陳壽雨

【摘要】針對統(tǒng)計學(xué)教學(xué)過程中有關(guān)方差分析教學(xué)內(nèi)容的重點和難點問題，通過結(jié)合一個具體的例子來講解方差分析的概念、原理和前提條件等知識點，有助于克服方差分析教學(xué)內(nèi)容較為抽象、理論性較強的難點，從而更好地幫助學(xué)生理解和掌握方差分析的知識。

【關(guān)鍵詞】統(tǒng)計學(xué)、教學(xué)方法? 方差分析（ANOVA ）? 萊文方差等同性檢驗

一、引言

方差分析是一種常用的統(tǒng)計分析方法，屬于統(tǒng)計學(xué)教學(xué)中的重點和難點之一。從統(tǒng)計方法上課，方差分析是較為復(fù)雜的一種假設(shè)檢驗的方法，回歸分析的結(jié)果中也涉及到方差分析的內(nèi)容，所以對學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)課程的學(xué)生來說，正確理解和掌握方差分析的思想和原理顯然非常重要。但從授課教師的角度，一些教師往往會發(fā)現(xiàn)方差分析的內(nèi)容不好講，也講不好，無法讓學(xué)生較好地理解方差分析的原理。本文基于筆者多年統(tǒng)計學(xué)課程教學(xué)的經(jīng)驗總結(jié)，圍繞方差分析的概念、原理和前提條件等教學(xué)內(nèi)容，與同行探討教學(xué)方法。

二、方差分析的概念

方差分析（Analysis of Variance，縮寫為ANOVA），是由英國統(tǒng)計與遺傳學(xué)家，現(xiàn)代統(tǒng)計科學(xué)的奠基人之一，R.A.Fisher發(fā)明的，用于檢驗多個總體均值是否全相等的一種統(tǒng)計推斷方法。例如，一個國家不同地區(qū)的成年男性平均身高是否相等呢？對于該問題的分析就可以使用方差分析的方法。假設(shè)該國分為北部、中部和南部等三個區(qū)域，成年男性平均身高分別用來表示，則相應(yīng)零假設(shè)和備擇假設(shè)為：

H0：μ1=μ2=μ3? ?H1：μj不相等，j=1，2，3

如果最后零假設(shè)無法被拒絕，可以得出三個地區(qū)成年男性的平均身高不存在顯著差異，即地區(qū)因素對身高沒有影響;反之，如果最后拒絕零假設(shè)，從而支持被擇假設(shè)，則可以得出三個地區(qū)成年男生的平均身高存在顯著差異，至少有一個地區(qū)的平均身高與另一個地區(qū)不一樣，說明地區(qū)因素對身高有影響。因此，方差分析也可以用于研究一個自變量（通常為分類變量）對別一個變量（數(shù)值變量）是否有影響的問題。如果只涉及到一個自變量，該方差分析方法稱為單因素方差分析，涉及兩個自變量則稱為雙因素方差分析。本文主要圍繞單因素方差分析的教學(xué)。方差分析的名稱容易造成學(xué)生的誤解，使一些學(xué)生誤認為方差分析是比較多個總體方差。其實，方差分析是用來比較總體均值是否相同的，但由于使用計算“方差”的方法，故把該方法稱作方差分析。

三、方差分析的原理

為了比較多個總體的均值是否相等，方差分析將通過計算樣本數(shù)據(jù)的方差大小進行判斷。假設(shè)在北部、中部和南部分別隨機、獨立地抽取一定樣本容量的樣本，這里為了便于分析，從三地分別抽取3名成年男性，樣本容量為9，并記錄身高的樣本數(shù)據(jù)，如下圖所示。

方差分析就是比較樣本數(shù)據(jù)中北部、中部和南部這三組數(shù)據(jù)的組間方差和各組數(shù)據(jù)的組內(nèi)方差的大小，并構(gòu)造F檢驗統(tǒng)計量進行檢驗。組間方差度量樣本數(shù)據(jù)中組與組之間的變異，從數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的角度看表現(xiàn)為數(shù)據(jù)的橫向差異。造成組間數(shù)據(jù)變異有兩個因素，一個是地區(qū)因素，另一個是隨機因素。組內(nèi)方差度量樣本數(shù)據(jù)中各組內(nèi)部的數(shù)據(jù)變異，是由于抽樣的隨機性導(dǎo)致，表現(xiàn)為數(shù)據(jù)的縱向差異。如果組間數(shù)據(jù)的方差明顯地超過組內(nèi)數(shù)據(jù)的方差，很可能表明地區(qū)因素會顯著影響成年男性的身高，從而不同地區(qū)成年男性的平均身高存在差異。

為了計算組間方差（MSA），需要先求組間平方和（SSA）和相應(yīng)的自由度（C-1），其中C為組數(shù)，這里為3。組間方差等于組間平方和與相應(yīng)自由度的比值。

MSA=

組間平方和用每組的均值與所有數(shù)據(jù)的均值之差的平方再乘以該組觀測值的個數(shù)來表示。組間平方和越大，說明各組之間的數(shù)據(jù)差異越大，當(dāng)然如果組數(shù)越多組間平方和也會越大，因此這里不用直接用平方和直接進行比較。

為了計算組內(nèi)方差（MSW），需要先求組內(nèi)平方和（SSW）和相應(yīng)的自由度（N-C），其中N為所有觀測值的個數(shù)，這里為9。組內(nèi)方差等于組內(nèi)平方和與相應(yīng)自由度的比值。

MSA=

組內(nèi)平方和用每組的觀測值與該組數(shù)據(jù)的均值之差的平方和來表示。組內(nèi)平方和越大，說明各組內(nèi)部的數(shù)據(jù)差異越大，當(dāng)然如果各組的觀測值越多，則組內(nèi)平方和也會越大。

有了組間方差和組內(nèi)方差，就可以造成出F檢驗統(tǒng)計量，再與臨界值比較，可以就以做出統(tǒng)計決策。

FSTAT=

其中，服從分子自由度為C-1，分母自由度為N-C的F分布，其臨界值可以在指定顯著性水平下通過查表獲得。

在樣本量較大情況下，手工計算顯然耗時耗力，方差分析的相關(guān)

算一般需要通過統(tǒng)計軟件來完成。以下是用EXCEL進行方差分析的輸出結(jié)果。

EXCEL共輸出2個表格，第一個表格是對樣本數(shù)據(jù)進行描述分析，從中可以發(fā)現(xiàn)各組觀測值的個數(shù)、均值和方差。第二個表格為方差分析的結(jié)果。方差分析把數(shù)據(jù)的差異區(qū)分為組間差異和組間差異，SS為平方差，從表中可以SSA=0.020，SSW=0.018，df為自由度，組間平方和對應(yīng)的自由度C-1=2，組內(nèi)平均和對應(yīng)的自由度為N-C=6。MS為均方，組間均方MSA=0.010，組內(nèi)均方MSW=0.003。F為檢驗統(tǒng)計量，其值為MSA/MSW=3.307。在0.05顯著性水平下，F(xiàn)的臨界值約為5.14。如果使用P值法進行假設(shè)檢驗，EXCEL也給了相應(yīng)的P值，約為0.108。根據(jù)EXCEL單因素方差分析的輸出結(jié)果，不管使用臨界值還是P值法，在0.05的顯著性水下，我們都可以得出不拒絕零假設(shè)的結(jié)論，即三個地區(qū)成年男性的平均身高不存在顯著差異，同時也表明地區(qū)因素沒有顯著地影響成年男生的身高。

四、方差分析的前提條件

在統(tǒng)計方法的教學(xué)過程中，都要強調(diào)使用某種統(tǒng)計方法的前提假設(shè)條件，如果條件滿足，就不能使用相應(yīng)的統(tǒng)計方法。在方差分析的教學(xué)過程中，同樣需要強調(diào)方差分析的三個前提假設(shè)，即樣本是隨機、獨立抽樣的，每個總體是正態(tài)分布并且方差相等。其中抽樣的隨機性和獨立性相對容易做到，總體是否為正態(tài)分布可以通過直方圖等方法進行判斷。最后總體方差相等是一個非常重要的條件，如果該條件不滿足，就不能進行方差分析。如果各總組（各組）本身方差大小存在顯著差異，就不能從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)由于地區(qū)因素造成的數(shù)據(jù)變異到底有多大。關(guān)于總體同方差假設(shè)是否成立可能用萊文方差等同性檢驗來解決。

萊文方差等同性檢驗第一步是對各組樣本數(shù)據(jù)排序，找中位數(shù);第二步計算各組觀測值與其中位數(shù)之差的絕對值;第三步對絕對值做單因素方差分析;第四步得出結(jié)論。

根據(jù)萊文方差等同性檢驗的EXCEL輸出結(jié)果，可以得出三個地區(qū)成年男性身高的方差不存在顯著差異，可以進行方差分析。

五、小結(jié)

針對統(tǒng)計學(xué)課程教學(xué)中相關(guān)方差分析的內(nèi)容較為抽象、理論性較強的特點，為了幫助學(xué)生更好地掌握方差分析的知識，筆者通過多輪的教學(xué)實踐，認為從具體例子出發(fā)，進行啟發(fā)示教學(xué)，比起一開始就講授方差分析的理論知識，能更利于學(xué)生的理解和掌握方差分析的內(nèi)容。

參考文獻：

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[3]賈俊平.統(tǒng)計學(xué)[M]. 中國人民大學(xué)出版社， 2018.