周 熒，王 躍

(貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴陽 550025)

眾所周知，解決微分問題最終都轉(zhuǎn)化為求微分方程，然而在物理、工程技術(shù)等方面出現(xiàn)的大量微分方程因?yàn)閺?fù)雜而難以求出解析解，甚至在能求出解析解的情況下，也可能會(huì)因?yàn)楸磉_(dá)式的繁雜而失去實(shí)用價(jià)值，從而技術(shù)員常常希望有簡單的解析解，近似度非常高的簡單表達(dá)式也可以，這樣不僅有利于作數(shù)值計(jì)算，還方便作定性分析.如果一個(gè)表達(dá)式幾乎處處滿足微分方程及所要求的附加條件，而在那些不滿足的地方可以忽略不計(jì)，那么這個(gè)表達(dá)式也叫近似解.由于求近似解的各種方法已經(jīng)比較成熟[1]，因此在很多文獻(xiàn)中也常常只討論微分問題解的存在與否、是否多解等基礎(chǔ)理論.多年以來，在不同邊界條件下問題:

(1)

解的研究仍是熱點(diǎn)，因?yàn)樗c梁振動(dòng)模型[2]有關(guān).而實(shí)際上它來源于經(jīng)典的基爾霍夫振動(dòng)模型：

(2)

其中ρ、h、p0、E、L均為常數(shù)，0

(3)

至少存在1個(gè)正解和1個(gè)負(fù)解，并利用反證法獲得不存在正解的條件，但解的形式也沒提到.

受文獻(xiàn)[3,5,15-16]的啟發(fā)，本文也考慮問題(3)，不同于文獻(xiàn)[11]的是a,b,為任意實(shí)數(shù)(常數(shù)參數(shù)均可)，ΩRN(N≥1)，將通過函數(shù)構(gòu)造給出問題(3)的無窮多近似解和古典解，直觀上可看出有正解、負(fù)解和變號解.另外，本文將詳細(xì)說明問題(3)當(dāng)ΩRN(N≥1)是劃去坐標(biāo)平面且無邊界條件限制時(shí)也有無窮多古典解，而Ω含坐標(biāo)平面中的點(diǎn)或是閉集時(shí)可以將之視為近似解.

關(guān)于負(fù)模量問題(1)解的存在性研究狀況目前不多，除了前述文獻(xiàn)之外，文獻(xiàn)[18]推廣了文獻(xiàn)[9]的結(jié)果到全空間，文獻(xiàn)[19]拓展文獻(xiàn)[8]的問題到球上獲得正解的存在唯一性，文獻(xiàn)[20]推廣文獻(xiàn)[8]的結(jié)果到次線性指數(shù)，文獻(xiàn)[21-23]的研究與文獻(xiàn)[9,18]類似，文獻(xiàn)[24]帶有指數(shù)型非局部系數(shù)，文獻(xiàn)[25]利用代數(shù)的方法獲得1個(gè)2個(gè)或3個(gè)解的存在唯一性，文獻(xiàn)[26]則推廣負(fù)模量問題到變指數(shù)的情形并獲得無窮多弱解.

1 零右端的多項(xiàng)式型近似解和古典解

定理1 設(shè)Ω?RN，如果=0，則問題(3)有無窮多近似解具有多項(xiàng)式型.

證明不失一般性，以R為例，可以任取其中的一個(gè)有界區(qū)間[c,d]?Ω，對過端點(diǎn)的由有限條折線組成的任意連續(xù)函數(shù)v(x)，令：

那么u(x)|x∈(c,d)=0.注意到在(c,d)內(nèi)，除了有限個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)外，u(x)是分段常數(shù)，因此幾乎處處有u(x)=0并且有界，所以幾乎處處滿足v=0，從而根據(jù)v(x)的任意性可得出問題(3)有無窮多多項(xiàng)式型的近似解.

例1 當(dāng)Ω=(c,d)，=0時(shí)，是問題(3)的近似解.

定理2 設(shè)=0且ab>0，則當(dāng)Ω?R時(shí)問題(3)有無窮多多項(xiàng)式型的古典解.

證明設(shè)ab>0，[c,d]?Ω是有界區(qū)間，取正整數(shù)m,n≥3，令：

例2 若滿足Ω=(c,d)，=0，ab>0，求證是問題(3)的古典解.

證明在Ω上u(c)=u(d)=0顯然成立.而在Ω上，直接計(jì)算可得:

綜上可知，u(x)是問題(3)的一對古典解.

推論1 設(shè)Ω=(c,d),=0且ab>0，則對所有過點(diǎn)(c,0)和(d,0)的二階光滑函數(shù)v(x)而言，只要令則u(x)都是問題(3)的古典解，而此時(shí)古典解有無窮多個(gè).

2 零邊值的三角函數(shù)型近似解和古典解

(4)

(5)

下面就a、b、滿足不同情形時(shí)，對問題(3)的一些近似解和古典解的情況作介紹.

定理3 設(shè)b=0,a>0,Ω=R，則問題(3)有無窮多三角函數(shù)型的近似解.

證明若b=0，只要a>0，則對任意常數(shù)及整數(shù)m,-av=v有無窮多古典解：

(6)

下面的定理主要討論b≠0的情形，此時(shí)考慮關(guān)于的方程式可得:

(7)

定理5 設(shè)a=0，b<0，Ω=(c,d)，則問題(3)有無窮多三角函數(shù)型的古典解.

證明如果a=0，b<0，則問題(3)退化到特征值問題由于此時(shí)從而在零邊值時(shí)它存在無窮多古典解:

(8)

定理6 設(shè)=0，ab>0，Ω=(c,d)，則問題(3)有無窮多三角函數(shù)型的古典解.

證明如果=0，ab>0，則此時(shí)問題(3)有無窮多古典解可表示為:

定理7 設(shè)Ω=(c,d)，a,b,同為正或同為負(fù)，則問題(3)有無窮多三角型函數(shù)的古典解.

證明當(dāng)a,b,同為正或同為負(fù)時(shí)，只要取正整數(shù)M使得則對所有n,m∈Z，只要|n|>M，問題(3)都有如下的古典解:

(9)

定理9 設(shè)ab<0,Ω=(c,d)，則在與之間時(shí)問題(3)至少有i個(gè)線性無關(guān)的三角函數(shù)型古典解.

證明如果ab<0，不難發(fā)現(xiàn)只要滿足:

3 無邊界的指數(shù)函數(shù)型解

本部分可作為問題(3)的拓展，但非問題(3)當(dāng)a,b,滿足其他情形時(shí)的補(bǔ)充，因?yàn)檫@里Ω可以無光滑邊界，也不要求連通.假設(shè)N是正整數(shù)，x∈RN|xi≠0,i=1,2，…,N，即是RN中劃去坐標(biāo)平面的集合，顯然RN不是連通區(qū)域但卻由2N個(gè)連通區(qū)域組成.設(shè)開集Ω考慮如下問題：

(10)

這里a,b,為任意實(shí)數(shù)，可以是常數(shù)也可以是參數(shù).

定理10 設(shè)Ω若ab>0或b>0，則問題(10)有無窮多古典解.

證明對N≥1，任取β>1,i>0(i=1,2，…,N).取則:

可得出:

因此當(dāng)a,b,同為正或負(fù)時(shí)取β>1即可；ab>0時(shí)可取>0時(shí)，如果a=0則取β>1，a≠0可取

當(dāng)滿足ab>0或b>0時(shí)有一類古典解具有如下解析式:

(11)

是問題(10)當(dāng)滿足ab>0或b>0時(shí)的近似解、特別當(dāng)Ω=RN時(shí)，可以把式(11)看作是近似解.

4 結(jié)語

本文使用構(gòu)造函數(shù)的方法，構(gòu)造出無窮多近似解和古典解滿足所給的邊值問題，然而利用變分方法只能得到對應(yīng)泛函存在臨界點(diǎn)，從而證明問題存在弱解，而給不出解的形式.對問題(3)而言，當(dāng)=0時(shí)，定理1討論u(x)=0幾乎處處成立且有界，定理2和定理6圍繞且u有界展開；當(dāng)≠0時(shí)，定理4、定理5及定理7至定理9主要闡明-1>0的情形，定理8補(bǔ)充了文獻(xiàn)[11]的N≥3到N=1,2；實(shí)際上，文中獲得的近似解，在不可導(dǎo)處的單向極限導(dǎo)數(shù)存在并且有界而導(dǎo)致了這些不可導(dǎo)點(diǎn)在函數(shù)和非局部積分中總可以視其測度為零，因此這些不可導(dǎo)點(diǎn)是可以忽略的.另外還可以發(fā)現(xiàn)這些近似解幾乎處處二次光滑.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是給出了近似解和古典解的很多形式，獲得的結(jié)果是變分方法不可能完全達(dá)到的.利用類似的方式，聯(lián)合特征值問題的譜理論，可以證明本文的結(jié)論對N≥2以及Neumann型零邊值條件同樣成立.根據(jù)算子方程的譜理論，本文的所有結(jié)果均可以推廣到Ω?RN.