李輝

摘? 要： 針對大規(guī)模平面設計中對圖像去噪與失真還原的低復雜度要求，文中提出基于回溯分段正則化最優(yōu)匹配的壓縮感知圖像處理方法。在構建壓縮感知信號模型的基礎上，推導圖像重構的等價最優(yōu)化問題。此外，為了降低最優(yōu)化問題求解的復雜度，通過正則化二次處理與分段篩選，在保證圖像重構質(zhì)量的同時，可以有效地減少圖像處理時間。仿真實驗結果表明，所提算法對于不同的圖像及采樣率均具有良好的重構質(zhì)量，且相對于正交匹配算法，其復雜度顯著降低。

關鍵詞： 平面設計; 圖像處理; 壓縮感知; 正則化處理; 分段篩選; 仿真實驗

中圖分類號： TN911.73?34? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2020）18?0019?03

Abstract： In allusion to the requirements of low complexity for the image de?noising and distortion restoration in the large?scale graphic design， a method of compressive sensing image processing based on backtracking piecewise regularization optimal matching is proposed. The? equivalent optimization of the image reconstruction is deduced on the basis of construction of compressive sensing signal model. In order to reduce the complexity of optimization solution， the regularization of secondary processing and segmentation screening are performed， by which the image processing time can be effectively reduced while the quality of image reconstruction is guaranteed. The simulation experimental results show that the proposed algorithm has good reconstruction quality for different images and sample rates， and its complexity is lower than that of the orthogonal matching algorithm.

Keywords： graphic design; image processing; compressive sensing; regularization processing; segmentation filtering; simulation experiment

0? 引? 言

隨著互聯(lián)網(wǎng)及自媒體的發(fā)展，平面設計的用戶需求呈現(xiàn)高速遞增的態(tài)勢，且平面設計對圖像設計的質(zhì)量與清晰度的要求也越來越高[1]。平面圖像從采集到傳輸過程中受噪聲等外界因素影響，可能產(chǎn)生失真的現(xiàn)象。而大規(guī)模失真圖像的修復還原則需要復雜度低，且可以精確重構圖像的方法[2?3]。

近年來，圖像重構問題得到了廣泛關注，眾多圖像重構算法也得到了進一步發(fā)展。為了克服噪聲對于圖像的影響，文獻[4]在小波理論的基礎上研究了圖像去噪算法。壓縮感知算法通過原子字典的匹配，從而實現(xiàn)最優(yōu)化的匹配選擇，可以有效處理圖像模糊失真的問題，因此被廣泛應用于圖像處理領域[5?6]。為了降低算法復雜度，基于分塊處理的壓縮感知算法得到了進一步開發(fā)[7?8]。為兼顧去噪與圖像還原的功能，小波理論與壓縮感知算法相結合的圖像處理算法成為一個新的方向[9?10]。

本文針對大規(guī)模圖像失真還原的問題，研究了基于改進型壓縮感知的圖像處理技術。在壓縮感知理論的基礎上，文中構建了圖像重構信號模型，推導了圖像重構的等價最優(yōu)化問題，提出基于回溯分段正則化最優(yōu)匹配的壓縮感知算法，利用正則化二次篩選與分段化處理，可以在降低算法運行時間的同時保證圖像重構效果。仿真分析驗證了所提算法大幅降低了運算的復雜度，且對于不同圖形和采樣率均具有良好的魯棒性。

1? 系統(tǒng)模型

在平面設計及圖像處理過程中，受噪聲的影響，圖像難免會出現(xiàn)信息丟失、圖像失真的情況。為了對圖像去噪的同時，精確重構平面設計圖像，可以采用壓縮感知方法對失真圖像進行填充。

首先，對圖形數(shù)據(jù)進行建模，圖形數(shù)據(jù)可以建模成矩陣形式。圖像矩陣是以像素點的形式存儲，因此矩陣是稀疏的。利用壓縮感知算法，可以將高維的圖形矩陣投影到低維空間，并通過匹配最優(yōu)算法進行最優(yōu)化求解。利用低維觀測信號矩陣將原信號矩陣重構，從而實現(xiàn)失真圖像重構。壓縮感知信號重構模型如圖1所示。

從圖1可以看出，假設圖形矩陣為[x]，觀測矩陣為[Φ]，則信號測量模型可以表示為：

在已知觀測矩陣與測量結果的情況下，可以使用一維范數(shù)定義，恢復原始圖形矩陣：

2? 問題推導

式（1）中，圖形信號矩陣[x]是稀疏的，假設其稀疏度為K，因此式（2）可以轉化為求解[l0]范數(shù)下的優(yōu)化問題：

式中，[x0]為[x]的[l0]范數(shù)，表示圖形矩陣中非零元素的個數(shù)。假設觀測值是理想結果，則[Βy=xΦx=y]。但在實際情況下，觀測信號矩陣通常會受到噪聲的影響，因此最優(yōu)問題的約束域可以定義為：

通常將圖形矩陣看作為稀疏矩陣，但也會出現(xiàn)圖形矩陣稀疏度較低或非稀疏的情況。在這種情況下，可以使用矩陣變換方法將非稀疏圖形矩陣映射為稀疏矩陣，定義系數(shù)矩陣[M]，則有：

式中，映射矩陣[Ψ]是先驗的。則原圖形矩陣的恢復問題可以轉化為對映射后的稀疏矩陣的重構問題：

其中，包含噪聲的情況下[Βy]可以定義為：

由于矩陣[M]是稀疏的，因此式（6）是一個NP?hard問題，無法進行求解，必須進行近似等價，利用凸近似理論。[l0]范數(shù)求解問題可以轉化為[l1]范數(shù)求解：

3? 改進型壓縮感知圖像處理

式（8）本質(zhì)上是一個凸優(yōu)化問題，凸優(yōu)化問題可以轉化為定義域內(nèi)的線性優(yōu)化問題?？紤]到噪聲及重構誤差的影響，式（8）可以表示為：

考慮到簡單的線性優(yōu)化方法復雜度較高，因此本文使用改進型壓縮感知方法實現(xiàn)最優(yōu)圖形矩陣的重構。

壓縮感知算法是通過建立原子字典，利用原子字典與信號矩陣的線性組合生成一系列待選矩陣。計算待選矩陣與觀測矩陣之間的誤差，選擇誤差最小的待選矩陣，從而獲得相應的原子字典序列。經(jīng)過若干次迭代，即可獲得殘差值滿足要求的圖形重構矩陣。本質(zhì)上而言，壓縮感知算法是屬于匹配最優(yōu)算法的一種。通過先驗序列與觀測矩陣的最優(yōu)化匹配，獲得一個最優(yōu)逼近的圖形稀疏矩陣，從而達到圖像重構與降噪的目的。

當經(jīng)過若干次迭代后，重構的圖形矩陣與觀測矩陣之間的殘差極小。假設此時的原子序列為[?]，則有：

經(jīng)過若干次迭代，重構殘差收斂。假設迭代次數(shù)為T，圖形矩陣維度為[M×N]，則迭代最優(yōu)匹配算法的復雜度為[OMNT]，圖像重構的處理時間與迭代次數(shù)及圖形矩陣維度線性相關。當圖形維度較大時，需要的迭代次數(shù)也較高，此時圖像處理所需的時間較長。在處理大規(guī)模圖像數(shù)據(jù)時，處理時間將是一個較大的開銷。

因此，本文提出基于改進型的壓縮感知算法，通過回溯正則化分段最優(yōu)匹配算法，在每次迭代前對原子字典序列進行正則化選擇。將符合條件的原子序列組成一個新的集合，并選取其中若干個不相關的原子序列構成支撐集合。支撐集合中元素的個數(shù)決定算法的復雜度與迭代時間。

采用正則化二次篩選，可以實現(xiàn)小范圍的正交匹配追蹤，既可以保證逼近最優(yōu)匹配重構值，又可以避免過多的字典原子序列的迭代復雜度。本文提出的基于回溯分段正則化最優(yōu)匹配的改進型壓縮感知算法步驟，如下所示。

4? 仿真驗證及數(shù)據(jù)分析

為了驗證所研究的改進型壓縮感知算法對于平面設計圖像處理的適用性。本文分別對不同采樣率下多幅圖像重構的PSNR進行對比，并在不同的壓縮比下比較圖像行列感知PSNR及其差值。另外，為了說明所提算法的復雜度和運行時間，文中在不同圖像采樣率條件下比較所提算法與OMP正交匹配算法的運行時間。

在不同采樣率條件下對4幅圖進行稀疏采樣重構，其PSNR分布如表1所示。雖然對于不同的圖像，在同一采樣率情況下PSNR大小不同。但從整體趨勢上可以看出，在采樣率低于40%時，4幅圖像的PSNR均在31 dB左右，遠不能滿足PSNR大于36 dB的重構需求。當采樣率大于60%時，4幅圖像的PSNR均大于36 dB，則圖像重構效果達到要求。

由表2可以看出，在不同壓縮比下，基于本文所提算法對圖像進行重構，基于行感知的圖像重構要優(yōu)于列感知的圖像重構方法。這說明文中所提方法對行感知圖像重構更加適用，且重構質(zhì)量較好。

由表3可以看出，隨著圖像采樣率的提高，2種算法的圖像重構時間在不斷增加;且在多種采樣率條件下，本文所提算法的運行時間均約為OMP正交匹配方法運行時間的[13]，說明文中所提算法具有較低的復雜度。

5? 結? 語

為了滿足平面設計圖像處理的需要，本文提出改進型的壓縮感知圖像處理算法。在構建壓縮感知圖像重構模型及等價優(yōu)化問題的基礎上，文中利用分段回溯及正則化二次篩選與分段化處理，減少原子字典集合中的元素個數(shù)，在保證圖像重構質(zhì)量的同時降低算法的復雜度。仿真實驗證明，文中所提算法對于不同圖像及壓縮比均有良好的魯棒性，且大幅降低了算法運行時間。

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