張 偉
(重慶市萬州高級(jí)中學(xué),重慶 404120)
圖1
如圖1所示,在光滑水平面上,有一質(zhì)量為M的小球A向墻運(yùn)動(dòng),速度為v,A和墻之間的連線上停著另一個(gè)質(zhì)量為m的小球B.假設(shè)A與B,B與墻之間的碰撞均為完全彈性碰撞,兩物體可以看成質(zhì)點(diǎn).顯然當(dāng)兩個(gè)球質(zhì)量相等時(shí),A碰上B,A停下來,B繼續(xù)運(yùn)動(dòng),B碰到墻再返回碰A.A與B、B與墻之間一共發(fā)生了3次碰撞.
如果M>m,那么小球A碰完小球B之后還會(huì)繼續(xù)向墻運(yùn)動(dòng),總共的碰撞次數(shù)可能會(huì)大于3.實(shí)際上,
當(dāng)M=104m時(shí),共碰撞314次;
當(dāng)M=106m時(shí),共碰撞3141次;
當(dāng)M=108m時(shí),共碰撞31415次.
隨著A和B質(zhì)量之比的增大,總共的碰撞次數(shù)會(huì)和圓周率的數(shù)值有關(guān).如何解釋這個(gè)關(guān)系?
設(shè)第i次小球B與小球A碰撞后,小球B的速度為ui,小球A的速度為vi,由機(jī)械能守恒
(1)
由數(shù)學(xué)知識(shí)可知,當(dāng)x2+y2=C(C為常數(shù)),滿足該方程的點(diǎn)(x,y)在平面直角坐標(biāo)系中為組成了一個(gè)圓.
設(shè)M=Nm,代入(1)式,得
(2)
將式(2)化簡(jiǎn),得
(3)
在最開始的時(shí)候,即小球A與B第一次碰撞之前,A的速度為v,B的速度為0,在圖3中用點(diǎn)a(v,0)來表示該狀態(tài).不妨設(shè)以向左為正方向.
圖2 式(3)直角坐標(biāo)系下的圓
圖3 用點(diǎn)在圓中表示每次碰撞
上述過程可以重復(fù)下去,直到ui≤vi時(shí)為止.此時(shí),兩個(gè)滑塊都向右運(yùn)動(dòng),B塊追不上A,于是不會(huì)再發(fā)生碰撞.把所有的點(diǎn)依次用直線連接起來,如圖3.
考慮A與B碰撞過程中動(dòng)量守恒,假設(shè)兩個(gè)小球由于碰撞前從相向而行(如圖4甲)到碰撞后同向而行(如圖4乙),則
圖4
Nmvi-mui=Nmvi+1+mui+1.
(4)
將式(2)兩邊同時(shí)除以v2,得
(5)
(6)
(7)
由和差化積公式
代入式(7),得
(8)
化簡(jiǎn)得
(9)
同理可得,在圖5中的上半圓與下半圓每個(gè)兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)都是定值.由式(9),可得
(10)
(11)
圖5中上半圓中所有兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)個(gè)數(shù)表示A與B碰撞的次數(shù), 圖5中下半圓中所有兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)個(gè)數(shù)表示B與墻碰撞的次數(shù),則B與A,B與墻之間的碰撞次數(shù)k,
圖5 在“圖3”所示的圓中表示α與β
(12)
其中[ ]表示取整.
至此,問題得解.
通過能量守恒和動(dòng)量守恒,采用圓方程和三角函數(shù)的數(shù)學(xué)手段,解釋了小球間、小球與墻之間的彈性碰撞次數(shù)與π的關(guān)聯(lián).在物理競(jìng)賽教學(xué)中多和學(xué)生進(jìn)行這樣的分析討論,無論對(duì)于提升學(xué)生的理論水平、分析能力,還是對(duì)于提升學(xué)生物理學(xué)習(xí)的興趣,都能起到較大的推動(dòng)作用.