹤實(shí)驗(yàn)：

表1 矩形波跟蹤實(shí)驗(yàn)的控制參數(shù)

圖4 幅值25°矩形波的跟蹤軌跡

圖5 幅值25°矩形波時(shí)的

圖6為方法一在不同系統(tǒng)姿態(tài)角初始狀態(tài)的收斂情況，其中實(shí)驗(yàn)的參考軌跡為xd=0°，系統(tǒng)姿態(tài)角x1初始值x1(0)分別為-50°～-5°區(qū)間之間的6個(gè)初始值，其它控制參數(shù)和實(shí)驗(yàn)條件同上述實(shí)驗(yàn)。從圖6明顯地看出，姿態(tài)角x1(0)初始值絕對(duì)值越大，系統(tǒng)狀態(tài)變量收斂時(shí)間越長(zhǎng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析保持一致，即收斂時(shí)間與系統(tǒng)初始值有關(guān)。

圖6 參考軌跡xd=0的跟蹤軌跡

2)S曲線跟蹤實(shí)驗(yàn)：

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提控制方法的跟蹤性能，設(shè)計(jì)S曲線作為對(duì)比實(shí)驗(yàn)參考軌跡，系統(tǒng)姿態(tài)角x1初始值x1(0)為25°，姿態(tài)角速度x2初始值x2(0)為0°/s，系統(tǒng)控制參數(shù)由表2獲取，圖7是設(shè)定信號(hào)為S曲線的跟蹤軌跡。

表2 S曲線跟蹤實(shí)驗(yàn)的控制參數(shù)

圖7 S曲線的跟蹤軌跡

由圖7可以看出，方法一與方法二相比，方法一對(duì)姿態(tài)角x1跟蹤具有更快收斂速度。

3)替換符號(hào)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)控制性能影響：

為驗(yàn)證所提控制方法的符號(hào)函數(shù)被替換，對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)參考軌跡為xd=0°，作為方法一的設(shè)定信號(hào)，系統(tǒng)姿態(tài)角x1初始值x1(0)為-20°，系統(tǒng)控制參數(shù)由表1獲取，其它實(shí)驗(yàn)條件同矩形波跟蹤實(shí)驗(yàn)。

針對(duì)符號(hào)函數(shù)不連續(xù)性導(dǎo)致系統(tǒng)顫震。為消除系統(tǒng)顫震，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中采用式雙曲正切函數(shù)替換符號(hào)函數(shù)，其中ρ取3。圖8和圖9分別為未替換符號(hào)函數(shù)和雙曲正切函數(shù)替換符號(hào)函數(shù)的系統(tǒng)控制輸入u和系統(tǒng)姿態(tài)角x1的跟蹤軌跡。

圖8 比較雙曲正切函數(shù)與符號(hào)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能影響的控制輸入u

圖9 比較雙曲正切函數(shù)與符號(hào)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能影響的姿態(tài)角x1的跟蹤軌跡

5 結(jié)束語(yǔ)