王祥 張嘯 賈永恒 王聰 余忠晟

1 同濟(jì)大學(xué)建筑與城市規(guī)劃學(xué)院

2 哈爾濱工業(yè)大學(xué)建筑學(xué)院

1 研究背景

圖解靜力學(xué)作為結(jié)構(gòu)靜力學(xué)理論中的重要工具和設(shè)計(jì)方法，在近幾十年的大量結(jié)構(gòu)創(chuàng)新性項(xiàng)目和研究中被廣泛應(yīng)用[1]。隨著當(dāng)代計(jì)算性設(shè)計(jì)方法的普及以及計(jì)算機(jī)算法輔助設(shè)計(jì)的大量應(yīng)用，相關(guān)設(shè)計(jì)插件的出現(xiàn)也帶來(lái)了當(dāng)代眾多以圖解靜力學(xué)為依據(jù)的基本結(jié)構(gòu)類型的找形設(shè)計(jì)方法[2]。傳統(tǒng)圖解靜力學(xué)以力的多邊形法則為基礎(chǔ)，通過(guò)將空間平衡力系理解成反映結(jié)構(gòu)中力傳遞的“形”圖解以及力系之間平衡所構(gòu)成的“力”圖解，一方面可以將結(jié)構(gòu)平衡問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)化為“力”圖解中封閉多邊形的構(gòu)造問(wèn)題，另一方面也可以將結(jié)構(gòu)中三維平衡的內(nèi)力快速地可視化呈現(xiàn)。同時(shí)，對(duì)于設(shè)計(jì)師而言，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基本問(wèn)題也從抽象的平衡方程求解轉(zhuǎn)化成更加直觀地對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)力的主動(dòng)性控制過(guò)程。

然而，傳統(tǒng)圖解靜力學(xué)囿于其形與力的二維對(duì)偶性質(zhì)的基本理論依托，往往只能局限地應(yīng)用于二維桁架、索結(jié)構(gòu)、殼結(jié)構(gòu)等拓?fù)潢P(guān)系為二維流線的“曲面化”結(jié)構(gòu)找形設(shè)計(jì)中。2016年，瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院（ETH）的馬蘇德·阿克巴扎德（Masoud Akbazardeh）在其博士研究中創(chuàng)新地根據(jù)麥克斯韋（Maxwell）和朗肯（Rankine）于19世紀(jì)提出的三維多面體力系的平衡與三維封閉多面體的對(duì)偶性質(zhì)[3-4]，將二維圖解靜力學(xué)理論延伸到三維，提出了關(guān)于三維圖解靜力學(xué)的基本結(jié)構(gòu)理論、幾何理論以及與之相對(duì)應(yīng)的一般性設(shè)計(jì)方法[5]。顧名思義，三維圖解靜力學(xué)拓展了傳統(tǒng)圖解靜力學(xué)所涉及的形態(tài)的維度，將圖解靜力學(xué)的應(yīng)用范圍從只可被二維化抽象定義的平衡結(jié)構(gòu)拓展到復(fù)雜的三維平衡結(jié)構(gòu)。

本文基于三維圖解靜力學(xué)的基本理論，從兩個(gè)案例探討基于三維多面體對(duì)偶性質(zhì)的圖解靜力學(xué)設(shè)計(jì)方法以及其應(yīng)用可能，并從數(shù)字建造技術(shù)的角度展現(xiàn)其在冰雪建造為代表的材料性能化設(shè)計(jì)探索中的巨大應(yīng)用潛力。

2 三維圖解靜力學(xué)的一般原理

2.1 二維圖解靜力學(xué)中的力多邊形法則

傳統(tǒng)圖解靜力學(xué)理論中，二維平面平衡力系可以通過(guò)向量平移的方法轉(zhuǎn)化為首尾相接的連續(xù)封閉的力多邊形，因此也被稱為“力的多邊形法則”。

如圖1左圖所示，五個(gè)共面外力F1～F5構(gòu)成平面平衡力系（五個(gè)力的合力為零），即為該平衡力系的“形”圖解，其中五個(gè)外力由FN表示，外力交于一點(diǎn)P，并將平面空間分為順時(shí)針A～E表示的五個(gè)子空間。根據(jù)力的向量表示法，該平衡力系的五個(gè)分量可以通過(guò)平移的方式進(jìn)行首尾相接，從而構(gòu)成一個(gè)圍合封閉的連續(xù)多邊形，如圖1右圖所示，亦稱作該平衡力系的“力”圖解。在“力”圖解中，原有合力在平面內(nèi)的共點(diǎn)P轉(zhuǎn)化為一個(gè)閉合的力多邊形，“力”多邊形的頂點(diǎn)即代表“形”圖解中被外力分隔形成的子空間，這種圖形之間的對(duì)偶性質(zhì)也被稱為“形”圖解和“力”圖解間的“互逆”（Reciprocal）關(guān)系。

2.2 三維圖解靜力學(xué)中的多面體對(duì)偶性質(zhì)

三維圖解靜力學(xué)考慮了空間平衡力系的更加一般的對(duì)偶性質(zhì)。其中，三維平衡力系不再使用投影的方法將其轉(zhuǎn)化為平面力系進(jìn)行求解，而是根據(jù)麥克斯韋和朗肯提出的對(duì)偶理論，將其與三維封閉的力多面體相匹配，從而建立出更高維度下圖解靜力學(xué)中多面體之間的對(duì)偶關(guān)系。

如圖2所示，四個(gè)空間外力在點(diǎn)P處達(dá)到平衡，在相應(yīng)的“力”圖解中，交點(diǎn)被表示成一個(gè)封閉的力四面體，“形”圖解中的四個(gè)力被表示為力圖解中的四個(gè)對(duì)應(yīng)的面，面的方向垂直于“形”圖解中“力”向量的方向，其面積等于“形”圖解中平衡狀態(tài)下力的大小。

1 二維圖解靜力學(xué)的基本原理——力的多邊形法則

2 三維圖解靜力學(xué)基本原理——推力線形圖解和空間多面體力圖解間的對(duì)偶關(guān)系

3 基于力多面體組構(gòu)模式的圖解靜力學(xué)生形的基本原型分析

4 “實(shí)驗(yàn)椅”案例中初始力多面體組合方式研究和模式確立

5 “實(shí)驗(yàn)椅”案例中針對(duì)深化、優(yōu)化設(shè)計(jì)的力多面體剖分研究

6 “實(shí)驗(yàn)椅”案例的結(jié)構(gòu)有限元分析驗(yàn)證及最終建造效果

3 基于三維圖解靜力學(xué)的空間結(jié)構(gòu)找形設(shè)計(jì)方法——以一個(gè)“實(shí)驗(yàn)椅”為例

三維圖解靜力學(xué)中抽象的形與力的關(guān)系使其往往很難直接用于結(jié)構(gòu)創(chuàng)新性設(shè)計(jì)之中，本節(jié)針對(duì)此問(wèn)題，結(jié)合一個(gè)教學(xué)課程作業(yè)——“實(shí)驗(yàn)椅”的設(shè)計(jì)過(guò)程，探討基于三維圖解靜力學(xué)的基本設(shè)計(jì)方法。

3.1 力多面體的拆分模式與結(jié)構(gòu)形態(tài)

與二維圖解靜力學(xué)不同，三維圖解靜力學(xué)的設(shè)計(jì)過(guò)程往往直接從三維“力”圖解的架構(gòu)開始，因此初始力多面體的構(gòu)造方式往往決定了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的基本形態(tài)（圖3展示了多種初始多面體及多面體組合對(duì)應(yīng)的形圖解的幾何構(gòu)造特征）。因此，應(yīng)用三維圖解靜力學(xué)進(jìn)行的空間結(jié)構(gòu)找形，首先需要根據(jù)結(jié)構(gòu)受力特征的假定，建立相關(guān)初始力多面體組合。在本案例的受力模型設(shè)計(jì)中，將椅腿四個(gè)支點(diǎn)作為固定支座，為簡(jiǎn)化模型將椅背也作為固定支座，施加荷載分解為豎直向下對(duì)椅面的壓力和水平對(duì)椅背的側(cè)推力，由此構(gòu)造了簡(jiǎn)單的力多面體簇，初步建立了椅子的受力模型（圖4）。

3.2 力多面體的細(xì)分與形態(tài)優(yōu)化

初始力多面體的構(gòu)造代表了初步設(shè)計(jì)中對(duì)于基本結(jié)構(gòu)純受壓傳力路徑的基本假設(shè)，同時(shí)，在力圖解中對(duì)一個(gè)力多面體按照某種規(guī)則剖分，在保證力多面體仍然封閉的情況下，分解的小多面體簇可以看成是平衡力系中全局力不變條件下對(duì)作用力分解的等效。因此，多面體細(xì)分的方法也是結(jié)構(gòu)深化設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)中的重要方法。

在本例中，設(shè)計(jì)者從椅面開始，通過(guò)力多面體的剖分和增加新的多面體來(lái)改變結(jié)構(gòu)受力的拓?fù)潢P(guān)系：首先將椅面看作四個(gè)支座點(diǎn)進(jìn)行細(xì)分，形成平衡的平面力系；其次向下增加力多面體改變?nèi)至?，使其變?yōu)樽罱K受力傳向四個(gè)椅腿支座點(diǎn)的三維平衡力系；最后對(duì)其內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行合適的剖分變成對(duì)偶圖形理想的力多面體簇（圖5）。

3.3 三維圖解靜力學(xué)找形與結(jié)構(gòu)性能的匹配

在三維圖解靜力學(xué)中，結(jié)構(gòu)的初始形態(tài)定義和最終的平衡確認(rèn)過(guò)程被獨(dú)立地分成了結(jié)構(gòu)初始形圖解或“力”圖解的基本形態(tài)組構(gòu)，以及“形”圖解和“力”圖解幾何關(guān)系的二次優(yōu)化（如“形”圖解中的力向量和力圖解中對(duì)應(yīng)的平面垂直關(guān)系）的問(wèn)題。因此，在形與力的操作過(guò)程中，設(shè)計(jì)者可以從任何一個(gè)圖解的形態(tài)操作入手，對(duì)目標(biāo)形態(tài)進(jìn)行調(diào)整和限定，最后通過(guò)針對(duì)整體應(yīng)用最優(yōu)化方法，使“形”圖解和“力”圖解實(shí)現(xiàn)“垂直化”，以尋找最終平衡后的全局力系。

圖解靜力學(xué)原理在特定邊界條件下的設(shè)計(jì)問(wèn)題中，通過(guò)圖解操作和拆分組合的方法給出了符合條件的最優(yōu)傳力的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，適合于大量針對(duì)材料性能、加工性能等有特殊需求的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題。如在本案例中，材料的選擇為0.5mm超薄鋼板，其空腔式的結(jié)構(gòu)形態(tài)使其表面受力性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)弱于延折痕方向的結(jié)構(gòu)性能。同時(shí)，平板式的原材料類型也使結(jié)構(gòu)的加工適合于由平面構(gòu)成的多面體腔體結(jié)構(gòu)。因此，在結(jié)構(gòu)早期的設(shè)計(jì)過(guò)程中對(duì)相關(guān)傳力路徑（圖6為結(jié)構(gòu)的有限元計(jì)算模型，展示了應(yīng)力主要沿折痕形成的瓦楞區(qū)域分布）、結(jié)構(gòu)的基本幾何形式加以考慮，可以更加高效地使用材料和結(jié)構(gòu)形式。

4 三維圖解靜力學(xué)啟發(fā)下的復(fù)雜冰雪結(jié)構(gòu)計(jì)算性設(shè)計(jì)與數(shù)控建造

冰是一種堅(jiān)硬而易碎的材料，可以承受較大的壓力，而抗拉、抗彎、抗剪等性能較差，因此冰雪結(jié)構(gòu)最合理的設(shè)計(jì)方法就是通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)形態(tài)和建造方式的設(shè)計(jì)，盡量滿足材料本身的結(jié)構(gòu)性能要求。圖解靜力學(xué)的原則就是使力與形的關(guān)系相互匹配，與“力”圖解相匹配的“形”圖解受力只沿著桿件的軸向傳遞，因此每個(gè)桿件并不受彎矩，這種受力特點(diǎn)非常適合冰這種材料。

4.1 找形流程

7 冰雪結(jié)構(gòu)的初步三維圖解靜力學(xué)找形

8 冰雪結(jié)構(gòu)的深化設(shè)計(jì)與幾何優(yōu)化

9 冰雪結(jié)構(gòu)的機(jī)器人輔助加工示意

10 冰雪構(gòu)件的連接工藝試驗(yàn)

11 最終完成的機(jī)械臂輔助加工的三維圖解靜力學(xué)冰雪結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)找形以基本的三維圖解靜力學(xué)的多面體剖分開始，以正四面體為原型，通過(guò)對(duì)某一三角平面向上的多面體進(jìn)行細(xì)分，以增加最終結(jié)構(gòu)核心部位的桿件數(shù)量。多面體細(xì)分基本分為兩個(gè)層級(jí)：第一層級(jí)為對(duì)構(gòu)筑物“核心”的細(xì)分，以正四面體中心為起點(diǎn)，向四個(gè)頂點(diǎn)連線，將正四面體均分為四組四面體；第二層級(jí)是對(duì)構(gòu)筑物“枝干”的細(xì)分，將其細(xì)分為兩組四面體組合，以形成枝干三棱錐的幾何形態(tài)（圖7）。同時(shí)考慮到加工時(shí)間等因素，研究最終選擇的桿件數(shù)量為30根整，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行幾何深化。

4.2 幾何優(yōu)化

為將找形獲得的幾何線框優(yōu)化成可供數(shù)控加工并組裝的冰塊構(gòu)件，需要進(jìn)行幾何深化工作。在此出現(xiàn)過(guò)兩種深化方式的探討：方案一是以每條桿件為路徑進(jìn)行單軌掃掠形成柱體；方案二是以每個(gè)桿件作為冰塊多面體的輪廓，直接形成最終的冰塊幾何。研究中首先對(duì)方案一進(jìn)行了1:10的模型搭建，即使是通過(guò)高精度的3D打印，每個(gè)冰塊單元在拼接過(guò)程中仍出現(xiàn)了較大的累計(jì)誤差，因此為減少加工冰塊的數(shù)量并減少累計(jì)誤差，最終決定采用方案二，即以多面體棱臺(tái)的基礎(chǔ)幾何進(jìn)行切割，并適當(dāng)縮小構(gòu)筑物的總體尺寸，以滿足選用的機(jī)械臂建造方式對(duì)每個(gè)單元的加工半徑需求（圖8）。

4.3 機(jī)械臂加工及最終結(jié)構(gòu)搭建

結(jié)構(gòu)本身的多面體形態(tài)和最終優(yōu)化的單元構(gòu)件尺寸，使最終的結(jié)構(gòu)建造可以通過(guò)機(jī)器人輔助的帶鋸切割以全過(guò)程數(shù)字化控制的方式來(lái)完成?；谘芯繄F(tuán)隊(duì)自主開發(fā)的FURobot機(jī)器人控制插件[6]，本研究對(duì)KUKA機(jī)械臂定制了相應(yīng)刀路，機(jī)械臂工具端沿著此路徑運(yùn)動(dòng)，使線鋸的切割路徑形成一個(gè)直紋曲面（本例中多為平面），完成對(duì)冰塊的切割（圖9）。

在現(xiàn)場(chǎng)搭建過(guò)程中，團(tuán)隊(duì)以450 mm 高、700mm×1 650mm的三條冰臺(tái)為基礎(chǔ)，在其上進(jìn)行整體基礎(chǔ)定位，并使用泡沫板作為整體核心結(jié)構(gòu)的臨時(shí)支撐。然后，團(tuán)隊(duì)將整個(gè)構(gòu)筑物的三條落地構(gòu)件先完成粘貼。此工作需要首先將兩個(gè)連接的冰塊表面打磨平滑，再使用熱水均勻少量地涂抹在冰塊表面，再快速將兩個(gè)幾何體對(duì)準(zhǔn)粘牢，此后使用少量冰雪混合物加固粘貼的縫隙，最終使水凍結(jié)（圖10）。在完成冰塊的粘貼安裝后，將臨時(shí)泡沫塑料支撐撤除，完成最終構(gòu)筑物的整體搭建（圖11）。

5 結(jié)論與展望

綜上所述，圖解靜力學(xué)通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)傳力路徑和結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系的合理設(shè)計(jì)和找形，實(shí)現(xiàn)了針對(duì)材料基本性能和加工工藝雙方面優(yōu)化的性能化設(shè)計(jì)方法。針對(duì)冰雪結(jié)構(gòu)的建造，在傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)認(rèn)知的基礎(chǔ)之上，整合了更加前沿的數(shù)字化設(shè)計(jì)方法和機(jī)器人輔助的高精度加工方式，再結(jié)合三維圖解靜力學(xué)的應(yīng)用，能夠?yàn)槲磥?lái)新材料驅(qū)動(dòng)下的結(jié)構(gòu)性能化設(shè)計(jì)提供更加多元、新穎的發(fā)展方向。同時(shí)，結(jié)合相關(guān)工藝生成一體化的建造策略以及整合性的設(shè)計(jì)工具，也是未來(lái)計(jì)算性設(shè)計(jì)與結(jié)構(gòu)性能化設(shè)計(jì)發(fā)展的重要方向。

致謝：本研究作為2019 中國(guó)建筑學(xué)會(huì)計(jì)算性設(shè)計(jì)學(xué)術(shù)委員會(huì)第一屆數(shù)字設(shè)計(jì)及建造工作坊的研究成果，作者對(duì)中國(guó)建筑學(xué)會(huì)計(jì)算性設(shè)計(jì)學(xué)術(shù)委員會(huì)以及學(xué)會(huì)活動(dòng)組織者致以衷心的感謝。同時(shí)，作者也對(duì)全體小組成員仲美玲、國(guó)珂寧、邱明楚、何昕宇、吳凌菊、于鑫宇、田凱寧、謝瑩粲、宋宣齊、朱映愷、周栩至、趙田、楊岳等的辛苦工作表示感謝。

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