吳 玲， 張大長

(南京工業(yè)大學 土木工程學院， 江蘇 南京 211800)

拉線塔是一種兼具力學性能和經(jīng)濟效應的結(jié)構(gòu)，能以較少的耗材承受較大的荷載，被廣泛應用于通訊、氣象及電力行業(yè)。拉線塔是由與地鉸接的剛性塔身和柔性拉索組成的“剛?cè)峤Y(jié)合”結(jié)構(gòu)，側(cè)向拉索為塔身提供較好的水平抗側(cè)剛度、抗扭剛度。

拉索不同于彈性拉桿，豎向有較大弧垂，表現(xiàn)出高柔度、強非線性的力學行為。文獻[1]基于拉索彈性懸鏈線的精確解析式，通過迭代得到了考慮自重和初應力影響的拉索單元剛度矩陣，并研究了懸索式鋼格構(gòu)塔架在斷線荷載下的響應。文獻[2]基于廣義變分原理推導了拉索等效彈性模量，根據(jù)結(jié)構(gòu)受力特點得到了立柱在線路方向的剛度。文獻[3]將桅桿拉索簡化為彈簧，利用ANSYS軟件進行模態(tài)分析得到結(jié)構(gòu)自振頻率及振型。

拉索參數(shù)及垂直于拉索弦向荷載的變化，都將會對拉線塔的水平剛度產(chǎn)生影響，其中拉索拉力是影響拉線塔結(jié)構(gòu)靜力、動力特性的主要因素[4]。ANSI/TIA-222-G《Structural Standard for Antenna Supporting Structures and Antennas》[5]規(guī)定拉索初應力應取斷裂應力的7%～15%，GB 50135—2006《高聳結(jié)構(gòu)設計規(guī)范》[6]規(guī)定，拉索初應力應綜合考慮立柱變形、桿身的內(nèi)力和穩(wěn)定以及拉索承載力等因素，宜在100～250 N/mm2范圍內(nèi)選用。拉索對地傾角一般在30°～60°，傾角過大，會導致拉索內(nèi)力、塔身軸力、塔身水平位移增加，造成拉線塔整體受壓失穩(wěn)；傾角過小，造成占地面積過大。拉線塔結(jié)構(gòu)的拉索在平面內(nèi)一般為中心對稱布置，常見的為三方、四方拉索布置。水平風荷載作用方向的變化將引起結(jié)構(gòu)內(nèi)力和桿件位移的變化，文獻[7]利用SAP2000軟件分析得到了四方格構(gòu)式桅桿在不同風向角下的塔身位移曲線，研究表明：在風向角為0°時各層拉索拉力和塔身位移同時達到最大，在風向角為45°時兩者最小。

拉線塔分析及設計的復雜性在于拉索的幾何非線性以及拉線塔立柱不可忽略的二階效應。目前求解主要采用有限元法及簡化模型法，用有限元法進行結(jié)構(gòu)離散后的單元分析，最終可歸結(jié)為求解一組非線性方程[8]。拉線塔結(jié)構(gòu)可簡化為兩種模型[9,10]：(1)將拉線塔立柱簡化為三維格構(gòu)式桁架，拉索簡化為索單元；(2)將拉線塔整體簡化為非線性彈性支承的梁柱模型。前者在運算中將產(chǎn)生較多自由度，運算復雜，后者運算簡便，同時也能提供較為合理的求解[11]。本文綜合了上述兩種模型，在三維格構(gòu)式拉線塔求解結(jié)果的基礎上，采用非線性彈性支承梁柱模型進行結(jié)構(gòu)校核。

首先建立了拉索微元受力平衡方程，通過積分并求解平衡方程得到拉索的拋物線索形；基于靜力平衡狀態(tài)下拉索的變形增量，推導得出單根拉索對立柱的支撐剛度，從影響拉索水平靜力剛度的初始預拉力、對地夾角、拉索自重及所受風荷載大小三個方面進行了參數(shù)化分析；推導了不同風向角下水平剛度的變化規(guī)律；最后，通過格構(gòu)式模型與彈性支承模型的側(cè)向變形對比，驗證了拉索非線性靜力剛度推導的準確性，并探究了拉索參數(shù)及風向角對結(jié)構(gòu)受力變形的影響規(guī)律。

1 拉索非線性靜力剛度推導

1.1 拉索拋物線模型

某等高拉索的受力模型如圖1所示，圖中：拉索弦向為x軸；垂直于弦向為y軸；拉索原長為L；軸向拉力為TA；弦向拉力為TH；拉索受垂直于弦向的均布荷載為q；跨中垂直度為f。

圖1 拉索靜力模型

對圖示微元進行求解分析可得拉索拋物線方程及其對應弧長Sg分別為[12]：

(1)

(2)

拉索具有“大位移小應變”的幾何特征[13]，工作階段處于彈性狀態(tài)，滿足虎克定律。因此，由拉索拉力引起的變形增量為：

(3)

式中：E,A分別為拉索彈性模量和截面面積。

由式(2)(3)可求得拋物線模型對應的拉索總伸長量ΔS為：

(4)

本文給定某一拉索具體參數(shù)如表1所示，拉索初應力以100 MPa為基準，40 MPa為增量分別得到六種初應力大小。繪制不同拉線初應力下弦向應力隨伸長量變化如圖2所示，其中拉索原長為L，受拉伸長量為ΔL。

表1 某拉索參數(shù)

圖2 拉索弦向應力隨伸長量變化

由圖2可知，拉索弦向應力隨伸長量的增大呈現(xiàn)非線性增大趨勢，六種初應力情況下，拉索原長對應的弦向應力由小到大分別為：62，80，96，110，126，142 MPa，即在拉索具有相同伸長量時，初應力越大的拉索，弦向應力越大。

1.2 平面單索模型

1.2.1非線性剛度求解

平面拉線塔拉索受力體系如圖3所示，拉索弦向長度為L，對地傾角為α。拉線塔立柱受力而產(chǎn)生彎曲變形，拉線掛點由C移動到C′，拉索平面水平位移為u，豎向位移為w，左側(cè)拉索受拉伸長，右側(cè)拉索收縮索力減小。

圖3 平面拉線塔拉索受力模型

拉索受到弦向應力TH、豎向重力均布荷載qg，以及水平風荷載的作用，通過自身變形協(xié)調(diào)為拉線塔立柱提供非線性剛度。將倒三角風荷載等效為均布荷載qw，并基于以下基本假定推導拉索水平靜力剛度。

基本假定：(1)拉索處于彈性，滿足虎克定律；(2)不考慮拉索伸長前后拉索對地夾角變化；(3)拉索垂度較小，可采用拋物線模型；(4)忽略拉索受力在弦向的分量[14]。

由于拉線塔結(jié)構(gòu)位移主要由彎曲變形和剛性運動組成，拉索節(jié)點豎向位移w是水平位移u的二階極小值，可忽略[15]，因此根據(jù)圖3所示幾何關系及剛度求解公式，可推導得出拉索水平靜力剛度K為：

(5)

式中：T為索力水平分量。

分別代入式(3)(4)可求解得到單根拉索線性剛度Ke、幾何剛度Kg及非線性靜力剛度K：

(6)

(7)

(8)

qG=qgcosα+qwsinα

(9)

1.2.2 拉索相對剛度影響因素分析

為探究拉索拉應力σ及對地夾角α對拉索i的剛度Ki的影響，分別以α=15°，σ0=300 MPa的線性剛度為Keα,Keσ，繪制各拉索相對剛度Ki/Keα,Ki/Keσ曲線圖如圖4，5所示。

圖4 拉索相對剛度隨拉應力變化

圖5 拉索相對剛度隨對地夾角變化

由圖4可知，拉索靜力剛度隨拉應力的增加呈現(xiàn)出非線性先快后慢的增長趨勢，并最終趨于其線性剛度。五種不同對地夾角情況下，當拉索初始拉應力大于220 MPa時，拉索靜力剛度與線性剛度的差值均小于5%；五種不同對地夾角情況下，拉索相對剛度比值為：1 ∶ 0.806 ∶ 0.541 ∶ 0.265 ∶ 0.071。

由圖5可知，拉索相對剛度隨對地夾角增大而由1逐漸減小并趨于0；六種不同預應力情況下，最大相對剛度比值為：1 ∶ 0.998 ∶ 0.994 ∶ 0.987 ∶ 0.970 ∶ 0.918。

從以上分析可知，拉索拉應力大于220 MPa時，拉索非線性靜力剛度趨近于線性剛度，且受預應力影響減??；拉索對地夾角從15°到75°，每15°的角度增量使拉索最終相對剛度減小26%左右；拉索初應力大小對相對剛度的影響，在拉索對地夾角較小時更加明顯。

由式(9)可知，拉索自重及水平風荷載可等效為垂直于拉索弦向的均布荷載qG；拉索在qG作用下，會產(chǎn)生較大弧垂，從而引起拉索非線性剛度的變化。拉索對地夾角為45°時，不同初應力下qG對拉索相對剛度的影響如圖6所示，其中相對剛度為非線性剛度與線性剛度比值。

圖6 相對剛度隨垂直于弦向均布荷載的變化

由圖6可知，隨著qG從0逐漸增大，相對剛度由1逐漸減小；當qG=60 N/m時，六種不同初應力情況下，相對剛度數(shù)值由大到小為：0.988，0.982，0.972，0.949，0.899，0.764，當qG=120 N/m時，相對剛度數(shù)值由大到小為：0.956，0.934，0.896，0.825，0.689，0.447；當qG對拉索非線性剛度影響小于5%時，可忽略此種情況下的拉索荷載，初應力由100 MPa增大到300 MPa，拉索靜力剛度與其線性剛度差值小于5%所對應的qG數(shù)值分別為：20，40，60，80，100，120 N/m。

從以上分析可知，當qG大小為0時，初應力大小不影響拉索非線性剛度；隨著qG逐漸增大，初應力的大小對相對剛度的影響逐漸增大。

綜上所述，拉索剛度隨初應力σ0、對地夾角α及風荷載與拉索自重qG的變化而非線性變化。原因在于，當初應力σ0增大、qG減小時，拉索弧垂將會隨之減小，幾何非線性特征隨幾何剛度增大而逐漸消失，拉索剛度增大，最終趨近于拉索線性剛度，此時拉索可近似等效為彈性桿。當夾角α逐漸增大，拉索對塔身約束力的水平分量減小，拉索剛度呈現(xiàn)減小趨勢。

1.3 任意風向角下三方拉索剛度

為推導不同風向角下，各個方向拉索為立柱提供抗側(cè)剛度的大小，建立三方拉線塔簡化模型，如圖7所示，規(guī)定從拉索錨地點到立柱錨地點的方向向量與風荷載方向向量的夾角為單根拉索風向角βi，已知單根拉索沿拉索平面的非線性剛度為K。

圖7 三方拉線塔在β風向角下拉索簡化模型

迎風面、背風面拉索伸長量ΔS1,ΔS2,ΔS3分別為：

ΔS1=ucosαcosβ1

(10)

ΔS2=ΔS3=-ucosαcosβ2

(11)

風向角βi下，單根拉索為立柱提供的剛度ki為：

(12)

則三方拉線塔所受水平風荷載可表示為：

(13)

因此可得三方拉索為拉線塔立柱提供的等效剛度keq為：

(14)

2 拉線塔計算理論

2.1 風荷載計算

塔身所受風荷載為：

Wk=βzμsμzW0Ak

(15)

式中：Wk為塔身風荷載標準值(kN)；βz為高度z處的風振系數(shù)；μs，μz分別為風荷載體型系數(shù)及風壓高度變化系數(shù)；W0為基本風壓(kN/m2)；Ak為塔身承受風壓的投影面積(m2)。以上參數(shù)均按照文獻[16]進行選取計算。

2.2 拉線塔等效靜力模型及計算理論

通過理論計算得到拉線塔各層三方拉索為塔身提供的抗側(cè)剛度keq-i，將拉線塔立柱等效為連續(xù)梁，拉索等效為彈簧，建立彈性支座連續(xù)梁模型，如圖8所示，其中水平風荷載等效為n段均布荷載qi，彈性支座內(nèi)力計算如圖9所示。

圖8 拉線塔簡化彈性支座連續(xù)梁模型

圖9 彈性支座連續(xù)梁內(nèi)力計算

因此可得下式：

(16)

求解柔度系數(shù)可得：

(17)

用靜力法可解得彈性支座連續(xù)梁彎矩及彈簧反力，進而對拉線塔等效模型側(cè)向位移進行求解。

3 拉線塔模擬分析

3.1 拉線塔模型

選取某100 m高的三方四層格構(gòu)式拉線塔，塔身采用鋼管截面，拉索采用索單元，材料采用Q235鋼材，塔底與拉索對地均為鉸接，建立有限元分析模型。迎風面弦桿標記為A，背風面兩弦桿標記為B，C，為探究拉線塔各部位受力及變形，選取6處典型高度的18個節(jié)點，分別為JA1～JA6,JB1～JB6,JC1～JC6，以及4處典型高度的12根弦桿，分別為EA1～EA4,EB1～EB4,EC1～EC4，進行分析。桿件、節(jié)點位置及拉線塔相關參數(shù)如圖10所示。

圖10 拉線塔規(guī)格及參數(shù)/m

3.2 拉線塔內(nèi)力及變形研究

3.2.1 側(cè)向變形

對三方四層拉線塔建立初始預應力分別為100，140，180，220，260，300 MPa的模型，利用有限元分析軟件對模型進行求解，繪制其在風荷載作用下的側(cè)向變形，如圖11所示。

圖11 不同初應力下塔身側(cè)向變形

在風荷載下拉索預應力為180 MPa的拉線塔變形如圖12所示，在橫向風荷載作用下，拉線塔產(chǎn)生沿荷載方向的彎曲變形，塔頂產(chǎn)生水平及豎向位移。迎風面拉索受拉增長，背風面兩根拉索收縮索力減小，盡管此時材料仍處于彈性階段，但結(jié)構(gòu)整體位移較大，表現(xiàn)出大位移小應變的非線性特征。

圖12 風荷載下三方四層拉線塔的變形

由圖11可知，塔身側(cè)向位移受拉索初應力及高度影響，六種不同初應力情況下，塔頂位移由大到小依次為：126，101，91，87，85，84 mm，因此可得：當拉索初應力較小時，提升拉應力能有效控制側(cè)向位移；隨著高度增加，側(cè)向變形圖斜率逐漸降低，變形更加明顯。

拉線塔立柱相當于外伸懸臂梁，三方拉索可看作為塔身提供側(cè)向剛度的彈簧，在水平風荷載作用下，塔身產(chǎn)生較大彎矩，進而彎曲變形。拉索初應力越大，其為塔身提供的抗側(cè)剛度越大，塔身側(cè)向變形越??；隨著高度增加，塔身風荷載增大，變形增大，索力的豎向分量會使得塔身軸力變大，二階效應使得沿荷載方向的位移更加明顯。

不同初應力下，拉線塔局部節(jié)點變形影響曲線如圖13所示，圖中節(jié)點Ji的位移為節(jié)點JAi,JBi,JCi位移均值。

圖13 不同初應力下塔身節(jié)點位移變化

由圖13可知，當初應力為100 MPa時，節(jié)點J1～J6的橫向位移依次為：9，26，36，53，89，126 mm，當初應力為300 MPa時，節(jié)點J1～J6的橫向位移依次為：9，23，31，43，63，84 mm；隨著初應力的增大，各節(jié)點位移逐漸減小，并最終趨于不變；節(jié)點位移隨高度增大而增大。

分析其原因，塔身所受風荷載隨立柱高度增加而增大，在較高處的節(jié)點將產(chǎn)生更大的橫向變形；當拉索弧垂較大時，增大拉索初應力可有效增大拉索幾何剛度，從而使得節(jié)點橫向位移減小，當拉索弧垂較小時，拉索非線性剛度趨近于線性剛度，增大初應力對節(jié)點位移影響不大；由于上層拉索與下層拉索相比，長度更長，在相同的預應力作用下，弧垂更大，幾何非線性更加明顯，因此位于上部的節(jié)點J4～J6受拉索預應力影響變化大且迅速，而位于下部的節(jié)點J1～J3，在較低的初應力作用下，拉索提供的水平靜力剛度已接近于拉索線性剛度，水平位移隨預應力的增大變化小且緩慢。

3.2.2 主材內(nèi)力

不同初應力下拉線塔桿件軸力隨塔身高度的變化如圖14所示，其中迎風面、背風面弦桿軸力變化如圖15所示，軸力均為絕對值。由于B，C處弦桿關于風荷載方向?qū)ΨQ，其軸力差距很小，因此僅提取B處弦桿軸力進行對比。

圖14 桿件軸力沿塔身高度的變化

圖15 不同初應力下迎風面、背風面桿件軸力變化

由圖14可知，桿件軸力隨高度變化呈現(xiàn)“階梯型”變化趨勢，在拉索掛點處，桿件軸力發(fā)生突變；隨著初應力增大，桿件軸力逐漸增大；在塔頂部懸臂端，桿件軸力與初應力的變化無關。

由圖15可知，當初應力為100 MPa時，桿件EA1～EA4軸力依次為：231，115，78，26 kN，桿件EB1～EB4軸力依次為：185，98，39，17 kN；當初應力為300 MPa時，桿件EA1～EA4軸力依次為：449，235，137，26 kN，桿件EB1～EB4軸力依次為：396，194，87，17 kN；桿件EA1～EA3,EB1～EB3軸力隨初應力增大而增大，桿件EA4,EB4軸力不隨初應力變化而變化。

原因在于，拉線塔在拉索與風荷載作用下，塔身整體發(fā)生彎曲變形及軸向壓縮。位于塔頂懸臂段中部的桿件EA4,EB4由于不受拉索拉力影響，軸力非常小，位于底端的桿件EA1,EB1軸向壓縮受各層拉索拉力的豎向分量及塔身自重的影響，因此軸力最大，且隨拉索預應力增大變化最快。同時，迎風面拉索受拉，索力變大，背風面拉索收縮，索力減小，在迎風面桿件在拉索作用下，其軸力大于同高度背風側(cè)的桿件軸力。

3.2.3 風向角

為驗證本文1.3節(jié)推導的拉索剛度隨風向角變化的規(guī)律，利用有限元分析軟件對三方四層拉線塔不同風向角位移進行求解。選取對地傾角α=45°，風向角β從0°到360°，以30°為增量，如圖16所示，分析得到塔頂位移變化規(guī)律如圖17所示。

圖16 風向角示意

圖17 不同風向角塔頂位移變化規(guī)律

由圖17可知，隨著風荷載方向的360°變化，拉線塔塔頂位移數(shù)值連線形成類似于“三葉草”的曲線，風向角β為0°，120°，240°時，塔頂位移最小，風向角β為60°，180°，300°時，塔頂位移最大；曲線隨初應力增大而逐漸變圓，不同風向角下，當拉索初應力大于220 MPa時，可得塔頂最大位移與最小位移之間差值小于5%，曲線接近圓形。

對于單軸對稱的三方拉線塔結(jié)構(gòu)，當風荷載沿對稱軸施加時，塔身將沿荷載方向偏移，當風荷載沿非對稱軸施加時，塔身位移將與荷載施加方向產(chǎn)生θ角偏移，以β=30°為例，繪制偏移角θ隨預應力變化規(guī)律如圖18所示。

圖18 偏移角θ隨初應力變化

由圖18可知，拉索初應力由100 MPa增長到300 MPa，塔身位移產(chǎn)生的與荷載方向的偏移角θ由11°降低到0.3°。

風荷載與拉索對稱平面夾角越小時，拉索的初始預應力越能最大限度提高對塔身的支撐剛度，從而減小水平位移。拉索初應力增大使拉索幾何非線性特性逐漸消失，風向角對拉索提供的水平剛度的影響降低，偏移角迅速減小，拉線塔在各個方向的剛度趨于一致。

3.3 有限元與理論結(jié)果對比

基于本文推導得出的拉索非線性靜力剛度，利用2.2節(jié)的計算理論，對彈性支座連續(xù)梁側(cè)向位移進行求解，求解結(jié)果與有限元計算結(jié)果對比如圖19所示。

圖19 理論結(jié)果與有限元結(jié)果對比

由圖19可知，彈性支座連續(xù)梁的理論解和有限元模擬的結(jié)果最大差值小于1%，由此說明本文推導出的非線性靜力剛度能夠模擬出拉索在自重及風荷載作用下的非線性行為，計算相對簡單且具有較高精度。

4 結(jié) 論

基于上述理論研究和有限元分析，可以得到如下幾條結(jié)論：

(1)基于拉索變形增量和三方拉線塔幾何關系推導得出拉索非線性剛度，能準確模擬出拉索在自重、風荷載作用下的非線性行為。

(2)將拉線塔立柱等效為連續(xù)梁，三方拉索等效為彈簧支座進行求解，能減少結(jié)構(gòu)自由度，并快速精確地求解出拉線塔位移。

(3)拉索水平靜力剛度隨初應力的增大、對地夾角的減小而非線性增大，最終都趨近于其線性剛度。當拉索靜力剛度與線性剛度差值小于5%時，拉索初應力大于220 MPa，此時若拉索自重及所受風荷載在拉索弦向的分量小于80 N/m，則可忽略拉索荷載對剛度的影響。

(4)風向角從0°到360°變化，結(jié)構(gòu)側(cè)向位移曲線將呈現(xiàn)“三葉草”形狀；隨著拉索初應力增加，各風向角剛度趨于一致。