燕巖軍，宋儒瑛，楊 帆

(1.山西機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，山西 長(zhǎng)治 046011；

2.太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，太原 030619；

3.佳木斯大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154002)

在科學(xué)和工程領(lǐng)域，矩陣研究應(yīng)用廣泛，并且許多問(wèn)題可歸結(jié)為矩陣特征值和奇異值相關(guān)問(wèn)題.因此，對(duì)矩陣特征值和奇異值相關(guān)研究具有重要意義.近年來(lái)，矩陣特征值、奇異值研究越來(lái)越受到廣泛學(xué)者的關(guān)注,并得出許多較好結(jié)果，主要涉及非奇異終端[1]、特征多項(xiàng)式[2]、特征值擾動(dòng)[3]、奇異值擾動(dòng)[4]、矩陣空間[5]等相關(guān)方面的研究.特別地，Eisenstat[6]與Ipsen等[7]對(duì)于可對(duì)角化矩陣給出乘法擾動(dòng)下特征值擾動(dòng)結(jié)果：

(1)

這里κ(X)=‖X‖2‖X-1‖2.

隨著對(duì)矩陣特征值、奇異值問(wèn)題深入研究，許多學(xué)者在研究方法上也不斷探索創(chuàng)新，這些方法對(duì)研究矩陣特征值、奇異值在誤差精確性方面起著非常重要的作用，如矩陣迭代判定法[8]、正交矩陣對(duì)角化法[9]、正規(guī)矩陣對(duì)角化法[10]等.本文在這些方法研究基礎(chǔ)上，對(duì)矩陣特征值、奇異值問(wèn)題作進(jìn)一步研究.通過(guò)構(gòu)造雙隨機(jī)矩陣、結(jié)合矩陣相關(guān)技巧運(yùn)算，給出一種新的證明方法，并得出新結(jié)論：

(2)

最后，通過(guò)比較式(1)與式(2)結(jié)果，可以知道式(2)結(jié)果更優(yōu)，說(shuō)明本文結(jié)論改進(jìn)推廣了Eisenstat與Ipsen等人已有結(jié)果，具有一定的研究意義.

首先對(duì)文中字母符號(hào)進(jìn)行簡(jiǎn)要說(shuō)明.在文中使用符號(hào)Cm×n來(lái)表示m×n階復(fù)元素矩陣的全體，用符號(hào)I代表單位矩陣，用符號(hào)A*表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置，用符號(hào)eig(A)表示方陣A的全體特征值，用符號(hào)‖·‖2表示矩陣的譜范數(shù)，用符號(hào)‖·‖F(xiàn)表示矩陣的F范數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[11]假定矩陣A∈Cn×n.若存在一個(gè)n×n階可逆矩陣Q，并且滿足A=QΛQ-1，那么就稱矩陣A是一個(gè)可對(duì)角化矩陣.其中這里Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)為對(duì)角矩陣，并且λi(i=1,2,…,n)表示矩陣A的特征值.

說(shuō)明對(duì)于任意一個(gè)n×n階方陣B，結(jié)合矩陣奇異值知識(shí)可以將其分解為B=U*∑V.其中這里的U、V表示酉矩陣，∑=diag(σ1,…，σn)，σi表示方陣B的奇異值，并且有σ1≥σ2≥…≥σn≥0.

2 主要結(jié)論

引理1[12]假定矩陣S=(sij)是一個(gè)n×n階的雙隨機(jī)矩陣.對(duì)于任意一n×n階方陣T=(tij)，那么則存在{1,2,…,n}中的一個(gè)排列τ，使其滿足：

(3)

(4)

根據(jù)矩陣B奇異值分解，可知：

B-1=(U∑V*)-1=(V*)-1∑-1U-1=V∑-1U*.

(5)

因此，結(jié)合矩陣B奇異值分解可以得出:

(6)

同理：

(7)

(8)

這里用符號(hào)Re(α)表示復(fù)數(shù)α的實(shí)部.

這樣，將引理1結(jié)果應(yīng)用到式(8)中，可以知道存在{1,2,…,n}的一個(gè)排列τ，滿足式(9)：

(9)

根據(jù)式(9)可知定理成立.證畢

特別說(shuō)明：對(duì)于非奇異矩陣奇異值相對(duì)擾動(dòng)研究，本文通過(guò)構(gòu)造雙隨機(jī)矩陣法并結(jié)合Li R C[13]一文相應(yīng)技術(shù)手段，給出矩陣加法擾動(dòng)下非奇異矩陣奇異值相對(duì)擾動(dòng)上界的一個(gè)新結(jié)論，具有一定的推廣意義.這是因?yàn)?，?duì)于n×n階非奇異矩陣B，Demmel與Veselic[14]證明得出：

(10)

盡管Demmel和Veselic得出奇異值相對(duì)擾動(dòng)上界比較好，但Li R C[15]一文中通過(guò)進(jìn)一步研究證明并得出：

(11)

這說(shuō)明，Demmel和Veselic得到的結(jié)果中奇異值相對(duì)擾動(dòng)界的和并不是最小.由此可見(jiàn)，本文結(jié)論具有一定的研究?jī)r(jià)值.如果在本文基礎(chǔ)上還能進(jìn)一步找到比本結(jié)論還小的上界，這對(duì)研究矩陣奇異值相對(duì)擾動(dòng)意義重大，這是以后努力的方向.

其中這里的λi(i=1,2,…,n)表示矩陣A的特征值.

(12)

(13)

3 結(jié)論

對(duì)于可對(duì)角化矩陣，給出矩陣乘法擾動(dòng)下特征值差的擾動(dòng)上界估計(jì)，并且本文得到定理2上界估計(jì)更優(yōu)，改進(jìn)了Eisenstat、Ipsen等的結(jié)果。

這里因?yàn)?比較式(1)與式(2)，根據(jù)矩陣譜范數(shù)定義，顯然有：

(14)

由式(14)可以看出，本文定理2中得到的擾動(dòng)上界比Eisenstat、Ipsen等得出的上界估計(jì)要小，所以本文定理2結(jié)論改進(jìn)了參考文獻(xiàn)[6,(定理6.1)]與[7,(定理5.1)]中的結(jié)論，具有一定的研究意義.