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        一類時間不一致問題均衡控制的存在性

        2020-09-22 02:07:46彭云飛張大永
        關(guān)鍵詞:最優(yōu)控制開環(huán)閉環(huán)控制

        張 婷, 彭云飛, 張大永

        (貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,貴州貴陽550025)

        1 問題及主要結(jié)果

        首先建立數(shù)學(xué)模型.讓Rn表示n維實歐氏空間,U∈Rm是非空有界閉凸集.本文的控制集為U[t,T]={u:[t,T]→U|u 可測,t∈[0,T)},受控系統(tǒng)為常微分方程

        目標(biāo)泛函為

        模型中的受控系統(tǒng)是基于確定型投資組合模型提煉所得,性能指標(biāo)是雙曲貼現(xiàn)和期望方差組合的特例,更一般地是相應(yīng)的隨機模型.本文的問題是極小化目標(biāo)泛函,即問題(P):尋求一個反饋控制ˉu,使得對任意的 ε >0,v∈U 和任意的(t,x)∈[0,T]×Rn有

        其中

        如果問題(P)有解ˉu,則稱ˉu為均衡控制.

        上述問題與經(jīng)典最優(yōu)控制問題有著本質(zhì)區(qū)別,主要是最優(yōu)控制問題的目標(biāo)泛函不依賴于初始狀態(tài),只優(yōu)化一個目標(biāo)泛函,最優(yōu)策略具有一致性(符合動態(tài)規(guī)劃原理),通常將具有此特征的問題稱為時間一致問題.經(jīng)典最優(yōu)控制問題之所以有一致性,是因為假設(shè)了決策者在做決策時不受決策者的心態(tài)以及外界環(huán)境變化等因素的影響.這一假設(shè)雖然對許多工業(yè)問題是合理的,但遇到金融等復(fù)雜領(lǐng)域時,此假設(shè)往往由于過于理想化而導(dǎo)致問題失真.為此,不得不考慮環(huán)境變化以及決策者的心態(tài)等因素對決策的影響,體現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型上就是目標(biāo)泛函始終依賴于初始狀態(tài).因此,需要優(yōu)化一族性能指標(biāo)(無窮不可數(shù)多個),而非一個,這導(dǎo)致所謂最佳策略不具有一致性(不滿足動態(tài)規(guī)劃原理),這樣的問題常被稱為時間不一致問題.關(guān)于此問題的研究,至少可追溯到 1739年 Hume[1]和 1759年Smith[2]所做的工作.特別是 1955 年 Strotz[3]進行數(shù)學(xué)公式化后,引起許多學(xué)者興趣,相關(guān)工作可參考文獻[4-11].特別地,Yong[9]在 2012 年將時間不一致問題視為時間一致問題的極限,從非合作博弈的角度出發(fā),研究時間不一致問題,獲得開環(huán)形式的均衡控制.2017年Yong[7]進一步研究了時間不一致隨機LQ控制問題,深入研究了開環(huán)閉環(huán)均衡策略.

        本文雖然也將時間不一致問題視為時間一致問題的極限,但構(gòu)造時間一致問題系列的方法完全不同于雍炯敏教授的構(gòu)造方法(分割時間區(qū)間).其次,雍教授主要獲得了開環(huán)形式的均衡控制.雖然也考慮了閉環(huán)形式的解,但與本文閉環(huán)形式解的定義有本質(zhì)的不同(可參閱文獻[7]).經(jīng)濟學(xué)家大多認為,只有閉環(huán)控制才能刻畫時間不一致問題的特征,即閉環(huán)控制能夠吸納環(huán)境以及決策者心態(tài)變化等因素對決策的影響,而開環(huán)控制不具備這個特征.本文的閉環(huán)形式的均衡控制是許多經(jīng)濟學(xué)家希望引入的.

        在陳述主要結(jié)果之前,首先引進一些基本假設(shè).

        [F]映射 f:[0,T)× Rn→Rn關(guān)于時間變量 t可測,且存在常數(shù)L>0使得對任意的xi∈Rn(i=1,2),t∈[0,T)有

        [G]映射 g:[0,T)× Rn× [0,T)×Rn→R 關(guān)于時間變量t可測,且存在常數(shù)L>0使得對任意的(ti,xi,yi)∈[0,T)× Rn× Rn(i=1,2),s∈[0,T)有

        [H]對任意的開環(huán)控制u(·),都能找到一個閉環(huán)的二元可測函數(shù)u(·,·)使得

        其中x(·)是受控系統(tǒng)對應(yīng)的解.

        雖然假設(shè)[H]中等式兩端的同一符號表示的內(nèi)涵不一致,但在本文不至于引起混淆的情況下,為了簡潔,用同一符號表示(其它地方同此).此外,假設(shè)[F]和[G]是通常的假設(shè),即使是時間一致問題解的存在性也是需要的.對于假設(shè)[H],類似于Filippov選擇性定理,在適當(dāng)?shù)臈l件下,此假設(shè)是可驗證的.在本文中,由于篇幅限制,在此不再證明.

        在上述假設(shè)下,有如下的主要結(jié)論.

        定理 A若假設(shè)[F]、[G]和[H]成立,則問題(P)至少有一反饋均衡控制.

        2 定理A的證明

        引理1若假設(shè)[F]成立,則下列結(jié)論成立:

        證明根據(jù)假設(shè)[F]有

        結(jié)合Gronwall不等式,可知(5)式成立.而且,

        由此可斷言(6)式成立.

        引進問題(P1):尋找控制 u1∈U[0,T]使得

        其中

        對問題(P1),不難證明下面的存在性結(jié)論.

        引理 2若假設(shè)[F]和[G]成立,則問題(P1)至少存在一個最優(yōu)閉環(huán)控制u1.

        引進偏微分算子Av為

        不難證明下面的偏微分方程

        有唯一解

        其中(s,y)∈[0,T)×Rn.令

        問題(P2):尋找控制函數(shù) u2∈U[0,T]使得

        類似地,對問題(P2),也有如下存在性結(jié)論.

        引理 3若假設(shè)[F]和[G]成立,則問題(P2)至少存在一個最優(yōu)閉環(huán)控制u2.

        繼續(xù)上述過程,構(gòu)造控制函數(shù)列{uk}k≥1、.

        根據(jù)關(guān)于控制策略集的假設(shè),存在{uk}k≥1的子列(不妨設(shè)為其自身)在L2[0,T]中弱收斂到某個ˉ.結(jié)合假設(shè)[H],存在閉環(huán)控制ˉu使得

        根據(jù) Ascoli-Arzela定理和引理 1,不難證明在 C[0,T]中是緊的并且

        進而可推斷函數(shù)列

        其中

        是Rn中的有界閉集,且

        其中(t,x)∈[0,τ)×E.進而能夠證明

        于是下列HJB方程

        有粘性解 Vk.進而,結(jié)合(12)~(14)和(16)~(17)式,可推斷下列的HJB方程

        有粘性解V并且適合

        結(jié)合(23)式有

        結(jié)合(22)式可得

        對任意的(t,x,v)∈[0,T)× E × U,上述結(jié)論均成立,因此是問題(P)的一個均衡控制.這就完成了主要結(jié)果的證明.

        3 結(jié)束語

        時間不一致控制問題是數(shù)學(xué)與金融交叉的前沿課題,其研究一直方興未艾.但一直未取得理論上的突破,未能像最優(yōu)控制理論那樣有完善的求解方案.本文對一類常微分系統(tǒng)支配的時間不一致控制問題進行討論,提出了一個求解方案,特別是解的定義不僅符合數(shù)學(xué)要求,更是經(jīng)濟學(xué)家希望的.不僅如此,本文所給的方案,對建立時間不一致控制問題的一般理論也是有益的.

        致謝貴州省科技計劃項目(黔科合平臺人才[2017]5788號)對本文給予了資助,謹致謝意.

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