李 萍 白 羽

tanh函數(shù)法及其在Joseph-Egri方程中的推廣和應(yīng)用

*李 萍1白 羽2

（1周口技師學(xué)院文化基礎(chǔ)課部，河南 周口 466000 2周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466000 ）

在齊次平衡原則的基礎(chǔ)上探討了tanh函數(shù)法及其一種推廣的tanh函數(shù)法的具體解方程的步驟，應(yīng)用Joseph-Egri方程進(jìn)行具體求解，得到了在不同情況下不同結(jié)果的精確解。

齊次平衡原則；tanh函數(shù)法；推廣的tanh函數(shù)法；Joseph-Egri方程；精確解

0 引言

在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中，由于非線性偏微分方程的廣泛應(yīng)用[1]，而引發(fā)對(duì)此研究的熱潮。而tanh函數(shù)法[2]是在齊次平衡法[3]的基礎(chǔ)之上，解非線性偏微分方程的孤立波解，可以借助它來(lái)解Ginzburg-Landau-方程[4]和修改的IBq方程[5]。但是在解題的過程中，發(fā)現(xiàn)了它的局限性，由此產(chǎn)生后來(lái)推廣的tanh函數(shù)法[6]。而對(duì)于推廣的tanh函數(shù)法，在解sine-Gordon方程、KDV方程的新式解[7]以及非線性發(fā)展方程(組)的行波解[8]時(shí)，可以達(dá)到用tanh函數(shù)法所不能達(dá)到的效果。本文將以同一個(gè)Joseph-Egri方程為例，分別用tanh函數(shù)法和推廣的tanh函數(shù)法解出它的精確解，去直觀地展示不同的精確解。

1 tanh函數(shù)法

對(duì)于非線性微分方程，假定其一般形式為

第2步：引入一個(gè)獨(dú)立的新變量

即有：

第3步：假設(shè)方程可以得到tanh函數(shù)多項(xiàng)式如下形式的解：

由此根據(jù)齊次平衡原則，將平衡方程中的最高階非線性項(xiàng)的冪次與線性最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的冪次相等，可確定參數(shù)。

2 推廣的tanh函數(shù)法

3 基于tanh函數(shù)法的Joseph-Egri方程求解

對(duì)于Joseph-Egri方程

對(duì)于雙曲正切函數(shù)

又因?yàn)?/p>

于是方程(3.2)的解為

得到Joseph-Egri方程的精確解為

圖1 時(shí)，的波形圖

4 基于推廣的tanh函數(shù)法的Joseph- Egri方程求解

現(xiàn)在繼續(xù)考慮Joseph-Egri方程

并且令方程的解為如下形式

對(duì)于雙曲正切函數(shù)

又因?yàn)?/p>

于是可以得出方程(4.2)的解為

所以得到Joseph-Egri方程的精確解為

圖2 β＝3時(shí)， u的波形圖

由圖1和圖2進(jìn)行直觀地對(duì)比，tanh函數(shù)法比推廣的方法更局限，從兩個(gè)波形圖就可以看出，只從x-質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)定下時(shí)與u-位移聯(lián)系來(lái)看，用tanh函數(shù)法會(huì)使解的形式更加的單一，會(huì)使一部分解丟失。而推廣的方法相對(duì)于原來(lái)的tanh函數(shù)法能解出更多豐富的解，從而更加的有優(yōu)勢(shì)。

5 總結(jié)

本文是在利用齊次平衡原則的基礎(chǔ)上，先是通過tanh函數(shù)法求Joseph-Egri方程，從而求解出Joseph-Egri方程的精確解，然后為了進(jìn)一步研究不同形式下的孤立波解，應(yīng)用推廣形式下的tanh函數(shù)法求解Joseph-Egri方程。雖然求解過程相較于tanh函數(shù)法更為復(fù)雜，但由于考慮了更精確解的情況，得到了在各種不同類型下的解的情況。

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Tanh function method and its application in Joseph-egri equation

*LI Ping1, BAI Yu2

(1. Basic culture department，Zhoukou Technician College, Zhoukou, Henan 466000, China;2. School of mathematics and statistics, Zhoukou Normal University , Zhoukou, Henan 466000, China)

Based on the principle of homogeneous equilibrium, this paper discusses the steps of tanh function method and its extended method to solve the equation. By applying the Joseph egri equation to solve the equation, we get the exact solutionsofdifferentresultsindifferent situations.

homogeneous equilibrium principle; tanh function method; extended method; Josephegrie quation;exact solution

Q175.23

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2020.04.002

1674-8085(2020)04-0006-04

2020-02-15；

2020-04-08

*李 萍(1966-)，女，河南周口人，高級(jí)講師，主要從事偏微分方程精確解的研究(E-mail:604799880@qq.com);

白 羽(1995-)，女，河南信陽(yáng)人，主要從事微分方程的研究(E-mail:1085643931@qq.com).