盛建龍 彭宗桓 葉祖洋

（武漢科技大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，湖北 武漢 430081）

實(shí)際工程中的邊坡極限狀態(tài)方程（Limit State Function，LSF）常表現(xiàn)為隱式函數(shù)。為解決此類(lèi)問(wèn)題，Gupta等［1］提出了易于操作的響應(yīng)面法（Response Surface Method，RSM），并得到了廣泛應(yīng)用［2-6］。為提高響應(yīng)面法計(jì)算效率，Bucher等［7］改進(jìn)了擬合函數(shù)形式，Rajashekhar等［8］在此基礎(chǔ)上發(fā)展了響應(yīng)面法的迭代求解方案。Kim等［9］以投影取樣代替?zhèn)鹘y(tǒng)取樣方式提出向量投影取樣點(diǎn)法（Vector Projection Re?sponse Surface Method，VPRSM），但未比較各取樣點(diǎn)在擬合中所占權(quán)重。

此后，為進(jìn)一步提高計(jì)算精度，Kaymaz等［10］提出了加權(quán)響應(yīng)面法（Weighted Response Surface Method，WRSM），趙威等［11］將偏最小二乘回歸運(yùn)用于響應(yīng)面擬合優(yōu)化了分析過(guò)程。但不合理的插值系數(shù)取值和取樣點(diǎn)的分布仍會(huì)使計(jì)算產(chǎn)生較大誤差或?qū)е洛e(cuò)誤結(jié)果［12］。

為解決上述問(wèn)題，在研究了取樣點(diǎn)權(quán)重對(duì)擬合精度影響后，基于VPRSM法提出基于向量投影加權(quán)響應(yīng)面法。將取樣點(diǎn)向垂直驗(yàn)算點(diǎn)梯度方向投影以獲得試驗(yàn)點(diǎn)，并利用試驗(yàn)點(diǎn)與極限狀態(tài)函數(shù)的偏離程度對(duì)各取樣點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)以擬合近似極限狀態(tài)方程。所提方法增大了靠近真實(shí)極限狀態(tài)面試驗(yàn)點(diǎn)的權(quán)重，提高了近似精度，同時(shí)減弱了取樣點(diǎn)離散程度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。采用本研究方法對(duì)2個(gè)工程邊坡進(jìn)行可靠性分析，并通過(guò)真實(shí)工程算例給出相關(guān)參數(shù)的建議值。此外，通過(guò)對(duì)比其他可靠度分析方法證實(shí)了其可靠性。

1 基本理論

1.1 響應(yīng)面構(gòu)造基本原理

含有q個(gè)變量的響應(yīng)面函數(shù)模型為

式中，a、bi、ci、dij為待定系數(shù)，當(dāng)給定一組數(shù)據(jù)及相應(yīng)實(shí)驗(yàn)響應(yīng)后，式中待定系數(shù)通常由最小二乘法求得。

Galton等［13］通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)不含交叉項(xiàng)的響應(yīng)面函數(shù)較上式計(jì)算效率更高且精度相差不大。張明等［14］在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步忽略二次項(xiàng)影響，在VPRSM法中將一次線(xiàn)性響應(yīng)面函數(shù)用于擬合真實(shí)極限狀態(tài)面。在保證計(jì)算精度的前提下，提高了計(jì)算效率并實(shí)現(xiàn)了在取樣點(diǎn)附近對(duì)目標(biāo)函數(shù)較好的模擬。本研究依據(jù)以上分析采用式（2）進(jìn)行響應(yīng)面擬合。

1.2 取樣點(diǎn)梯度投影及響應(yīng)面擬合

在邊坡可靠度計(jì)算中，取樣點(diǎn)的選擇策略對(duì)計(jì)算精度及計(jì)算效率有較大影響。在傳統(tǒng)響應(yīng)面法的基礎(chǔ)上將取樣點(diǎn)向響應(yīng)面梯度方向投影，并采用最小二乘法計(jì)算響應(yīng)面函數(shù)，具體操作如下：

假設(shè)上次迭代得到的極限狀態(tài)函數(shù)為

式中，a，b=（b1，b2，…，bn）T為系數(shù)。響應(yīng)面函數(shù)在x*處梯度單位向量ω可表示為

將第i個(gè)隨機(jī)變量xi投影到響應(yīng)面函數(shù)上，得到投影向量為

式中，ei=（δ1i，δ2i，...，δni）T代表沿xi坐標(biāo)軸的單位基向量，其中δji當(dāng)j不等于i時(shí)為0，當(dāng)j等于i時(shí)為1。圖1給出了含有2個(gè)隨機(jī)變量x1、x2的響應(yīng)面在響應(yīng)為零時(shí)的等值線(xiàn)圖。此時(shí)x1的投影向量為T(mén)1，由圖1可知，如果完全沿著T1方向投影，則x*所有的展開(kāi)點(diǎn)均位于上次求解得到的近似極限狀態(tài)平面Z=0上。

由于上次求解得到的近似極限狀態(tài)函數(shù)平面并非真實(shí)極限狀態(tài)平面，將經(jīng)過(guò)投影后的取樣點(diǎn)向x*處梯度方向偏移得到分布于真實(shí)極限狀態(tài)平面的近旁投影。相應(yīng)單位投影向量qi（i=1，2，…，n）為

式中，εq為控制投影方向的系數(shù)；η在0～1之間取值，η取0或1時(shí)分別對(duì)應(yīng)于傳統(tǒng)中心復(fù)合設(shè)計(jì)取樣和全向量投影。

將傳統(tǒng)中心復(fù)合設(shè)計(jì)取樣點(diǎn)向式（6）規(guī)定的方向投影，相應(yīng)投影點(diǎn)在xi軸上的坐標(biāo)為：

式中，fσxiqiTei控制了取樣點(diǎn)分布的離散程度。

利用上述取樣方法一般可得到2n+1個(gè)取樣點(diǎn)，再通過(guò)數(shù)值分析或?qū)嶒?yàn)得到相應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)。將其代入（3）式可得到如下超定線(xiàn)性方程組：

式（9）中待定系數(shù)可依據(jù)最小二乘法由（11）式獲得。

1.3 加權(quán)系數(shù)的構(gòu)造

在利用向量投影取樣點(diǎn)擬合真實(shí)極限狀態(tài)面時(shí)，并未考慮各取樣點(diǎn)的作用大小。研究表明，取樣點(diǎn)與真實(shí)極限狀態(tài)面間的距離與各點(diǎn)在模擬中所起到的作用相關(guān)。若將各取樣點(diǎn)同等對(duì)待便忽略了各取樣點(diǎn)在擬合中的作用大小，如此將會(huì)對(duì)模擬精度和迭代效率造成影響。本項(xiàng)目通過(guò)對(duì)各取樣點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)處理，使靠近真實(shí)極限狀態(tài)面的取樣點(diǎn)獲得更大的權(quán)重，以實(shí)現(xiàn)對(duì)真實(shí)極限狀態(tài)面的快速準(zhǔn)確模擬。權(quán)重系數(shù)構(gòu)造如式（12）和式（13）所示。

式中，|g(xi)|反映了各取樣點(diǎn)到極限狀態(tài)面的距離；ωi代表各取樣點(diǎn)被賦予的權(quán)重，距離極限狀態(tài)面越近的取值點(diǎn)將被賦予更大的權(quán)重；ξ為權(quán)重系數(shù)，一般在0～1之間取值，不同的權(quán)重系數(shù)取值將會(huì)對(duì)取樣點(diǎn)在模擬極限狀態(tài)面的離散性和模擬精度產(chǎn)生影響。

1.4 基于向量投影取樣的加權(quán)響應(yīng)面法

將加權(quán)優(yōu)化思想與向量梯度投影法相結(jié)合選擇取樣點(diǎn)，能在獲取最優(yōu)試驗(yàn)點(diǎn)的同時(shí)得到更高的計(jì)算效率。通過(guò)將中心復(fù)合設(shè)計(jì)的取樣點(diǎn)向上次迭代得到的極限狀態(tài)面上投影，能使取樣點(diǎn)合理分布于極限狀態(tài)面周?chē)??；诟魅狱c(diǎn)在擬合時(shí)的重要程度而構(gòu)造的加權(quán)系數(shù)矩陣，對(duì)各取樣點(diǎn)所攜帶的信息進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化分析。避免了劣質(zhì)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對(duì)迭代效率的影響，同時(shí)提高了擬合精度。通過(guò)投影取樣和加權(quán)處理的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)將隨迭代逐步向真實(shí)極限狀態(tài)面逼近，并最終收斂。

在經(jīng)歷數(shù)次迭代獲得極限狀態(tài)函數(shù)表達(dá)式后，便可由此進(jìn)行可靠度評(píng)價(jià)?；谙蛄考訖?quán)投影取樣點(diǎn)的響應(yīng)面法的計(jì)算步驟歸納如下：

（1）以各變量的均值μx構(gòu)造初始迭代點(diǎn)x=（x1，x2，...，xn）T，利用經(jīng)典響應(yīng)面法獲得初次迭代的響應(yīng)面函數(shù)g（x）及設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)x*。

（2）以上次迭代獲得的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)x*為取樣中心，選取適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)f值，并選用相應(yīng)中心復(fù)合設(shè)計(jì)中的2n個(gè)軸向取樣點(diǎn)。各取樣點(diǎn)坐標(biāo)可表示為xi=x*±fσxi。

（3）將取樣點(diǎn)通過(guò)式（3）～式（8）進(jìn)行投影取樣，并將結(jié)果代入式（10）形成相應(yīng)系數(shù)矩陣A（X）。依據(jù)取樣點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值分析或試驗(yàn)并將得到的相應(yīng)量gi（i=1，2，...，2n+1）構(gòu)成列向量y=（g1，g2，...，g2n+1）。

（4）按照式（12）式和式（13）構(gòu)造權(quán)重系數(shù)W，根據(jù)最小二乘法可得到取樣點(diǎn)加權(quán)后的相應(yīng)響應(yīng)面函數(shù)的待定系數(shù)矩陣為

B=(ATWA)-1ATWy.

（5）通過(guò)JC法計(jì)算所得極限狀態(tài)方程的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)x*及可靠度指標(biāo)β。

（6）將求得的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)作為展開(kāi)點(diǎn)利用式（3）～式（7），以代替f計(jì)算新的展開(kāi)取樣點(diǎn)x*。

（7）重復(fù)步驟（3）～（6），直至前后2次‖x‖相差小于ε。

將上述計(jì)算流程繪于圖2所示。

2 算例分析

2.1 簡(jiǎn)化土坡算例

以文獻(xiàn)［15］中的簡(jiǎn)化土質(zhì)邊坡為例進(jìn)行分析。邊坡示意圖如圖3所示。該邊坡高度H=10 m，坡腳和臨界滑動(dòng)面與水平地面的夾角分別為θ=20°、ψ=26°。邊坡土體的天然重度采用γ=22 kN/m3。滑帶土體的黏聚力c及內(nèi)摩擦角?的統(tǒng)計(jì)參數(shù)如表1所示。

假設(shè)土坡沿臨界滑動(dòng)面滑動(dòng)破壞，表征該土坡穩(wěn)定性的功能函數(shù)可近似表示為

以蒙特卡洛法（107次）（Monte Carlo，MC）的計(jì)算結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)值，將經(jīng)典響應(yīng)面法（RSM）、梯度投影響應(yīng)面法（VPRSM）、加權(quán)響應(yīng)面法（WRSM）和本研究方法的計(jì)算結(jié)果列于表2。表2中本研究方法的權(quán)重系數(shù)ξ綜合考慮了計(jì)算精度和計(jì)算結(jié)果的斂散性取1/2進(jìn)行計(jì)算。

表2中第3、第4、第6列給出了通過(guò)各種計(jì)算方法得到的可靠度指標(biāo)β和失效概率Pf及其與標(biāo)準(zhǔn)值的相對(duì)誤差，將各種方法求出的失效概率與MC法進(jìn)行對(duì)比可知RSM和WRSM法的計(jì)算誤差較為接近，VPRSM法的誤差最大。本研究方法計(jì)算誤差約為RSM和WRSM法的1/138，VPRSM法的1/360，這證實(shí)了該方法的計(jì)算精度。

表2中第5列給出了各種計(jì)算方法的迭代次數(shù)，分別為RSM（1 000次）、WRSM&VPRSM（100）次、本研究方法（12次）。從中可以看出相較于其他方法本研究方法的迭代次數(shù)明顯減少，計(jì)算效率較高。

基于各種可靠度計(jì)算方法擬合得到的近似極限狀態(tài)函數(shù)如圖4所示。通過(guò)比較各種方法得到的功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)附近與真實(shí)極限狀態(tài)函數(shù)的位置關(guān)系可知，本研究方法具有較好的擬合效果。由于RSM方法擬合的功能函數(shù)與真實(shí)函數(shù)偏差較大，當(dāng)前視圖沒(méi)有顯示出來(lái)。

2.2 卡基娃左岸邊坡算例

下面以文獻(xiàn)［16］卡基娃左岸邊坡為例討論本研究方法在分析功能函數(shù)為隱式函數(shù)時(shí)的邊坡可靠度求解過(guò)程，同時(shí)分析權(quán)重系數(shù)對(duì)計(jì)算精度的影響?？ɑ匏娬疚挥谒拇ㄊ錾街?，距木里縣城178 km，距西昌約424 km。壩頂設(shè)計(jì)開(kāi)挖高度180 m，開(kāi)挖至海拔2 850 m時(shí)，2 855 m高程以上變形體前沿滑移剪出，后延沿沿開(kāi)口線(xiàn)開(kāi)裂，且隨工程進(jìn)行變形速率逐漸加快。對(duì)大壩施工及邊坡支護(hù)工程的安全進(jìn)行造成威脅。其滑坡典型剖面如圖5所示。

依據(jù)工程報(bào)告將其土性參數(shù)列于表3。通過(guò)Geostudio軟件slope/w模塊計(jì)算安全系數(shù)，以MCS（106）方法計(jì)算的失效概率標(biāo)準(zhǔn)值為16.45%。

依據(jù)Morgenstern-Price法安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果，采用如式（2）所示的線(xiàn)性響應(yīng)面函數(shù)模擬該邊坡極限狀態(tài)方程。利用向量投影取樣點(diǎn)技術(shù)并通過(guò)加權(quán)優(yōu)化獲得高質(zhì)量取樣點(diǎn)并以此擬合極限狀態(tài)方程，再通過(guò)迭代生成新的展開(kāi)點(diǎn)和取樣點(diǎn)以求解新的極限狀態(tài)方程、可靠度指標(biāo)及失效概率直至計(jì)算結(jié)果收斂。

根據(jù)自主編制的Matlab計(jì)算程序計(jì)算了該邊坡可靠度指標(biāo)和失效概率隨不同權(quán)重取值的變化情況如圖6和表4所示。圖中失效概率計(jì)算值隨著權(quán)重系數(shù)增長(zhǎng)逐步向標(biāo)準(zhǔn)值靠近。當(dāng)權(quán)重系數(shù)增大至0.5左右時(shí)計(jì)算所得的失效概率與標(biāo)準(zhǔn)值最為接近，并在隨后逐漸偏離標(biāo)準(zhǔn)值?；谝陨戏治?，在綜合考慮工程精度和計(jì)算效率的前提下本研究建議采用ξ=0.5進(jìn)行邊坡可靠度計(jì)算。計(jì)算所得的可靠度指標(biāo)和失效概率分別為β=0.976；pf=16.44%。

3 結(jié)論

基于向量投影響應(yīng)面法，提出了一種加權(quán)取樣點(diǎn)的優(yōu)化抽樣方法，并依據(jù)其原理給出了計(jì)算流程圖。分別以1個(gè)簡(jiǎn)化土坡算例和卡機(jī)娃水電站左岸邊坡實(shí)例研究了該方法的計(jì)算精度并提出了加權(quán)系數(shù)的建議值。主要結(jié)論如下：

（1）利用取樣點(diǎn)至極限狀態(tài)面的距離建立加權(quán)系數(shù)矩陣，優(yōu)化了取樣點(diǎn)的選擇策略，減少了迭代次數(shù)。較傳統(tǒng)響應(yīng)面法提高了計(jì)算效率和精度，為隱式功能函數(shù)的工程問(wèn)題提供了一種新擬合方法。

（2）為研究該方法的可靠性，本研究同時(shí)采用了多種傳統(tǒng)響應(yīng)面法進(jìn)行模擬比對(duì)。結(jié)果表明本研究方法的精度能夠滿(mǎn)足工程要求，且較其他方法具有更高的計(jì)算效率。

（3）探討了不同重要性系數(shù)ξ對(duì)響應(yīng)面模擬的影響。通過(guò)對(duì)真實(shí)工程案例的模擬分析，提出了權(quán)重系數(shù)ξ的建議值，可方便推廣于其他工程，具有一定的發(fā)展前景。