何燕琴,韓曉玲
(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,蘭州 730070)
近年來(lái),人們對(duì)非線性微分方程可解性的研究非?;钴S.這類問(wèn)題因在流體力學(xué)等實(shí)際應(yīng)用中的重要性而備受關(guān)注,尤其是二階和四階微分方程的研究獲得了許多好的結(jié)果,但對(duì)帶積分邊界條件的三階常微分方程邊值問(wèn)題的研究甚少.三階常微分方程起源于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)的各個(gè)不同領(lǐng)域.對(duì)其解的存在性已有很多方法,如Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理、上下解法,單調(diào)迭代法,等[1-11].
2014年,趙亞紅等[1]運(yùn)用Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理研究了帶積分邊界條件的三階邊值問(wèn)題
的單調(diào)正解的存在性,但未討論正解的唯一性.
2017年,郝彩云等[3]運(yùn)用混合單調(diào)算子不動(dòng)點(diǎn)定理研究了帶積分邊界條件的三階邊值問(wèn)題
受上述文獻(xiàn)啟發(fā),本文運(yùn)用混合單調(diào)算子的方法研究了帶積分邊界條件的三階邊值問(wèn)題
(1)
單調(diào)正解的存在性,其中f:[0,1]×[0,+∞)2→[0,+∞)連續(xù),g:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù).
本文假設(shè)下面條件成立:
(H1)f:[0,1]×[0,+∞)2→[0,+∞)連續(xù);
(H2)g:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù);
本文的工作空間是E=C[0,1].定義范數(shù)
‖u‖=max{|u(t)|:t∈[0,1]}.
則Ε為實(shí)的Banach空間.令Ρ={u∈C[0,1]:u(t)≥0,t∈[0,1]}.則Ρ為Ε中的正規(guī)錐.
設(shè)(E,‖·‖)是一個(gè)實(shí)Banach空間,θ為Ε中的零元素,Ρ?E為非空凸閉集.如果P滿足:(i)x∈E,λ≥0?λx∈Ρ,(ii)x∈Ρ,-x∈Ρ?x=θ,則稱Ρ為Ε中的一個(gè)錐.
設(shè)Ρ是Banach空間Ε中的錐,若存在常數(shù)N>0,使得對(duì)于任意的x,y∈E,當(dāng)θ≤x≤y時(shí)恒有‖x‖≤N‖y‖,則稱Ρ是正規(guī)的,其中Ν稱為Ρ的正規(guī)常數(shù).由錐Ρ可誘導(dǎo)Ε中的偏序關(guān)系如下:x,y∈Ε,x≤y?y-x∈Ρ.對(duì)任意的x,y∈Ε,引入等價(jià)關(guān)系x~y:存在常數(shù)μ>0及ν>0,使得μx≤y≤νx.對(duì)于給定的h>θ,記集合Ρh為h所在的等價(jià)類,即Ρh={x∈Ε|:x~h},Ρh?Ε.
定義2.1[2]設(shè)D?Ε,Α:D×D→Ε是一個(gè)算子.如果Α(x,y)關(guān)于x是增算子,關(guān)于y是減算子,即對(duì)任給的y∈D,若x1,x2∈D,x1≤x2,則Α(x1,y)≤Α(x2,y);對(duì)任給x∈D,若y1,y2∈D,y1≥y2,則有Α(x,y1)≤Α(x,y2),則稱Α是混合單調(diào)算子.
定義2.2[7]若對(duì)于任意的t>0,x∈Ε,算子Α:Ε→Ε滿足Α(tx)=tΑx,則稱A為齊次算子.若對(duì)任意的t>0,x∈Ρ,算子Α:Ρ→Ρ滿足Α(tx)≥tΑx,則稱Α為次齊次算子.若存在一個(gè)實(shí)數(shù)γ,滿足0≤γ<1,使得對(duì)于任意的t∈[0,1],x∈Ρ,算子Α:Ρ→Ρ滿足Α(tx)≥tγΑx,則稱Α為凹算子.
定理 2.3[2]設(shè)α∈(0,1),h∈Ε,且θ
(i)Α:Ρh×Ρh→Ρh,Β:Ρh→Ρh;
(ii) 存在u0,υ0∈Ρh和r∈(0,1),使得當(dāng)rυ0≤u0≤υ0時(shí),有u0≤Α(u0,υ0)+Βu0≤Α(υ0,u0)+Βυ0≤υ0;
(iii) 存在唯一的x*∈Ρh,使得x*=Α(x*,x*)+Βx*;
(iv) 以任意的x0,y0∈Ρh為初始元素,定義序列xn=Α(xn-1,yn-1)+Βxn-1,n=1,2,3,…,yn=Α(yn-1,xn-1)+Βyn-1,n=1,2,3,…,滿足
引理2.4[5]對(duì)任意給定的h∈C[0,1],邊值問(wèn)題
(2)
有唯一解u(t),且u(t)可以表示成下列形式:
其中
引理2.5對(duì)于任意給定的(t,s)∈[0,1]×[0,1],G(t,s)有如下性質(zhì):
(ii) 當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí),
當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí),
定理3.1設(shè)(H1)~(H3)成立,且
(i) 對(duì)固定的t∈[0,1],f(t,x,y)關(guān)于x單調(diào)遞增,關(guān)于y單調(diào)遞減,g(t,x)關(guān)于x單調(diào)遞增;
(ii) 對(duì)任意的λ∈(0,1),t∈[0,1],和x∈[0,+∞)有g(shù)(t,λx)≥λg(t,x),且存在t0∈[0,1]使得g(t0,0)>0;
(iii) 對(duì)任意的λ∈(0,1),t∈[0,1]和x,y∈[0,∞),存在一個(gè)常數(shù)γ∈(0,1)使得
f(t,λx,λ-1y)≥λγf(t,x,y);
(iv) 對(duì)任意t∈[0,1]和x,y∈[0,+∞),存在一個(gè)常數(shù)δ0>0,使得f(t,x,y)≥δ0g(t,x),
則有
(i) 存在u0,υ0∈Ρh,α∈(0,1),使得αυ0≤u0≤υ0,且
其中h(t)=t,t∈[0,1];
(ii) 問(wèn)題(1)有唯一正解x*∈Ρh(x*(t)>0,t∈(0,1));
(iii) 對(duì)任意的x0,y0∈Ρh,以x0,y0為初始元素定義迭代序列
則
證明 由引理2.4,問(wèn)題(1)的解等價(jià)于如下積分方程的解:
定義算子Α:Ρ×Ρ→Ρ為
定義算子
Β:Ρ→Ρ為
其中t∈[0,1],u,υ∈Ρ.當(dāng)且僅當(dāng)x=Α(x,x)+Βx時(shí),x為積分方程(1)的解.
接下來(lái)我們驗(yàn)證定理2.3的所有條件是否滿足.由(i)可知,Α是一個(gè)混合單調(diào)算子,Β是增函數(shù).由條件(iii),對(duì)任意的λ∈(0,1),x,y∈Ρ,有
Α(λx,λ-1y)(t)=
λγΑ(x,y)(t),γ∈(0,1).
這說(shuō)明算子Α滿足定理2.3中的條件.
接下來(lái)我們證明Β是一個(gè)可齊次算子.對(duì)任意的λ∈(0,1),x∈Ρ,考慮(ii)則有
從而Β是一個(gè)可齊次算子.
然后我們后來(lái)證Α(h,h)∈Ρh,Βh∈Ρh.當(dāng)h∈Ρ時(shí),定義函數(shù)h(t)=t,t∈[0,1].由引理2.5和條件(i)有
另一方面
令
則α1h≤Α(h,h)≤α2h.
接下來(lái)我們證明αi>0,i=1,2.實(shí)際上,因?yàn)間(t0,0)>0,t0∈[0,1],由f和g的連續(xù)性,我們可以找到一個(gè)子集Ε?[0,1]使得t0∈Ε,μ(Ε)>0,其中μ表示勒貝格度量,g(t,0)>0,t∈Ε.由條件(iv)可得到f(s,0,1)≥δ0g(s,0)≥0.所以
故Α(h,h)∈Ρh.
再由引理2.5和條件(i)有
另一方面,因0≤h(t)≤1,對(duì)任意的t∈[0,1],有
令
則β1h≤Βh≤β2h.為了證明Βh∈Ρh,即βi>0,i=1,2,需證β1>0.又
則Βh∈Ρh.
最后證明定理2.3中的假設(shè)條件(i)滿足.由u,υ∈Ρ,t∈[0,1]及條件(iv)有
即Α(u,υ)≥δ0Βu.因此,由定理2.3,對(duì)任意的t∈[0,1],0 考慮非線性邊值問(wèn)題 從而定理3.1中的條件(iv)是滿足的.