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        病態(tài)線性方程組的一類迭代改進法

        2020-09-24 01:04:44關(guān)晉瑞溫瑞萍
        關(guān)鍵詞:迭代法線性方程組病態(tài)

        關(guān)晉瑞,溫瑞萍

        (太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 晉中 030619)

        考慮線性方程組的求解:

        Ax=b,

        (1)

        其中A∈n×n是非奇異的矩陣,b∈n是給定的向量.線性方程組廣泛出現(xiàn)在科學(xué)計算和工程應(yīng)用的許多領(lǐng)域中,如大地測量、結(jié)構(gòu)分析、網(wǎng)絡(luò)分析、數(shù)據(jù)分析、最優(yōu)化、非線性方程組以及微分方程數(shù)值解中的許多問題最終都?xì)w結(jié)為線性方程組的求解[1-3].如何快速有效地求解線性方程組是數(shù)值代數(shù)的核心問題[4-8],也是目前仍在繼續(xù)研究的重要課題之一[9-12].

        線性方程組的數(shù)值方法大體上可分為直接法和迭代法兩大類.國內(nèi)外許多學(xué)者對此進行了深入的研究,提出了眾多的有效方法,如經(jīng)典的Gauss消元法、平方根法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、SOR迭代法、共軛梯度法和Krylov子空間方法[1,5,8],以及近年來著名的HSS迭代法[9]等.這些都是求解線性方程組的有效的數(shù)值方法.

        本文研究病態(tài)線性方程組的求解問題.當(dāng)線性方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大時或者系數(shù)矩陣接近奇異時,方程組比較病態(tài),這時直接求解得到解的精度較低甚至是完全錯誤的.對此,本文提出了一種迭代改進方法,對原方程組的解進行迭代改進,在一定情況下可以有效提高所求得解的精度.

        1 預(yù)備知識

        本節(jié)介紹文中的符號記法以及后面將要用到的一些預(yù)備知識.

        求解線性方程組(1)最簡單的一類迭代方法是分裂迭代法,它的基本思路是,給定系數(shù)矩陣的一個分裂:

        A=M-N,

        其中M是可逆的,代入式(1)得到原方程組的等價形式Mx=Nx+b,進而可以得到迭代法:

        xk+1=M-1Nxk+M-1b,k=0,1,2,….

        (2)

        迭代法(2)稱為單步線性定常迭代法,其中M-1N為迭代矩陣.

        如果對于任意給定的初始向量x0∈n,由式(2)生成的序列{xk}都是適定的且收斂于方程組(1)的解x*,則稱(2)是收斂的.下述定理給出了單步線性定常迭代法收斂的充要條件.

        定理1[13]單步線性定常迭代法(2)收斂當(dāng)且僅當(dāng)其迭代矩陣M-1N的譜半徑ρ(M-1N)<1.

        2 一類迭代改進法

        本節(jié)提出一類迭代法以求解線性方程組(1),并給出新方法的收斂性分析.

        設(shè)α>0是一個給定的參數(shù),利用分裂A=(αI+A)-αI,可以得到迭代格式:

        (αI+A)xk+1=αxk+b,k=0,1,2,….

        (3)

        或者:

        xk+1=(αI+A)-1αxk+(αI+A)-1b,k=0,1,2,…

        其中x0∈n是給定的初始向量.

        迭代法(3)作為一種迭代方法似乎沒有太大的應(yīng)用價值,這是因為與原方程組(1)相比,迭代法(3)需要求解一系列的方程組才能得到原方程組的解.但是,同原方程組相比,迭代法(3)中系數(shù)矩陣更加對角占優(yōu),當(dāng)原方程組很病態(tài)或者接近奇異時,適當(dāng)選取參數(shù)可以使得式(3)的系數(shù)矩陣病態(tài)降低從而易于求解.此外,如果利用某種方法已得到原方程組的一個近似解,那么可以利用迭代(3)進行改進,得到精度更高的一個解,這是迭代法(3)的理論意義及價值.

        以下分析迭代法(3)的收斂性.可以證明,當(dāng)系數(shù)矩陣為正穩(wěn)定矩陣時,迭代法總是無條件收斂的.

        定義1[14]設(shè)A∈n×n,若A的每個特征值都具有正實部,則稱A為正穩(wěn)定矩陣.

        定理2 設(shè)線性方程組(1)的系數(shù)矩陣A∈n×n為正穩(wěn)定矩陣,則對任意的參數(shù)α>0,迭代法(3)是收斂的.

        證明式(3)的迭代矩陣為Lα=(αI+A)-1α,由定理1可知迭代法(3)收斂當(dāng)且僅當(dāng)ρ(Lα)<1.因此,只需要驗證Lα的每個特征值的模都嚴(yán)格小于1.

        正穩(wěn)定矩陣包含了很多常見的矩陣,如實對稱正定矩陣、非對稱正定矩陣[9]、非奇異M-矩陣[15]等,因此迭代法(3)的應(yīng)用范圍是較為廣泛的.

        容易發(fā)現(xiàn),迭代法(3)的數(shù)值效果與參數(shù)α的選取密切相關(guān).一方面,參數(shù)α越大,迭代(3)的系數(shù)矩陣越對角占優(yōu),從而越容易求解;另一方面,參數(shù)α又不能太大,否則迭代(3)會收斂很慢.因此,選取合適的參數(shù)很重要.在應(yīng)用中,一般應(yīng)該把參數(shù)α盡量選擇小些.

        另外,在迭代法(3)的每步計算中,如何有效求解方程組也是比較重要的,這時可以利用直接法去求解,如LU分解,也可以用迭代法如SOR或者共軛梯度法等去求解.

        當(dāng)線性方程組(1)的系數(shù)矩陣為一般的方陣時,可以考慮其對應(yīng)的正則化方程組:

        ATAx=ATb.

        應(yīng)用迭代法(3)于上述正則化方程組可得迭代:

        (αI+ATA)xk+1=αxk+ATb,k=0,1,2,…

        (4)

        由于ATA是實對稱正定的,根據(jù)定理2上述迭代是收斂的.迭代法(4)的缺陷是增大了條件數(shù),但是擴大了迭代法(3)的應(yīng)用范圍.

        3 數(shù)值算例

        本節(jié)中,通過兩個數(shù)值例子來驗證所提出的新方法的可行性和有效性,并分別給出利用Matlab中基本命令“x=A”直接求解以及利用新方法計算的結(jié)果.實驗中,所有的程序都用MATLAB(R2012a)編寫并在筆記本(2 G CPU和8 G內(nèi)存)上運行.

        例1 考慮線性方程組Ax=b,其中A為n階Hilbert矩陣,b為n維列向量,且選取b使得方程組的精確解為x*=(1,1,…,1)T.隨著n的增大,系數(shù)矩陣的條件數(shù)急劇增長,方程組變得非常病態(tài)[13].

        表1 兩種方法求得解的精度Tab.1 The accuracy of solution by the two methods

        此外,當(dāng)n=20時,對于參數(shù)α不同的值,表2中給出了迭代法(3)要達(dá)到同樣精度所需要的迭代次數(shù).從表2中可知,參數(shù)α選取太大,迭代法(3)收斂很慢,只有參數(shù)選取較小些,方法才是比較有效的.

        表2 參數(shù)取不同值時迭代法(3)所需的迭代次數(shù)Tab.2 The number of iterations by iteration method (3) with different parameters

        例2 考慮線性方程組Ax=b,其中:

        選取b使得方程組的精確解為x*=(1,1,…,1)T.隨著n的增大,系數(shù)矩陣的條件數(shù)增長很快,方程組變得非常病態(tài)[13].

        表3 兩種方法求得解的精度Ta.3 The accuracy of solution by the two methods

        表4 迭代法(4)所得解的精度與迭代次數(shù)的關(guān)系Tab.4 The precision of the solution by iteration method (4) with the number of iterations

        由上述兩個數(shù)值算例可見,新方法是可行的,而且也是有效的.

        4 結(jié)語

        本文提出了一類求解病態(tài)線性方程組的迭代法.理論分析和數(shù)值例子表明,新方法是可行的,而且在一定情況下可以求得較高精度的解.但是新方法中的參數(shù)選擇比較困難,如何選擇合適的參數(shù)是一個較為復(fù)雜的問題,這有待進一步的研究.

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