楊維妙 張建武 馮鵬鵬

（上海交通大學，上海 200240）

1 前言

車輛橫向穩(wěn)定性控制歷來是研究人員關(guān)注的重點。傳統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)諸如防抱死制動系統(tǒng)（Antilock Brake System，ABS）、牽引力控制系統(tǒng)（Traction Control System，TCS）以及電子穩(wěn)定性控制系統(tǒng)（Electronic Stability Program，ESP）等，都是基于車輛的機理模型進行設計的[1-3]。然而，由于車輛模型具有復雜性，這些系統(tǒng)在建模過程中會不可避免地進行簡化，引起模型精度的降低，進而影響控制器的有效性。另一方面，在控制對象的建模中很難考慮輪胎力與車速等時變因素帶來的影響，使得實際控制器對于非定常模型的適應性大幅降低。因此，如何設計一種考慮時變模型特性且精度較高的穩(wěn)定性控制器成為車輛動力學領(lǐng)域中的研究難點。

相比于傳統(tǒng)的車輛控制器設計方法，基于子空間模型辨識的控制器近些年來受到極大的關(guān)注[4-5]。該方法基于子空間理論，利用系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)對系統(tǒng)模型進行辨識，結(jié)合線性二次高斯（Linear Quadratic Gaussian，LQG）準則[6]，可以實現(xiàn)一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的無模型廣義預測控制器。目前，該方法在車輛動力學領(lǐng)域應用的局限性在于：傳統(tǒng)子空間辨識理論的適用對象為開環(huán)線性系統(tǒng)，對于“人-車-路”閉環(huán)的非線性系統(tǒng)，其辨識精度大幅降低[7]；在子空間預測控制器設計的經(jīng)典子空間辨識方法中大量使用奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）和RQ分解等數(shù)值計算工具，計算量巨大，不利于在線遞推實現(xiàn)[8]。綜合以上兩點，本文基于子空間模型辨識理論，設計出一種適用于非線性閉環(huán)車輛動力學系統(tǒng)的自適應預測控制器，并結(jié)合7自由度整車動力學模型進行數(shù)值仿真驗證。

2 整車動力學建模及驗證

2.1 7自由度車輛動力學模型

整車動力學模型的目的是準確反映車輛的動力學特性，以便作為穩(wěn)定性控制器的驗證平臺。針對車輛穩(wěn)定性控制器研究，相對快速有效的數(shù)值建模方法，如Simulink 建模方法，目前在車輛動力學領(lǐng)域被廣泛采用?？紤]到建模復雜度，7自由度車輛動力學模型具有綜合的性能優(yōu)勢，在考慮4 個車輪運動的同時，加入了車輛縱向、側(cè)向以及橫擺方向的運動，能夠十分準確地反映車輛行駛過程中的橫向動力學特性，該模型如圖1所示。

圖1 整車動力學模型

基于汽車系統(tǒng)動力學相關(guān)知識，本文在MATLAB/Simulink環(huán)境中建立7自由度車輛模型：

式中，m為整車質(zhì)量；Bf、Br分別為前、后軸的輪距；a、b分別為質(zhì)心與前、后軸的距離；Iz為車輛的橫擺轉(zhuǎn)動慣量；J為車輪的轉(zhuǎn)動慣量；Rd為輪胎滾動半徑；δ為車輛前輪轉(zhuǎn)角；Vx、Vy分別為車輛的縱向、側(cè)向車速；γ為橫擺角速度；ωij（i=f,r 分別代表前、后軸；j=l,r 分別代表左、右輪）為各車輪的轉(zhuǎn)速；Tdfj為左、右前輪等效驅(qū)動力矩；Tbij為各車輪施加的制動力矩；Fxij、Fyij分別為各車輪上由PAC2002 輪胎模型計算得到的縱向力與側(cè)向力。

2.2 道路試驗

本文根據(jù)國際標準ISO 3888:1999 以及ISO/DIS 7401:2000，在襄樊汽車試驗場利用某型前驅(qū)轎車分別進行了急劇雙移線（Double Lane Change，DLC）和轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角階躍輸入道路試驗，試驗及相關(guān)數(shù)據(jù)采集設備如圖2所示。試驗過程中分別采集了車輛的質(zhì)心側(cè)偏角、橫擺角速度、轉(zhuǎn)向盤輸入轉(zhuǎn)角、縱向車速、側(cè)向車速以及側(cè)向加速度等信息，采樣周期為1 ms。

圖2 整車道路試驗及數(shù)據(jù)采集裝置

2.3 車輛模型驗證

以2.2 節(jié)中整車道路試驗采集的轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角和車速等數(shù)據(jù)作為模型的輸入信息，選取車輛穩(wěn)定性研究中常用的橫擺角速度和車輛質(zhì)心側(cè)偏角作為輸出信息，基于7 自由度Simulink 模型進行了數(shù)值仿真，并結(jié)合道路試驗數(shù)據(jù)進行對比，結(jié)果如圖3 所示。根據(jù)仿真結(jié)果可知，所建立的車輛動力學模型基本能夠?qū)π旭傔^程中的車輛動力學特性進行較為準確地描述。因此，可以作為后續(xù)穩(wěn)定性控制器設計時的驗證平臺。

圖3 2種工況下的仿真與試驗結(jié)果對比

3 自適應預測控制器設計

3.1 子空間馬爾可夫參數(shù)估計

設車輛控制對象的狀態(tài)空間模型為：

式中，xT(t)∈Rn、yT(t)∈Rl、uT(t)∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、輸出和輸入向量；A∈Rn×n、B∈Rn×m、C∈Rl×n為系統(tǒng)模型矩陣；wT(t)∈Rn、vT(t)∈Rl為過程噪聲與測量噪聲。

基于卡爾曼濾波過程可將式（2）改為新息形式：

根據(jù)基于預測器的子空間辨識（Predictor Based Subspace Identification，PBSID）理論[9]，可將式（3）轉(zhuǎn)化為預測器形式，即

利用參考時刻k，將系統(tǒng)的數(shù)據(jù)分成“過去”和“將來”2 個數(shù)據(jù)集：和，將上式中的狀態(tài)方程不斷迭代，可得：

式中，p為過去數(shù)據(jù)集的長度。

當p足夠大時，若的特征值位于單位圓內(nèi)（此條件為子空間辨識的后驗條件，在辨識過程中通過計算系統(tǒng)矩陣的特征值對其進行驗證），則，故：

式中，?！蔙lf×n為廣義能觀矩陣；H為托普利茲（Toeplitz）矩陣；Y、X、Zf、E為相應的系統(tǒng)向量構(gòu)成的數(shù)據(jù)矩陣。

結(jié)合式（6），式（9）可轉(zhuǎn)化為：

式中，M為馬爾可夫（Markov）矩陣。

M的表達式為：

式中，mi為M的參數(shù)。

根據(jù)式（11），將式（9）左邊的y(t)展開，即可得：

通過式（12）即可利用最小二乘法，結(jié)合系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)y(t)、u(t)對mi進行估計，進而構(gòu)造出M。

3.2 托普利茲矩陣H更新

對于能觀與能控性系統(tǒng)，?！蔙lf×n至少包含n個互不相關(guān)的行向量，根據(jù)辨識車輛模型結(jié)構(gòu)，可構(gòu)造出置換矩陣S∈Rlf×lf，實現(xiàn)如下分解：

式中，P為傳播因子矩陣[10]。

將式（13）帶入到式（14）中，則：

因此，有Ω2=PΩ1。由于向量Ω可利用系統(tǒng)數(shù)據(jù)以及馬爾可夫矩陣M計算求得，故可設計出一個二次準則方程，對P進行求解：

同樣，利用最小二乘法即可求得式（16）中的傳播因子矩陣P，最終獲得廣義能觀矩陣Γ的遞推更新值。系統(tǒng)矩陣C可直接根據(jù)Γ的結(jié)構(gòu)求解計算：

同理，通過分析M的矩陣結(jié)構(gòu)，可以獲得系統(tǒng)矩陣A和B。進而根據(jù)式（11）構(gòu)造出托普利茲矩陣H。

3.3 自適應預測控制器設計

根據(jù)上述遞推計算求得的M和H，并結(jié)合式（6）將式（8）的第1列展開，并忽略誤差項E，有：

式（18）即為基于子空間辨識的預測器形式。由預測器的結(jié)構(gòu)形式可知，在求得其系統(tǒng)參數(shù)矩陣并已知系統(tǒng)未來輸出的情況下，將遞推的子空間預測過程轉(zhuǎn)化為預測控制過程，即可設計出預測控制器，其邏輯關(guān)系如圖4所示。

圖4 子空間預測器與預測控制器

由于zT(t)=[uT(t)yT(t)]，因此式（18）中，

式中，?為Penrose-Moore逆。

若已知系統(tǒng)的未來參考輸出r以及過去的輸入、輸出數(shù)據(jù)?，則可利用LQG 準則計算系統(tǒng)的預測控制率uf：

式中，α為遺忘因子。

最小化上述方程，則可求得車輛自適應預測控制律：

至此，即可利用遞推子空間模型辨識算法，針對車輛的橫向穩(wěn)定性，提出具有模型自適應特性的預測控制器，其算法流程如圖5所示。

圖5 基于子空間辨識的自適應預測控制器算法流程

4 數(shù)值仿真驗證

根據(jù)前文推導出的自適應預測控制算法，針對車輛的橫向穩(wěn)定性，可建立如圖6 所示的控制器架構(gòu)，其中系統(tǒng)輸出量為橫擺角速度與質(zhì)心側(cè)偏角，控制量為車輛的前輪轉(zhuǎn)角。其控制原理為：根據(jù)車輛的參考輸入以及系統(tǒng)當前時刻和“過去”p段時間窗的輸入、輸出數(shù)據(jù)，利用遞推子空間辨識算法對預測控制器的模型矩陣進行實時辨識與構(gòu)造，利用辨識出的控制器模型計算出最優(yōu)的前輪轉(zhuǎn)角輸入，從而對車輛的橫向穩(wěn)定性進行控制。其中，參考橫擺角速度通過經(jīng)典的2自由度線性車輛模型計算獲得。文獻[11]指出，應當在行駛過程中使質(zhì)心側(cè)偏角盡量保持較小的值，進而保證車輛的安全性。因此，參考質(zhì)心側(cè)偏角在數(shù)值仿真過程中取值為0。

根據(jù)上述控制架構(gòu)，基于7自由度整車模型，利用道路試驗數(shù)據(jù)分別進行了雙移線和轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角階躍輸入工況的數(shù)值仿真驗證。仿真過程中的車速為100 km/h，路面附著系數(shù)為0.8，均與道路試驗保持一致。圖7 給出了兩種工況下子空間算法辨識出的系統(tǒng)矩陣特征值。從仿真結(jié)果可以看出，在辨識過程中，系統(tǒng)矩陣的特征值始終位于單位圓內(nèi)，對子空間算法的充分條件進行了后驗，保證了辨識過程的可行性。

圖6 車輛橫向穩(wěn)定性控制架構(gòu)

圖7 2種工況下仿真過程中的辨識系統(tǒng)矩陣的特征值

根據(jù)仿真結(jié)果，利用β-γ相平面法[12]對車輛動力學仿真過程中的穩(wěn)定性進行了分析，結(jié)果如圖8 所示，其中陰影部分為由文獻[12]方法確定的穩(wěn)定性區(qū)域。顯然，當車輛處于開環(huán)無控制狀態(tài)時，車輛的橫向動力學特性處于非穩(wěn)定性區(qū)域，而本文設計的自適應預測控制則可以使車輛始終保持在穩(wěn)定區(qū)域。

圖9a、圖9b、圖10a和圖10b分別給出了2種工況下車輛自適應預測控制器的控制效果。車輛在高速行駛過程中，若僅依靠駕駛員控制轉(zhuǎn)向盤（即處于開環(huán)無控制狀態(tài)），橫擺角速度會出現(xiàn)很大的超調(diào)量，同時，質(zhì)心側(cè)偏角的幅值也相對較大，不利于車輛的穩(wěn)定性和安全性。相比于開環(huán)過程，本文提出的自適應預測控制器能夠保證橫擺角速度準確地跟蹤參考模型，同時減小質(zhì)心側(cè)偏角的幅值，大幅提高了車輛的橫向穩(wěn)定性。

此外，圖9c、圖9d、圖10c 以及圖10d 分別給出了2種工況下的車輛前輪轉(zhuǎn)角與輪胎側(cè)偏角。由仿真結(jié)果可以看出，相比于無控制過程，預測控制器能夠降低車輛穩(wěn)定所需的轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角，并能減小前輪的側(cè)偏角，保證了車輛穩(wěn)定性的同時能夠減小輪胎對于側(cè)向力的利用率，根據(jù)輪胎的“摩擦圓”特性可知，此舉能夠降低主動轉(zhuǎn)向過程對于制動力的影響，保證車輛行駛過程中具有足夠的制動性能。

圖8 2種仿真工況下的車輛穩(wěn)定性相平面

圖9 雙移線工況仿真結(jié)果

圖10 轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角階躍輸入工況仿真結(jié)果

5 結(jié)束語

本文基于子空間理論和傳播因子方法，提出了一種基于遞推子空間模型辨識的自適應預測控制算法，并對算法的實現(xiàn)過程進行了詳細推導。根據(jù)算法特征可知，基于子空間的自適應預測控制器具有純數(shù)據(jù)驅(qū)動、無需模型的先驗知識等性能優(yōu)勢，并且具有一定的模型自適應特性。

針對車輛的橫向穩(wěn)定性，本文設計了基于自適應預測控制器的架構(gòu)，并進行了整車動力學數(shù)值仿真。利用仿真過程中辨識模型的系統(tǒng)特征值，對子空間算法的可行性進行了后驗。根據(jù)雙移線工況和轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角階躍輸入工況下的仿真結(jié)果可知，結(jié)合前輪主動轉(zhuǎn)向的自適應預測控制器能夠有效保證車輛行駛的穩(wěn)定性，并降低對于車輛前輪制動性能的影響。