尹紫微， 駱漢賓， 劉文黎， 方 洋， 陳 健

(1. 華中科技大學 土木工程與力學學院， 湖北 武漢 430074； 2. 武漢市公安交通管理局， 湖北 武漢 430030)

地鐵作為城市軌道交通網絡中的關鍵基礎設施之一，是維持城市正常運轉中至關重要的一環(huán)[1]。由于復雜的周邊環(huán)境和多種不確定因素的共同作用，地鐵隧道結構在其運營期的服役性能不可避免地降低。因此，在隧道運營管理中，需要及時采用合適的措施來保證隧道的正常運營性能，而其中的關鍵點就是準確定義隧道結構性能，精確評估隧道結構的安全狀態(tài)[2]。

為了評估盾構隧道在運營期間的安全狀態(tài)，通常采用定性或定量指標，進行隧道結構的性能評價。其中定性指標指對隧道結構的定性描述，包括結構破壞指數(shù)，隧道結構安全狀態(tài)等[3]。但是用這些定性指標來描述隧道的安全狀態(tài)，往往存在許多模糊性和不確定性問題[4]。另外，一些學者采用定量的監(jiān)測指標來評估運營隧道的安全性，例如隧道的變形值、應力、應變等參數(shù)。張志國等[5]結合現(xiàn)場監(jiān)測資料，對盾構隧道下穿施工中對既有隧道的影響。黃宏偉等[6]通過隧道的監(jiān)測數(shù)據(jù)來判斷隧道的性能。

在對隧道進行安全性評估中，常用的方法是可靠性分析，可靠性分析需要研究多種參數(shù)，如收斂變形、沉降、分段裂縫和滲水等，本文選取兩個主要參數(shù)，即收斂變形和不同沉降來進行結構可靠性分析。當前對可靠性分析的研究通常采用Nataf分布來構造二元變量的相依結構[7]，最近，基于Copula理論的方法為二元變量的聯(lián)合分布提供了新的思路[8]。 Copula模型能夠有效地表征多元變量間的相依性，將多元函數(shù)的聯(lián)合分布分解為其邊緣分布耦合的形式。而在以往的研究中，學者們常常采用有限的Copula函數(shù)，如Gaussian，t，F(xiàn)rank，Gumbel，Clayton等，然而事實上有多種Copula函數(shù)可供選擇，基于此，本文選擇26種Copula函數(shù)，分析不同Copula函數(shù)構建的參數(shù)相依性模型的區(qū)別。

另外，在Copula參數(shù)的計算中，通常采用的參數(shù)估計方法是局部優(yōu)化算法，例如Newton-Raphson方法。局部優(yōu)化方法主要是基于梯度的搜索算法，可能計算出局部最優(yōu)的結果。為解決這個問題，學者們提出了貝葉斯推理法來計算Copula參數(shù)，如馬爾可夫鏈蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo，MCMC)算法，這是一類從高維復雜分布中進行抽樣的統(tǒng)計方法，可用于從高維復雜分布中抽樣，通過貝葉斯分析得到參數(shù)后驗分布。因此，本文對比采用局部優(yōu)化和MCMC算法用于估計Copula參數(shù)。

本文首先采用26種Copula函數(shù)構建參數(shù)的相依性模型；再使用兩種不同的參數(shù)估計算法對比分析Copula模型中的待定參數(shù)，接著進行最優(yōu)Copula函數(shù)的識別，并通過蒙特卡羅模擬(Monte Carlo Simulation，MCS)評估隧道結構的系統(tǒng)可靠性。最后以武漢市地鐵3號線的后湖大道至市民之家區(qū)間H-C為工程背景，構建隧道凈空收斂(Convergence Deformadon，CD)和差異沉降(Differential Settlement，SD)的二元聯(lián)合分布函數(shù)模型，進行參數(shù)評估及最優(yōu)Copula模型識別，通過MCS方法分析出該段隧道的安全可靠度。

1 隧道結構可靠性分析模型

1.1 Copula理論

Copula方法基于Sklar定理，Sklar定理可用來構建多維參數(shù)聯(lián)合分布，分為兩個步驟：(1)將采集的樣本數(shù)據(jù)進行邊緣分布函數(shù)擬合和優(yōu)選；(2)識別最優(yōu)Copula函數(shù)。

Sklar定理具體內容為：設F(x1,x2,…,xn)為邊緣分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1),F(x2),…,F(xn)。存在對于所有真實的n維Copula，x1,x2, …,xn有：

F(x1,x2,…,xn)=C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))

(1)

式中：C為F(x1),F(x2),…,F(xn)的Copula函數(shù)。

對于兩個隨機變量x1，x2的參數(shù)聯(lián)合分布如下：

F(x1,x2)=C(F1(x1),F2(x2);θ)=C(μ1,μ1;θ)

(2)

式中：C(μ1,μ1;θ)為Copula函數(shù)中的待定參數(shù)；θ為描述x1，x2之間相依性的參數(shù)。

1.2 Copula函數(shù)的選擇

Copula函數(shù)可用來表征二元變量間的關聯(lián)性，本文采用了26種Copula函數(shù)，用于建立凈空收斂(CD) 和差異沉降(SD) 的二元離散相依模型，其中包括一些在可靠性分析文獻中尚未充分探討的Copula函數(shù)，采用不同Copula函數(shù)表征的二元離散相依模型一般不同。為節(jié)省篇幅，26種Copula函數(shù)表達式見參考文獻[9]。

1.3 Copula函數(shù)相關參數(shù)估計

為了評估Copula模型中的參數(shù)，本文對比采用了局部優(yōu)化算法與混合MCMC算法。

1.3.1 局部優(yōu)化算法

局部優(yōu)化算法使用了基于梯度的“內點”優(yōu)化算法，該算法使用擬牛頓法近似估計，通過搜索可行空間找到最優(yōu)解。為估計Copula參數(shù)，本文從不同的隨機起點重復搜索30次，最大程度地降低了陷入局部最小值的可能性。

1.3.2 混合MCMC算法

基于統(tǒng)計理論，馬爾可夫鏈蒙特卡洛算法(MCMC)通過在高維概率空間中隨機采樣以近似興趣參數(shù)(Parameter of Interest)的后驗分布?；旌螹CMC算法能夠在一次計算中設計多個計算起點，形成多個并行計算鏈，同時搜索多個空間，以找到全局最優(yōu)估計值。本文采用混合MCMC法近似地估計Copula參數(shù)的后驗分布。

本文提出的混合MCMC的計算過程如下：

步驟1：使用LHS(Latin Hypercube Sampling)算法對整個先驗空間進行隨機搜索。選擇具有最高似然值L(·|·)的樣本作為馬爾可夫鏈的起點。

步驟2：為使轉移概率可能性多樣化，混合MCMC算法隨后分別進行了10%的Snooker更新方向和90%的平行更新方向。

步驟3：對于平行更新方向，為了使轉移概率算法多樣化，允許NAM鏈使用自適應Metropolis法(Adaptive Metropolis)，其余N鏈使用差分進化(Differential Evolution)算法進行采樣。

步驟4：使用Metropolis比率來確定接受/拒絕投標樣本，然后使用Gelman-Rubin診斷程序來判斷馬爾科夫鏈的收斂性。

與局部優(yōu)化算法相比，混合MCMC算法的優(yōu)勢在于可以保證找到全局最優(yōu)估計，并能反應參數(shù)估計的不確定性。

1.4 最優(yōu)Copula函數(shù)識別

(3)

式中：s為常數(shù)。

Copula參數(shù)θ確定之后，可以得到唯一的Copula聯(lián)合分布函數(shù)和Copula聯(lián)合概率密度分布函數(shù)，進而通過AIC(Akaike Information Criterion)準則和BIC(Bayesian Information Criterion)準則，識別出最優(yōu)的Copula函數(shù)，如下式所示：

(4)

(5)

區(qū)分出最優(yōu)Copula函數(shù)后，可通過極大似然法評估所識別的Copula模型擬合優(yōu)化后的效果，Copula模型擬合效果與RMSE(Root-Mean-Square Error)，NSE(Nash-Sutcliffe Efficiency Coefficient)的參數(shù)值相關聯(lián)，值越小說明擬合效果越好，如式(6)(7)所示。

(6)

(7)

1.5 地鐵隧道結構的可靠性分析

地鐵隧道結構的失效模式通常被視為一個串聯(lián)系統(tǒng)[10]。對于具有k個失效模式的串聯(lián)系統(tǒng)，其中任何一個失效模式都將導致整個系統(tǒng)失效。本文將系統(tǒng)的失效概率作為判斷盾構地鐵隧道結構可靠性的基礎。

根據(jù)已建立的Copula模型，可采用蒙特卡洛模擬法確定系統(tǒng)的失效概率，計算公式為：

pfs=P(g1(X)≤0∪g2(X)≤0∪…∪gk(X)≤0)

(8)

gi(X)=kp-yi(X)

(9)

式中：pfs為系統(tǒng)的失效概率；隨機向量X指的是隧道凈空收斂值VCD或差異沉降值VSD；gi(X)(i= 1, 2,…,k)為與第i個失效模式相對應的失效函數(shù)；kp為性能閾值；yi(X)為結構樣本值。

根據(jù)《建筑結構可靠性設計統(tǒng)一標準》，可靠性指標β可以根據(jù)失效概率計算，如式(10)：

β=-Φ-1(pf)

(10)

式中：Φ-1(·)為標準正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)；pf為通過極限狀態(tài)函數(shù)g計算的破壞概率，例如混凝土缺陷、結構阻力損失等。

國際可靠性設計標準已經規(guī)定了與結構安全等級相對應的最小可靠性指標β[11]。結構的最小可靠性指標β通常用于結構設計完成后的結構安全性驗證。若設計出的結構可靠性指標β大于對應于設計安全級別的最小可靠性指標β，可認為該結構滿足安全要求。

2 工程背景

武漢地鐵3號線的后湖大道至市民之家H-C的隧道段于2015年12月28日開放試運行，2016年5月10日首次監(jiān)測到地面沉降，此后沉降量不斷增加。以圖1所示的左線為例，從2015年5月至2016年11月，沉降量很?。粡?016年11月到2017年2月，沉降量的累計增加量約為當前最終沉降量的一半；從2017年2月到現(xiàn)在，沉降量逐漸增加，沉降量峰值達到55 mm。根據(jù)圖1，H-C截面的沉降為W形，里程Z26+470—Z26+590(環(huán)號：510～580)的沉降嚴重，最大監(jiān)測沉降為55 mm，該超大沉降區(qū)域位于黃孝河南部的淤泥軟土區(qū)。

圖1 后湖大道至市民之家(H-C)部分的左行沉降

本項目重點研究了后湖大道至市民之家H-C部分中的超大沉降區(qū)域(環(huán)號：510～580)，并研究了該段隧道結構的可靠性，采用了激光掃描點云技術，用于測量H-C段隧道的收斂變形量。具體操作流程：(1)根據(jù)環(huán)的位置和里程選擇測量點和標靶位置；(2)通過掃描建立點云；(3)利用點云信息提取隧道軸線。操作過程如圖2所示。

圖2 用激光掃描點云技術測量收斂變形

3 隧道結構可靠性分析

3.1 Copula參數(shù)篩選及評估

本文選取地鐵凈空收斂VCD和差異沉降VDS作為評價地鐵結構可靠性的指標，并采用26個Copula函數(shù)分別進行相依性建模?；诒疚?.3節(jié)所示的局部優(yōu)化方法和混合MCMC算法估算出了Copula函數(shù)參數(shù)θ，結果如圖3所示，圖中藍色星號表示通過局部優(yōu)化算法得出的各Copula參數(shù)值，散點是混合MCMC算法模擬出的參數(shù)值，紅色三角形表示通過MCMC的最大似然數(shù)，右下角的P1～P34指的是各種Copula參數(shù)。

如圖3所示，對于大多數(shù)Copula函數(shù)，采用局部優(yōu)化算法和混合MCMC算法得出的參數(shù)值大體一致。但是，對于某些Copula函數(shù)，這兩種算法并不能同時適用，例如P1，P2，P3，P7等，尤其是P14，P23和P31。同時，對于BB1 Copula的θ1，Tawn Copula的θ1和t Copula的θ2，采用兩種參數(shù)估計算法所計算得到的模擬值有很大差異。另外，與局部優(yōu)化算法相比，某些Copula模型通過混合MCMC算法進行參數(shù)估計的擬合效果更優(yōu)。例如，BB1，Tawn，t Copulas三種Copula函數(shù)基于混合MCMC算法與局部優(yōu)化算法計算出的RMSE值分別為0.1495，0.1376，0.1662和0.3274，0.3147，0.3574，顯然，基于混合MCMC算法計算出的RMSE值相對較小，這表明，對于某些Copula模型，混合MCMC算法的計算性能更好。

由此可得，現(xiàn)有文獻中廣泛使用的局部優(yōu)化算法的魯棒性可能不足以估計Copula參數(shù)，建議通過混合MCMC算法估計Copula參數(shù)。

特別地，在計算P13(Gumbel-Barnet)，P14(BB1)和P32(Tawn)Copula函數(shù)的參數(shù)時，參數(shù)的最大似然值與參數(shù)邊界幾乎重合，這顯然是不合理的。說明這三種Copula函數(shù)構建的相依性模型并不適合處理原始數(shù)據(jù)。此外，Roch-Alegre Copula的θ1的后驗分布，t Copula的θ2的后驗分布和Tawn Copula的θ3的后驗分布類似于均勻分布，這表明通過原始數(shù)據(jù)(71個數(shù)據(jù)點)信息不足以計算出這三個Copula函數(shù)參數(shù)。

圖3 26個Copula函數(shù)參數(shù)θ及其通過MCMC模擬得出的后驗分布

3.2Copula模型評估

AIC，BIC，RMSE和NSE準則均可計算出26種Copula模型的擬合優(yōu)度排序。通常，按照這四種不同的準則所計算的擬合優(yōu)度排序結果比較相似。但是，通過AIC，BIC準則識別出的最優(yōu)Copula函數(shù)排序與根據(jù)RMSE和NSE準則所計算的結果不同。例如，根據(jù)AIC和BIC準則，高斯Copula為最優(yōu)Copula排序16，而根據(jù)RMSE和NSE準則，高斯Copula排序17。

根據(jù)這四種準則，所識別出的最優(yōu)Copula是Fischer-Hinzmann Copula，而Gumbel-Barnett Copula的擬合效果最差。該結果還表明，高斯Copula函數(shù)的擬合效果較差，這說明VCD和VSD值呈現(xiàn)非正態(tài)相依結構。此外，該結果也表明關于傳統(tǒng)獨立性假設以及高斯相依結構(Nataf模型)是不準確的。

3.3 隧道結構可靠性分析

基于現(xiàn)場檢測到的VCD和VSD的數(shù)據(jù)，可以應用26種Copula函數(shù)構建相依性模型，再通過蒙特卡洛模擬法獲得相應的模擬數(shù)據(jù)。由于檢測數(shù)據(jù)有限，因此很難從中找到最優(yōu)Copula函數(shù)。根據(jù)蒙特卡洛模擬法，系統(tǒng)的故障概率pf等于性能閾值范圍之外的散點數(shù)量與散點總數(shù)量之比。本文設置3個不同的性能閾值kp，如下：(1)kp1指VSD≤60 mm,VCD≤100 mm；(2)kp2是指VSD≤50 mm,VCD≤80 mm；(3)kp3是指VSD≤40 mm,VCD≤70 mm。

在不同的Copula模型和參數(shù)獨立的假設下，VCD和VSD具有不同的散點分布以及pf值，如圖4所示，從而得出可靠性指標β也不同。

根據(jù)3.2節(jié)的Copula模型評估結果，F(xiàn)ischer-Hinzmann Copula是擬合最優(yōu)的，而Gumbel-Barnett是擬合最差的，通過這兩個Copula函數(shù)計算得到的β值不同，如表1所示。通常，不同的Copula函數(shù)可以有很大的不同。結果表明，有必要識別出最優(yōu)Copula函數(shù)用于精確表征參數(shù)的相依關系。

表1 通過三個不同的性能閾值范圍計算得出的β值

圖4 通過AIC，BIC，RMSE和NSE標準對26個Copula的擬合精度排序

圖5 通過三個不同的失效準則計算得出的pf值

根據(jù)圖5和表1，不同Copula函數(shù)所計算出的pf和β值完全不同。具體來說，Joe，Cuadras-Auge，Linear-Spearman和Marshall-Olkin Copula的pf和β值與其他Copula函數(shù)尤其是Cuadras-Auge Copula明顯不同，這意味著這些Copula不適合構建Copula模型。由于Fischer-Hinzmann Copula是最適合的Copula，因此需要密切注意Fischer-Hinzmann Copula計算的pf和β值。

4 結 語

Copula相依性建模理論能夠準確的表征參數(shù)之間的相依性，本文選用了26種Copula函數(shù)，進行可靠性分析；對比采用了局部優(yōu)化和混合MCMC算法估計Copula參數(shù)。同時，結合Copula相依性建模理論，本文建立了基于26種Copula模型的地鐵盾構隧道結構可靠性分析模型，并以武漢市3號線的后湖大道至市民之家區(qū)間H-C為案例進行分析，有以下結論：

(1)本文對比采用了局部優(yōu)化算法和混合MCMC算法估計Copula模型的參數(shù)。由局部優(yōu)化算法得出的Copula參數(shù)與從MCMC仿真得出的參數(shù)基本一致。但是，這并不適用于所有Copula函數(shù)，例如Gaussian, t, Clayton 和 Frank Copula函數(shù)等，尤其是BB1，Marshai-Olkin和t Copula函數(shù)。現(xiàn)有文獻中廣泛使用的局部優(yōu)化算法的魯棒性不足以估計Copula參數(shù)。因此，建議通過MCMC方法對全局變量參數(shù)進行處理。

(2)本文對比26種Copula模型構建的相依性模型，通過AIC，BIC，RMSE和NSE準則，F(xiàn)ischer-Hinzmann Copula是最優(yōu)Copula函數(shù)。傳統(tǒng)獨立性假設以及高斯相依結構(Nataf模型)不是最優(yōu)Copula函數(shù)，表明不考慮參數(shù)關聯(lián)性或者僅考慮其正態(tài)相依性條件下，計算得到的結果可能不準確。

(3)為了分析盾構隧道結構安全可靠性，本文分別選取了凈空收斂VCD和差異沉降VDS構建相依性模型，同時，設置了3種不同的性能閾值進行可靠性分析。不同Copula函數(shù)所得到的pf和β值完全不同，具體來說，Joe，Cuadras-Auge，Linear-Spearman和Marshall-Olkin Copula的pf和β值與其他Copula，尤其是Cuadras-Auge Copula明顯不同，這意味著這些Copula不適合構建Copula模型。同時，這些結果表明，識別出最優(yōu)Copula函數(shù)用于精確表征參數(shù)的相依關系是很有必要的。