王生福， 聶麟飛

（新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046）

瘧疾是世界上最具破壞性的疾病之一.盡管隨著醫(yī)療科技的飛速發(fā)展，近年來(lái)死亡人數(shù)下降了30%，但每年仍有數(shù)百萬(wàn)人死亡［1］，其中受影響最嚴(yán)重的是兒童.據(jù)醫(yī)療數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，在瘧疾的流行區(qū)域，大約50%的瘧疾感染者是無(wú)癥狀的［2-3］.由于無(wú)癥狀患者不太可能尋求治療，因此這些人有可能將疾病傳播給其他人，使得瘧疾在某些地區(qū)長(zhǎng)期流行.基于上述原因，眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者建立了大量的動(dòng)力學(xué)模型去了解瘧疾的傳播規(guī)律和措施［4-8］.特別地，Tang 等［7］提出了如下具有無(wú)癥狀感染和季節(jié)影響的SIRS瘧疾傳播模型：

其中 S（t）、Ia（t）、Is（t）、R（t）分別表示 t時(shí)刻人群中的易感者、無(wú)癥狀染病者、有癥狀染病者和恢復(fù)者的數(shù)量.模型假設(shè)易感者每次接觸被傳染的概率為β，μ是人的自然死亡率；無(wú)癥狀染病者的數(shù)量占總?cè)静≌叩臄?shù)量的比率為θ，有癥狀染病者和無(wú)癥狀染病者的恢復(fù)率系數(shù)分別為γs和γa，有癥狀染病者和無(wú)癥狀染病者康復(fù)后失去免疫率的系數(shù)為α；因有癥狀的感染者將在醫(yī)院接受治療或隔離，所以易感者接觸有癥狀感染者時(shí)被傳染的概率為βp，其中 p∈［0，1］.

由模型（1）不難發(fā)現(xiàn)人口總數(shù)N（t）為常數(shù)，即N（t）＝N.進(jìn)一步，忽略季節(jié)對(duì)疾病的影響，則模型（1）等價(jià)于下面的簡(jiǎn)化模型

由文獻(xiàn)［7］可知，模型（2）的基本再生數(shù)

即當(dāng)R0＜1時(shí)，模型（2）僅有一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)E0＝（N，0，0），且是全局漸近穩(wěn)定；而當(dāng) R0＞1 時(shí)，模型（2）存在地方病平衡點(diǎn)，且是局部漸近穩(wěn)定，這里由下式?jīng)Q定

事實(shí)上，環(huán)境白噪聲也會(huì)對(duì)傳染病模型造成一定的影響［9-13］.因此，在傳染病動(dòng)力學(xué)模型中加入環(huán)境白噪聲更具有現(xiàn)實(shí)意義［10，14-16］，已有許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究.例如文獻(xiàn)［15］指出，環(huán)境白噪聲可以改變傳染病模型的基本再生數(shù).此外，環(huán)境白噪聲也可以使模型參數(shù)在一定范圍內(nèi)發(fā)生改變，如出生率、死亡率以及傳播率系數(shù)等會(huì)受到干擾而圍繞某些數(shù)值波動(dòng).有基于此，假設(shè)環(huán)境白噪聲的影響分別與變量 S（t）、Ia（t）和 Is（t）成正比，則模型（2）可隨機(jī)化為

這里 Bi（t）（i＝1，2，3）是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，（i＝1，2，3）是白噪聲強(qiáng)度.

1 非負(fù)性與有界性

令（Ω，R，{Rt}t≥0，P）是一個(gè)帶有濾子的完備概率空間并且滿(mǎn)足通常的條件（即濾子R0是單調(diào)遞增，右連續(xù)的，并且包含所有的零測(cè)度集）.記＝｛（x1，x2，x3）：xi＞0，i＝1，2，3｝，f（t）是定義在［0，∞）上的可積函數(shù)，令

定理1.1對(duì)任意給定的初值

模型（3）存在唯一解（S（t），Ia（t），Is（t）），且該解以概率1位于中.即對(duì)于所有 t≥0，有（S（t），Ia（t），Is（t））∈，a.s..

證明因模型的參數(shù)是局部Lipschitz連續(xù)的，故對(duì)于任意給定的初值（S（0），Ia（0），Is（0））∈，模型（3）存在唯一的局部解（S（t），Ia（t），Is（t）），t∈［0，τe），這里 τe表示爆破時(shí)間.為了證明這個(gè)解是全局存在的，只需證明τe＝∞幾乎處處成立.設(shè) k0＞1 且足夠大，使其滿(mǎn)足（S（0），Ia（0），Is（0））∈（1／k0，k0）.對(duì)于每個(gè)整數(shù) k ＞ k0，定義停時(shí)

其中，inf?＝∞（?表示空集）.顯然，當(dāng)k→∞時(shí)，τk單調(diào)遞增的.令則 τ∞＜ τe，a.s..若τ∞＝∞，a.s.，則 τe＝∞，a.s..因此，只需證明τ∞＝∞，a.s.即可.

易知 V（S，Ia，Is）非負(fù)，對(duì)其應(yīng)用 It?公式可得

其中

顯然K為正常數(shù)，且

將（5）式兩邊從0到τk∧T積分并取期望得

因此，

令 Ωk＝｛τk≤T｝，k≥k1，由（4）式可知，P（Ωk）≥ε.對(duì)于每個(gè) ω∈Ωk，由停時(shí)的定義可知，在 S（t）（τk，ω），Ia（t）（τk，ω），Is（t）（τk，ω）三者中至少有一個(gè)等于 k 或1／k，可得

其中

進(jìn)一步，由（6）式可知

其中 IΩk（ω）為 Ωk的示性函數(shù).令 k→∞ ，則有

矛盾.所以 τ∞＝∞.這就意味著（S（t），Ia（t），Is（t））以概率1在有限時(shí)間內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生爆破.證畢.

引理 1.2設(shè)（S（t），Ia（t），Is（t））是模型（3）滿(mǎn)足初值條（S（0），Ia（0），Is（0））∈的解，則以下結(jié)論成立：

且

證明由模型（3）知

令 μ＋α＝μ1，求解（9）式可得

其中

顯然，M（t）是一個(gè)連續(xù)的局部鞅并且滿(mǎn)足M（0）＝0.定義

其中

由等式（10）可知

于任意的 t≥0 成立，表明 A（t）、U（t）是 t≥0 上滿(mǎn)足A（0）＝U（0）＝0的連續(xù)自適應(yīng)過(guò)程.由文獻(xiàn)［9］中的定理3.9知.由此，結(jié)論（7）成立.令

由二次變分

由強(qiáng)大數(shù)定理［10-11］知

同理，

因?yàn)?/p>

則由（11）和（12）式可知

由此得出結(jié)論（8）是正確的.證畢.

2 持久性和滅絕性

定理 2.1設(shè)（S（t），Ia（t），Is（t））是模型（3）滿(mǎn)足初值條件（S（0），Ia（0），Is（0））∈的解.如果

則

且

證明由模型（3）可知

對(duì)上式關(guān)于0到t積分得

于是

其中

易知，

另一方面，對(duì)模型（3）的后2個(gè)等式使用It?公式有

對(duì)上式從0到t積分得

把（14）式代入（16）式可知

又因?yàn)?/p>

根據(jù)（15）和（18）式對(duì)等式（17）兩邊取上極限，并注意到＾R0＜1，則有

即

進(jìn)一步，由（14）和（15）式可知

證畢.

定理 2.2若 α＝0，且

則模型（3）是持久的，即

其中（S（t），Ia（t），Is（t））∈R3＋是模型（3）的任意解.

證明由模型（3）的第2個(gè)等式可得

進(jìn)而，

同理，由模型（3）的最后一個(gè)等式可得

于是，由（19）和（20）式可知

根據(jù)等式（17）可知

根據(jù)等式（15）和（21）對(duì)上式兩邊取下極限，并注意到ˉR0＞1，則有

max｛（μ＋γa），（μ＋γs）｝（ˉR0-1）＞0， a.s..因而，

再由模型（3）知

進(jìn)而，

故定理成立.證畢.

3 結(jié)論

本文研究了一類(lèi)具有隨機(jī)干擾和無(wú)癥狀感染者的SIRS瘧疾模型，這里假設(shè)環(huán)境白噪聲的影響分別與變量 S（t）、Ia（t）和 Is（t）成正比.首先考慮了模型（3）全局正解的存在性與唯一性、有界性.其次證明了模型（3）的隨機(jī)持久性和滅絕性.定理2.2指出當(dāng)ˉR0＞1且滿(mǎn)足α＝0時(shí)，模型（3）是持久的，即疾病持續(xù)成“地方病”.然而由定理2.1可知，當(dāng)＾R0＜1時(shí)，疾病依概率1滅絕.

然而，在傳染病的傳播過(guò)程中，傳播方式的復(fù)雜性、病毒的變異性、種群的異質(zhì)性、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的不完整性、以及環(huán)境因素和人為干擾的不確定性使疾病的預(yù)防和控制面臨新的形勢(shì)與挑戰(zhàn)，這些都是將要開(kāi)展的研究工作.