蔡吉飛 位士博 郭凱明

直線導(dǎo)軌與曲線導(dǎo)軌過(guò)渡曲線對(duì)滑塊運(yùn)轉(zhuǎn)性能起著十分重要的作用。通過(guò)對(duì)滑塊在直曲線和圓弧導(dǎo)軌上各階段工作要求分析，給出了滑塊運(yùn)動(dòng)軌跡的求解方程，得出了確定圓弧導(dǎo)軌半徑參數(shù)的基本方法。通過(guò)對(duì)導(dǎo)軌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和速度分析，給出了影響圓弧導(dǎo)軌半徑尺寸的相關(guān)因素，得到了其振動(dòng)頻率的求解方法。

導(dǎo)軌作為機(jī)械設(shè)備上一種零部件，現(xiàn)已形成了標(biāo)準(zhǔn)化、通用化生產(chǎn)，在機(jī)械設(shè)備上得到了廣泛應(yīng)用，如圖1所示。目前所使用的導(dǎo)軌主要以直線導(dǎo)軌或環(huán)形導(dǎo)軌為主，曲線導(dǎo)軌使用很少，主要是造價(jià)遠(yuǎn)高于常規(guī)的直線或圓形導(dǎo)軌。很多企業(yè)都把曲線導(dǎo)軌設(shè)計(jì)的相關(guān)資料列為機(jī)密技術(shù)，不向外界透露任何信息。本文針對(duì)梯形滑塊從直線導(dǎo)軌到曲線導(dǎo)軌過(guò)渡時(shí)的行走曲線進(jìn)行了分析研究，為需要這類技術(shù)人員提供一點(diǎn)幫助和支持。

環(huán)形導(dǎo)軌設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是直線和直線之間的過(guò)渡段。這個(gè)過(guò)渡段多數(shù)是用圓弧直接過(guò)渡的一段式結(jié)構(gòu)，有的則是用過(guò)渡曲線+圓弧曲線+過(guò)渡曲線的三段式結(jié)構(gòu)。直接采用圓弧過(guò)渡曲線，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，加工成本低。但由直線段到圓弧段存在的問(wèn)題是法向加速度出現(xiàn)跳躍式突變，容易產(chǎn)生沖擊和振動(dòng)。

梯形滑塊在導(dǎo)軌上的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析

由滑塊上的1、2、3、4點(diǎn)組成的梯形滑塊（如果不需要轉(zhuǎn)彎，則選用矩形滑塊即可）如圖2所示。當(dāng)前的滑塊位于直線導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌的寬度為l67，滾子的半徑為l47，則可由梯形邊長(zhǎng)參數(shù)求出導(dǎo)軌的寬度。

由于工作環(huán)境、導(dǎo)軌誤差等多種因素，要保證滑塊能夠自由移動(dòng)，l67至少要有負(fù)公差0.05～0.1mm。過(guò)大誤差，滑塊可能會(huì)擺動(dòng);過(guò)小誤差，滑塊可能會(huì)卡死。

滑塊上面的點(diǎn)2從圓弧軌道外側(cè)起始點(diǎn)8的位置開(kāi)始進(jìn)入圓弧形軌道。假如滑塊仍然處于直行狀態(tài)，則滑塊各項(xiàng)指標(biāo)要求同前，如圖3的左上角圖所示。當(dāng)梯形滑塊上面的點(diǎn)1移動(dòng)到圓弧軌道外側(cè)起始點(diǎn)8時(shí)，如果滑塊上的點(diǎn)2仍然保持水平狀態(tài)，則后面的導(dǎo)軌仍然是直線導(dǎo)軌。如果滑塊上的點(diǎn)3剛好到達(dá)圓弧軌道內(nèi)側(cè)起始點(diǎn)9的位置，如圖3的右上角所示，這時(shí)梯形滑塊底邊已經(jīng)向下傾斜了一個(gè)角度。如果滑塊上的點(diǎn)3與垂直線有一個(gè)向左側(cè)的傾斜角度，且這個(gè)角度與梯形滑塊滑塊上的點(diǎn)1、點(diǎn)5、點(diǎn)7這3點(diǎn)組成的小三角形內(nèi)最小角相等，如圖3的左下角所示。這時(shí)的圓弧半徑R即為所允許的最小Rmin，如果再小于這個(gè)值，滑塊就會(huì)與導(dǎo)軌之間硬性卡死。因此圓弧導(dǎo)軌R的取值區(qū)間為（Rmin，+∞），如圖3的右下角所示。

R的值越來(lái)越大時(shí)，圓弧導(dǎo)軌就越來(lái)越接近直線導(dǎo)軌，其占用的空間也隨之越來(lái)越大，從而導(dǎo)致機(jī)器的體積和圓弧導(dǎo)軌的加工成本都要大幅度增加。要找到一個(gè)比較理想的R值，既能夠不增加成本，又能夠使滑塊前進(jìn)的阻力最小，就需要對(duì)可能的R值進(jìn)行研究分析。如圖3右下角所示，這是梯形滑塊可能的幾個(gè)位置狀態(tài)，其中一個(gè)狀態(tài)是梯形滑塊上的點(diǎn)1和點(diǎn)4在同一條垂直線上（如圖3左下角圖所示，滑塊上的點(diǎn)1和點(diǎn)4與垂直直線上的圓弧軌道外側(cè)起始點(diǎn)8和圓弧軌道內(nèi)側(cè)起始點(diǎn)9重合）。這時(shí)梯形滑塊的斜邊14與直線導(dǎo)軌處于垂直狀態(tài)，因而其與直線軌道之間的間隙最大（假定圓弧軌道的徑向?qū)挾扰c直線導(dǎo)軌寬度相等）。如果后面聯(lián)接的圓弧半徑選擇這個(gè)值，則滑塊轉(zhuǎn)彎的難度最低。這個(gè)圓弧的半徑就是由滑塊在4個(gè)點(diǎn)等腰梯形延伸成三角形的斜邊長(zhǎng)度：

滑塊運(yùn)動(dòng)曲線各階段過(guò)程分析

1.直線與圓弧之間的過(guò)渡曲線分析

從上面分析可以看出，如果由直線直接過(guò)渡到圓弧，則會(huì)出現(xiàn)梯形滑塊運(yùn)動(dòng)軌跡曲率半徑發(fā)生變化，由無(wú)線大直接變成圖中的圓弧半徑R值，這個(gè)跳躍就會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，導(dǎo)致梯形滑塊上的滾子與滑道產(chǎn)生沖擊。因此理想的梯形滑塊運(yùn)動(dòng)軌跡的曲線應(yīng)該是曲率半徑是漸變的，從而使梯形滑塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不產(chǎn)生沖擊或者產(chǎn)生的沖擊盡可能小。假定梯形滑塊上的點(diǎn)2從圓弧軌道外側(cè)起始點(diǎn)8位置開(kāi)始進(jìn)入過(guò)渡曲線，當(dāng)滑塊上的點(diǎn)1到達(dá)圓弧軌道外側(cè)起始點(diǎn)8位置時(shí)，這時(shí)滑塊上的點(diǎn)1與點(diǎn)2同時(shí)與曲線導(dǎo)軌開(kāi)始接觸，這個(gè)過(guò)渡曲線的直線距離就是梯形的底邊。

顯然要使過(guò)渡曲線與兩端平穩(wěn)銜接，則必須采用樣條曲線，即保持位移和一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則過(guò)渡曲線的表達(dá)式可以表示為：

（x，y）為圓弧中心坐標(biāo)，而圓弧中心即為坐標(biāo)系的原點(diǎn)。如果坐標(biāo)系中心不在圓心，則可通過(guò)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換來(lái)求得轉(zhuǎn)換結(jié)果。根據(jù)兩端的邊界條件，即可求出4個(gè)系數(shù)值，從而求得x，y之間的函數(shù)關(guān)系，畫(huà)出過(guò)渡曲線。

上面用簡(jiǎn)單的樣條曲線將直線導(dǎo)軌與圓弧導(dǎo)軌連接起來(lái)，但理論上還有很多問(wèn)題要考慮，如這段曲線必須要求是外凸形的，即曲率中心必須在軌道內(nèi)側(cè);同時(shí)還要求兩端的連接過(guò)渡要平穩(wěn)，交接時(shí)不出現(xiàn)抖動(dòng)，則至少要求兩端連接點(diǎn)3階及4階以上導(dǎo)數(shù)連續(xù)（需要采用7階以上多項(xiàng)式連接，如下面公式所示）。兩端的參數(shù)直線段上各階導(dǎo)數(shù)都為0，圓弧上的各階導(dǎo)數(shù)可用圓弧方程連續(xù)求導(dǎo)得出。

理論計(jì)算結(jié)果如圖3所示。圖3中的左上角為位移曲線，右上角為一階導(dǎo)數(shù)曲線，左下角為二階導(dǎo)數(shù)曲線，右下角為三階導(dǎo)數(shù)曲線。從一階異數(shù)曲線可以看出，位移曲線應(yīng)該是連續(xù)光滑的（曲線上無(wú)折點(diǎn)）;從二階導(dǎo)數(shù)曲線可以看出，位移曲線應(yīng)該是內(nèi)凹的（二階導(dǎo)數(shù)全部為負(fù)值）;從三階導(dǎo)數(shù)曲線可以看出，內(nèi)凹的過(guò)程墨跡是漸近的（三階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的）。這種過(guò)渡曲線理論上顯然可以滿足高速滑塊運(yùn)轉(zhuǎn)的要求。

2.滑塊從過(guò)渡曲線到圓弧之間的過(guò)渡過(guò)程分析

當(dāng)滑塊長(zhǎng)邊的前端點(diǎn)進(jìn)入到圓弧軌道表面時(shí)，滑塊長(zhǎng)邊的后端點(diǎn)正好到達(dá)過(guò)渡曲線上，這時(shí)可根據(jù)幾何關(guān)系求出梯形滑塊上面點(diǎn)3的運(yùn)動(dòng)軌跡，因?yàn)榛瑝K上面點(diǎn)4此時(shí)已經(jīng)進(jìn)入圓弧軌道的內(nèi)徑上，運(yùn)動(dòng)軌跡已經(jīng)確定。當(dāng)然也可假定滑塊上的點(diǎn)1的軌跡與滑塊上的點(diǎn)2的軌跡完全相同，則根據(jù)滑塊上的點(diǎn)2的兩個(gè)約束條件（一是滑塊上的點(diǎn)2與滑塊上的點(diǎn)1之間距離為固定值，即梯形底邊的長(zhǎng)度;二是滑塊上的點(diǎn)2在圓弧表面，滿足其坐標(biāo)的平方和為固定值）來(lái)求得梯形短邊上滑塊上的點(diǎn)3和滑塊上的點(diǎn)4兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。實(shí)際上這種求解編程更為方便，本程序最后求解即采用這個(gè)計(jì)算公式。

3.滑塊在圓弧曲線上的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析

當(dāng)滑塊長(zhǎng)邊的后端點(diǎn)進(jìn)入到圓弧表面時(shí)，滑塊上面與軌道接觸的4個(gè)點(diǎn)全部到達(dá)圓弧曲線上，這時(shí)滑塊和圓弧軌道處于理想接觸狀態(tài)。理論分析可以看出，只有梯形滑塊的上底和下底邊都在同心圓上，滑塊才可以在圓弧軌道上無(wú)間隙移動(dòng)。據(jù)此推理，圓弧軌道的徑向?qū)挾纫笥谥本€導(dǎo)軌的寬度。

4.滑塊從圓弧到垂直導(dǎo)軌的過(guò)渡曲線分析

當(dāng)梯形滑塊長(zhǎng)邊的前端點(diǎn)到達(dá)圓弧曲線的末端時(shí)，開(kāi)始進(jìn)入過(guò)渡曲線。這段過(guò)渡曲線可從前一段過(guò)渡曲線以45°角為對(duì)稱軸鏡像得到（即對(duì)稱曲線），因此曲線上的各點(diǎn)坐標(biāo)值可直接通過(guò)坐標(biāo)變換來(lái)得到。

5.滑塊從過(guò)渡曲線到垂直導(dǎo)軌的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析

由于滑塊長(zhǎng)邊的前端點(diǎn)已經(jīng)進(jìn)入到垂直直線上，滑塊長(zhǎng)邊的后端點(diǎn)進(jìn)入到過(guò)渡曲線上。因此可通過(guò)梯形長(zhǎng)邊約束和過(guò)渡曲線上的點(diǎn)及梯形長(zhǎng)邊前端點(diǎn)坐標(biāo)的x值，可求出梯形長(zhǎng)邊前端點(diǎn)坐標(biāo)的y值。

滑塊運(yùn)動(dòng)軌跡求解過(guò)程及運(yùn)動(dòng)誤差的進(jìn)一步分析

1.求解方法可進(jìn)一步簡(jiǎn)化，編程更加方便

上述是對(duì)滑塊在每一階段的運(yùn)動(dòng)軌跡做了詳細(xì)分析，并給出了求解方法。更簡(jiǎn)單的方法就是讓滑塊在起始的水平位置與過(guò)渡曲線或圓弧曲線之間留有一段水平運(yùn)動(dòng)軌跡（直線段），即滑塊第一段運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，第二段運(yùn)動(dòng)軌跡為過(guò)渡曲線，第三段運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，則后面的運(yùn)動(dòng)軌跡都可通過(guò)鏡像得到，不需要再做進(jìn)一步討論。假如是90°的圓弧導(dǎo)軌，則可以45°直線鏡像得到后半部分曲線;如果是半圓弧導(dǎo)軌則可以通過(guò)圓心的水平直線鏡像得到后半部分曲線。

2.滑塊運(yùn)動(dòng)軌跡的誤差分析

假定在采用過(guò)渡曲線的條件下，梯形長(zhǎng)邊的前端點(diǎn)和后端點(diǎn)都在軌道外側(cè)的曲線上，則梯形短邊后端點(diǎn)剛進(jìn)入導(dǎo)軌時(shí)與短邊前端點(diǎn)的起始位置之間存在誤差。如果此值為零，則表示重合;如果不為零，則表明有運(yùn)動(dòng)誤差存在，可能會(huì)影響滑塊的運(yùn)動(dòng)精度。

假定在不采用過(guò)渡曲線的條件下，梯形長(zhǎng)邊的前端點(diǎn)和后端點(diǎn)都在軌道外側(cè)的圓弧曲線上，則梯形短邊后端點(diǎn)剛進(jìn)入導(dǎo)軌時(shí)與短邊前端點(diǎn)的起始位置之間的誤差。如果此值為零，則表示重合;如果不為零，則表明有運(yùn)動(dòng)誤差存在。如果要求導(dǎo)軌在直線上和圓弧上與導(dǎo)軌之間間隙都接近于零，則直線導(dǎo)軌和圓弧導(dǎo)軌過(guò)渡點(diǎn)必然有一個(gè)跳躍，從而可能會(huì)導(dǎo)致滑塊前行時(shí)與圓弧導(dǎo)軌的跳躍部分形成沖擊，所以必須將這個(gè)跳躍打成斜坡，保證滑塊向前運(yùn)動(dòng)不受直接撞擊。當(dāng)然在滑塊由圓弧導(dǎo)軌進(jìn)入直線導(dǎo)軌時(shí)又會(huì)產(chǎn)生二次沖擊。

根據(jù)滑塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，滑塊進(jìn)入圓弧軌道時(shí)要向外形成離心力，因而圓弧軌道內(nèi)側(cè)與直線導(dǎo)軌之間最好光滑過(guò)度，外側(cè)與圓弧導(dǎo)軌之間可用斜坡過(guò)渡（如果不在一條直線上或者寬度不相等的話）。上面提到的過(guò)渡曲線也應(yīng)首先保證內(nèi)側(cè)曲線為平滑過(guò)渡曲線。

3.圓弧導(dǎo)軌參數(shù)的影響因素分析

①圓弧導(dǎo)軌內(nèi)外徑設(shè)計(jì)分析

假如圓弧軌道的半徑為前述的最小值，即滑塊進(jìn)入圓弧軌道后，梯形斜邊14與23線重合，這是后接圓弧軌道半徑所允許的最小值。如果再繼續(xù)增加擺動(dòng)角度的話，梯形滑塊就會(huì)與導(dǎo)軌之間卡死。同時(shí)在梯形滑塊擺動(dòng)過(guò)程中，它的最大擺動(dòng)角度將達(dá)到梯形斜邊與垂直直線夾角的兩倍以上?；瑝K擺動(dòng)角度與后接導(dǎo)軌半徑近似成反比，因此在滿足空間要求的前提下，盡可能通過(guò)增大圓弧導(dǎo)軌的半徑來(lái)減小滑塊的擺動(dòng)角度。

②滑塊參數(shù)對(duì)圓弧導(dǎo)軌參數(shù)的影響分析

上面提到的圓弧半徑R值實(shí)際上受到滑塊參數(shù)的影響，梯形滑塊的上下底邊差距越小，滑塊與圓弧導(dǎo)軌之間的間距就越小，其在過(guò)渡過(guò)程中的擺動(dòng)角就越小。因此要使圓弧導(dǎo)軌的半徑小一點(diǎn)，同時(shí)過(guò)渡過(guò)程中擺角也要小一些，則最好的辦法就是使梯形上下底邊差最小，同時(shí)其長(zhǎng)度也要盡可能地短一些。如果滑道的寬度能小一些，也有利于減小圓弧軌道的半徑值。但如果滑塊參數(shù)的變化可能會(huì)對(duì)其所攜帶的負(fù)載產(chǎn)生比較大的影響，從負(fù)載的角度講，滑塊各方面參數(shù)應(yīng)盡可能大一些為佳。

③機(jī)器運(yùn)動(dòng)速度對(duì)圓弧半徑的影響分析

機(jī)器速度越快，滑塊進(jìn)入圓弧軌道后的離心力就越大，這會(huì)對(duì)傳送皮帶形成比較大的離心拉力，容易加速皮帶疲勞損壞。由于這個(gè)離心力是周期性的，因而還會(huì)形成系統(tǒng)振動(dòng)，當(dāng)其振動(dòng)固有頻率與系統(tǒng)上的某些部件固有頻率接近時(shí)，會(huì)引起系統(tǒng)共振。其工作頻率為：

V為機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度，n為單位長(zhǎng)度內(nèi)的頭數(shù)，4為環(huán)形導(dǎo)軌上的四段圓弧導(dǎo)軌。假定機(jī)器速度為18米/分，每米有3個(gè)安裝手套裝置，則f=6H?Z左右。這是基頻頻率，它還有可能會(huì)產(chǎn)生2次或3次諧波，從而有可能對(duì)機(jī)器工作狀態(tài)產(chǎn)生影響。當(dāng)機(jī)器的速度要求比較高時(shí)，可通過(guò)ANSYS軟件分析滑塊與軌道之間的接觸受力狀況，為滑塊和導(dǎo)軌的強(qiáng)度和剛度設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

④圓弧導(dǎo)軌和滑塊的嚙合分析

要使滑塊在圓弧導(dǎo)軌上無(wú)間隙運(yùn)動(dòng)（如圖5所示），只有梯形滑塊頂邊和底邊完全在同心圓上。由于可以畫(huà)出無(wú)數(shù)個(gè)通過(guò)四點(diǎn)的同心圓，所以R可以有無(wú)數(shù)個(gè)值。但當(dāng)軌道的寬度確定后，R只能有唯一一個(gè)值。假定圓心的點(diǎn)用0表示。

其中Rh為圓弧導(dǎo)軌的寬度。改變Rh的值，R的值就隨著改變，Rh的最大值就是梯形滑塊斜邊的長(zhǎng)度。這種結(jié)果會(huì)導(dǎo)致圓弧導(dǎo)軌和直線導(dǎo)軌直接連接時(shí)，出現(xiàn)厚度不一樣偏差。梯形上下底邊長(zhǎng)度差值越小，這個(gè)導(dǎo)軌過(guò)渡位置的偏差就越小，但導(dǎo)軌的半徑就越大。同時(shí)又要偏差小，又要半徑小是很難同時(shí)做到的。所以采用過(guò)渡曲線來(lái)連接直線導(dǎo)軌和圓弧導(dǎo)軌，這樣才能保證滑塊在直線運(yùn)動(dòng)時(shí)和曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)與導(dǎo)軌之間的間隙最小。

上面對(duì)直線導(dǎo)軌與圓弧導(dǎo)軌對(duì)接的影響因素做了簡(jiǎn)要分析。但是要使圓弧導(dǎo)軌能夠正常工作，還有其他因素要分析研究，如負(fù)載對(duì)象的控制精度直接影響到導(dǎo)軌相關(guān)參數(shù)的確定。為保證圓弧導(dǎo)軌長(zhǎng)時(shí)間工作，對(duì)導(dǎo)軌表面的熱處理和加工方法也有一些特殊要求。除此之外導(dǎo)軌在安裝過(guò)程中還需要反復(fù)進(jìn)行運(yùn)轉(zhuǎn)靈活性測(cè)試，確保運(yùn)動(dòng)過(guò)程中無(wú)卡頓和撞擊現(xiàn)象。鑒于滑塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的離心力存在，在研磨軌道時(shí)最好研磨圓弧軌道的外側(cè)，即始終保持圓弧軌道的內(nèi)側(cè)與梯形滑塊的滾子接觸。圓弧軌道外側(cè)的修磨長(zhǎng)度不大于梯形底邊的長(zhǎng)度。

總之直線導(dǎo)軌與圓弧導(dǎo)軌對(duì)接給滑塊運(yùn)動(dòng)帶來(lái)了很多技術(shù)難題，在高精度設(shè)計(jì)時(shí)必須對(duì)這些問(wèn)題逐一研究，才能夠保證滑塊負(fù)載的運(yùn)動(dòng)精度達(dá)到規(guī)定的技術(shù)要求。本文重點(diǎn)討論的是梯形滑塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，如果采用的其他滑塊結(jié)構(gòu)，其研究方法也與此類似。

作者單位：北京印刷學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院 北京印刷學(xué)院智能制造實(shí)驗(yàn)室 北京華德液壓工業(yè)集團(tuán)有限責(zé)任公司

注：本論文資助基金項(xiàng)目：國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（2019 YFB170302）;北京市科技重大專項(xiàng)（Z191100009119002）

責(zé)任編輯：李倩 liqian@cprint.cn