何亞林,趙新龍

(浙江理工大學(xué) 機械與自動控制學(xué)院,杭州 310018)

Stewart 微動平臺由動平臺、定平臺和連桿通過鉸鏈鏈接而成,可以實現(xiàn)6 自由度運動.作為一種并聯(lián)機器結(jié)構(gòu),具有結(jié)構(gòu)剛度大、位置精度高、載重比高等優(yōu)點,被廣泛應(yīng)用于電子元件生產(chǎn)中的夾持系統(tǒng)、精密機床中的刀具控制和鉆銑等領(lǐng)域.Stewart 平臺具有運動空間小、魯棒性強、慣性小、運動精度高以及成本較低等優(yōu)點,同時具有較大的剛度和良好的定位能力,是串聯(lián)機構(gòu)所不能代替的.從Stewart 平臺的控制方面看,Stewart 平臺包含兩個最基本的問題:位姿正解和位姿反解.位姿反解即Stewart 的運動學(xué)反解是已知求解平臺的位姿,即已知3 個線性坐標(biāo)X、Y、Z 和3個旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)參量 α、β、γ[1],求解平臺的6 個支腿長度.位姿正解即Stewart 的運動學(xué)正解則是已知平臺的6 個支腿長度求解平臺位姿.對Stewart 平臺來說,運動學(xué)反解的求解較容易求得,而運動學(xué)正解的求解比較困難[2].位姿正解的求解對于Stewart 平臺空間分析、機構(gòu)設(shè)計以及機構(gòu)在故障中恢復(fù)均有重要作用[3],因此,合理有效快速的位姿正解求解方法是十分必要的.然而,由于Stewart 平臺具有高耦合性、非線性等特點,其位姿正解的求解問題一直是一個難題.無法進行準(zhǔn)確的位姿正解將使系統(tǒng)無法準(zhǔn)確得知目前的平臺運動狀態(tài),會導(dǎo)致產(chǎn)生較大誤差或引起系統(tǒng)震蕩等問題.

目前,位姿正解的求解方法主要有數(shù)值法和解析法兩種.數(shù)值法[4-7]采用迭代法進行求解,迭代法對迭代初值的要求較高,初值選擇不當(dāng)會導(dǎo)致迭代無法正常收斂,從而無法獲得正確解.解析法[8-10]是通過構(gòu)建多組約束方程并消去未知數(shù)的方法,該法的求解過程較復(fù)雜、消元方法不確定,同時求解過程慢,無法滿足實時控制的要求.近年來,基于智能算法的位姿正解方法引起學(xué)者的關(guān)注,劉偉銳等提出采用一種改進的粒子群算法求解并聯(lián)機構(gòu)的位姿正解[11].張宗之等[12]采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來對Stewart 平臺進行位姿正解,收斂速度較慢,容易陷入局部極值.

為了改進迭代法和解析法的缺點,首先建立Stewart平臺支腿長度與平臺位姿的運動學(xué)模型,然后利用Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)位姿正解的求解并實驗驗證.該方法具有良好的動態(tài)特性[13],精度高,能夠快速準(zhǔn)確的實現(xiàn)Stewart 平臺位姿正解的求解.

1 Stewart 平臺運動學(xué)模型

Stewart 平臺結(jié)構(gòu)如圖1所示,驅(qū)動器利用萬向節(jié)和平臺、底座鏈接,通過伸縮運動驅(qū)動動平臺運動,從而在三維空間中實現(xiàn)6 自由度的運動[14].

圖1 Stewart 平臺結(jié)構(gòu)圖

建立動坐標(biāo)系Op-XpYpZp和靜坐標(biāo)系O-XYZ.兩坐標(biāo)系原點分別為動、靜平臺的質(zhì)心,坐標(biāo)平面OpXpYp與動平臺重合,坐標(biāo)平面OXY 與靜平臺重合,Zp軸和Z軸垂直O(jiān)XY 平面豎直向上.

在對平臺進行控制時,涉及到從任務(wù)空間至關(guān)節(jié)空間的轉(zhuǎn)換,任務(wù)空間采用位姿q=進行描述,關(guān)節(jié)空間采用l=[l1l2l3l4l5l6]T進行描述.支腿i上端坐標(biāo)為下端坐標(biāo)為繞Z 軸的偏轉(zhuǎn)角 γ,繞Y 軸的俯仰角為 β,繞X 軸的滾動角為 α,可以得到繞各軸轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)變換矩陣

動平臺相對于定平臺的旋轉(zhuǎn)矩陣為:

計算長度時,需要統(tǒng)一坐標(biāo)系,即通過轉(zhuǎn)換矩陣將動坐標(biāo)系Op-XpYpZp中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到靜坐標(biāo)系O-XYZ中,變換矩陣為:

式中,Sα=sinα,Cα=cosα,其他類似.xp、yp、zp表示動坐標(biāo)系原點在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo).將動坐標(biāo)系中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至靜坐標(biāo)系后為:

根據(jù)支腿兩端坐標(biāo),可得支腿長度為:

從數(shù)學(xué)模型可見,6 條支腿長度l=[l1l2l3l4l5l6]T與位姿q=[xp yp zpα β γ]T之間的關(guān)系可以用6 個結(jié)構(gòu)相同的非線性方程表示:

對式(5)所示的方程組進行求解,就可以得到平臺的位姿參數(shù),即得到動平面對應(yīng)的動坐標(biāo)系Op-XpYpZp原點Op的坐標(biāo)和動平臺的歐拉角(α β γ).

由式(5)可得,Stewart 平臺的模型是由6 個多元非線性方程構(gòu)成,無法通過常規(guī)的公式推導(dǎo)進行簡化和求解.在實際應(yīng)用中,由于模型失配、測量誤差等,所建立的非線性方程組不完全守恒,從而會造成求解失敗的現(xiàn)象.Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種具有局部記憶單元和局部反饋連接的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10],具有良好的動態(tài)特性,收斂速度快,因此,基于Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立Stewart 平臺的位姿正解模型.

2 基于Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Stewart 平臺位姿正解

Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一般分為4 層:輸入層、輸出層(中間層)、承接層和輸出層.輸入層、隱含層、輸出層的連接類似于前饋式網(wǎng)絡(luò),輸入層的單元僅起信號傳輸作用,輸出層單元起線性加權(quán)作用.隱含層單元的傳遞函數(shù)可采用線性或者非線性函數(shù),承接層又稱為上下文層或者狀態(tài)層,它用來記憶隱含層單元前一時刻的輸出值并返回給網(wǎng)絡(luò)的輸入,可以認為是一個一步延時算子.Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示.

圖2 Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

采用Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行位姿正解時,輸入為6 條支腿長度輸出為位姿y=

數(shù)學(xué)模型可以表示為:

其中,α為增益因子,f(·)和g(·)為 激活函數(shù),k=2,3,···,n,n為樣本數(shù).

Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出可表示為:

學(xué)習(xí)指標(biāo)函數(shù)為:

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重更新公式為:

學(xué)習(xí)指標(biāo)E關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)為:

同理,學(xué)習(xí)指標(biāo)E關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)為:

?xj(k)/可由下式得到:

若不考慮xc(k),式(14)可寫為:

同理,學(xué)習(xí)指標(biāo)E關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)為:

其中,

3 Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練與驗證

圖3所示為本次的實驗對象Stewart 平臺.

圖3 Stewart 平臺

3.1 Stewart 平臺參數(shù)

根據(jù)表1和表2的Stewart 平臺參數(shù),圓上任意一點坐標(biāo)計算公式:

其中,x′、y′分別代表任意一點在圓上的X、Y軸坐標(biāo),r′為圓半徑,α′為任意一點與圓心的連線與X軸之間的角度.可得支腿各個連接點在靜平臺坐標(biāo)系中的初始坐標(biāo)如表3、表4.參數(shù)化模型如圖4所示.

表1 Stewart 平臺尺寸參數(shù)

表2 Stewart 平臺支腿連接點位置參數(shù)(單位:°)

表3 支腿動平臺連接點坐標(biāo)

表4 支腿靜平臺連接點坐標(biāo)

圖4 Stewart 平臺參數(shù)化模型

3.2 Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練及驗證

Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)選擇為6-5-6,輸入為支腿長度u=輸出為位姿y=隱含層使用Sigmoid 函數(shù),輸出層使用Purelin 線性傳遞函數(shù),樣本通過位姿反解求得.

根據(jù)表5,可選取運動函數(shù)為:

對應(yīng)的6 個支腿長度變化曲線如圖5所示.

最終結(jié)果如圖6與圖7所示,分別為X、Y、Z 和α、β、γ方向上的Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出與實際輸出圖,圖中黑色虛線代表Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出,綠色點虛線代表實際輸出,誤差統(tǒng)計見表6.圖8與圖9分別表示X、Y、Z 和α、β、γ方向上的誤差圖.

表5 Stewart 平臺運動范圍參數(shù)

圖5 樣本支腿長度變化圖

圖7 α、β、γ 輸出結(jié)果

表6 Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出結(jié)果誤差統(tǒng)計

圖8 X、Y、Z 誤差

4 結(jié)論

由于Stewart 平臺的位姿正解方程組由6 個多元非線性方程構(gòu)成,普通方法難以得位姿正解.更快更準(zhǔn)確地求出其位姿有助于對Stewart 平臺的分析.根據(jù)平臺結(jié)構(gòu)與其運動學(xué)模型建立了相應(yīng)動平臺與靜平臺坐標(biāo)系,用以描述支腿各連接點位置坐標(biāo)和平臺位姿,通過坐標(biāo)法表示運動位姿與支腿長度之間的關(guān)系.建立了模型基于Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Stewart 平臺位姿正解模型,對網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練和實驗驗證.實驗結(jié)果表明:基于elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Stewart 平臺位姿正解方法對于Stewart 平臺的位姿正解問題效果良好,位移誤差和旋轉(zhuǎn)角度誤差范圍都在10-7～10-9mm 左右,精準(zhǔn)度高,驗證了該法的有效性.

圖9 α、β、γ 誤差