高 超，徐乃忠，孫萬明，鄧偉男，韓科明

(1.煤炭科學(xué)研究總院 開采研究分院，北京 100013; 2.天地科技股份有限公司 開采設(shè)計(jì)事業(yè)部，北京 100013)

地表沉陷是一個(gè)非常復(fù)雜的時(shí)間-空間運(yùn)動(dòng)問題，地表任意時(shí)間段內(nèi)的變形量值若達(dá)到地表建(構(gòu))筑物的極限承受值，將可能誘發(fā)地質(zhì)災(zāi)害，威脅到地面人員的生命與財(cái)產(chǎn)安全。為準(zhǔn)確科學(xué)地評(píng)估工作面開采對(duì)地面沉陷的影響程度，需要事先建立科學(xué)的地表沉陷動(dòng)態(tài)沉陷預(yù)計(jì)模型，獲得該地區(qū)準(zhǔn)確的模型參數(shù)，進(jìn)而分析地表任意點(diǎn)、任意時(shí)刻的地表動(dòng)態(tài)沉陷變形量。國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者針對(duì)不同的動(dòng)態(tài)沉陷預(yù)計(jì)模型進(jìn)行了探索。

1952年，波蘭學(xué)者KNOTHE[1]基于“某一時(shí)刻的地表下沉速度與地表最終下沉值之差成比例”原理推導(dǎo)了Knothe動(dòng)態(tài)下沉?xí)r間函數(shù)。崔希民等[2]通過實(shí)測資料對(duì)比研究得出Knothe時(shí)間函數(shù)地表移動(dòng)下沉速度、下沉加速度與地表移動(dòng)變形的實(shí)際過程的差異性。常占強(qiáng)等[3]基于Knothe時(shí)間函數(shù)改進(jìn)并提出了分段Knothe時(shí)間函數(shù)模型;后續(xù)張兵等[4]對(duì)該函數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。劉玉成等[5]針對(duì)Knothe時(shí)間函數(shù)的不足，提出冪指數(shù)-Knothe時(shí)間函數(shù)模型。王軍保等[6]將S型生長曲線MMF模型用于地表沉降時(shí)間預(yù)測中。王正帥與鄧喀中[7]將Richards生長模型引入地表沉降預(yù)計(jì)中，分析了模型參數(shù)與地質(zhì)采礦條件之間的定性、定量關(guān)系。高延法等[8]基于Knothe時(shí)間函數(shù)，導(dǎo)出了適用于地表移動(dòng)衰退期及其以后的地表下沉衰減函數(shù)并對(duì)沉陷區(qū)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分類。胡青峰與崔希民等[9]對(duì)Knothe時(shí)間函數(shù)的各參數(shù)規(guī)律進(jìn)行了分析。彭小沾與崔希民等[10]對(duì)Knothe時(shí)間函數(shù)、Sroka-Schober時(shí)間函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)及其相互關(guān)系進(jìn)行了詳細(xì)分析。劉玉成[11]將概率積分法與Weibull時(shí)間函數(shù)相結(jié)合，構(gòu)建了沉陷主剖面線的地表動(dòng)態(tài)下沉函數(shù)模型。朱廣軼等[12]運(yùn)用概率積分法提出地表動(dòng)態(tài)移動(dòng)變形的坐標(biāo)-時(shí)間函數(shù)。張文志與鄒友峰等[13]將Logistic模型引入礦區(qū)單點(diǎn)動(dòng)態(tài)沉陷預(yù)計(jì)中，并通過實(shí)測數(shù)據(jù)分析了模型的精度與適用性。李德海[14]將覆巖巖性與Knothe時(shí)間函數(shù)中的參數(shù)相結(jié)合，探討了覆巖巖性與時(shí)間影響參數(shù)的關(guān)系。余闖等[15]將Gompertz函數(shù)引入路堤沉降預(yù)測中，并結(jié)合相關(guān)實(shí)踐證明了該函數(shù)的適用性。

沉陷動(dòng)態(tài)預(yù)計(jì)一般由開采引起的最終地表移動(dòng)變形乘以反映巖層移動(dòng)時(shí)間效應(yīng)的時(shí)間函數(shù)模型來進(jìn)行，該時(shí)間函數(shù)往往由實(shí)測數(shù)據(jù)擬合求得。受測量精度的限制，開采沉陷學(xué)中，規(guī)定的地表初始移動(dòng)時(shí)間t=0時(shí)的地表下沉值為10 mm，以往學(xué)者大多以通過原點(diǎn)的函數(shù)作為動(dòng)態(tài)沉陷預(yù)計(jì)函數(shù)，并基于實(shí)測成果反算求得各模型中的參數(shù)值，沉陷實(shí)測-理論模型構(gòu)建-實(shí)踐應(yīng)用的過程，往往由不對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)帶來一定誤差。

大量的實(shí)測資料表明，Knothe,Logistic等時(shí)間函數(shù)與實(shí)際的地表沉陷的動(dòng)態(tài)過程不完全符合，不能科學(xué)地描述地表動(dòng)態(tài)下沉過程。筆者基于朔州地區(qū)特厚煤層高強(qiáng)度綜放開采的地表移動(dòng)變形的特殊性，在分析常用時(shí)間函數(shù)地表點(diǎn)沉陷變形的特征基礎(chǔ)上，引入Von Bertalanffy時(shí)間函數(shù)，基于此函數(shù)改進(jìn)該函數(shù)，使之成為三參量的時(shí)間函數(shù)，并應(yīng)用Matlab擬合求取各參數(shù)，最后基于該模型并結(jié)合概率密度影響函數(shù)對(duì)井工一礦高壓線塔下回采進(jìn)行地表動(dòng)態(tài)沉陷計(jì)算分析，并成功指導(dǎo)地面線塔的基礎(chǔ)加固與糾偏治理。

1 動(dòng)態(tài)沉陷時(shí)間函數(shù)

在許多時(shí)間序列預(yù)測中常用“S型”曲線描述事物的增長或衰減過程，由于“S型”曲線形式多樣、結(jié)構(gòu)不同，對(duì)同樣觀測值預(yù)測結(jié)果略有差別。在時(shí)間序列里，有些變量的增長量最初比較小，隨時(shí)間的增加逐漸增長而達(dá)到一個(gè)快速增長時(shí)期，而后增長速度趨緩，最終達(dá)到穩(wěn)定的總增長量，這一過程若用曲線來表示，則是一種沿時(shí)間軸方向拉長的“S型”曲線。

1.1 常見函數(shù)模型

若用wm表示地表任意點(diǎn)沉陷穩(wěn)定后的最大下沉量(單位為mm)，w(t)表示任意時(shí)刻的動(dòng)態(tài)下沉，v(t)表示任意時(shí)刻的地表下沉速度(單位為mm/d)，a(t)表示任意時(shí)刻的地表下沉加速度(單位為mm/d2)。

(1)Knothe函數(shù)。該模型假定地表下沉速率dW(t)/dt與地表最終下沉值wm和某一時(shí)刻t的動(dòng)態(tài)下沉值w(t)之差成比例，推導(dǎo)并提出:

w(t)=wm(1-e-ct)

(1)

式中，c為時(shí)間影響參數(shù)，與采場覆巖巖性有關(guān)。

為進(jìn)一步研究該模型在煤礦開采沉陷預(yù)計(jì)中的適用性，對(duì)該函數(shù)進(jìn)行一階和二階函數(shù)求導(dǎo)，分析該下沉速度v(t)=wmce-ct和下沉加速度a(t)=-wmc2e-ct的函數(shù)，可知Knothe時(shí)間函數(shù)具有以下特征:① 地表下沉曲線形狀非“S型”;② 地表剛開始受到沉陷擾動(dòng)，即t=0時(shí)下沉速度最大，然后逐漸減小至0;③ 下沉加速度恒為負(fù)值，下沉加速度一開始以最大加速度逐漸衰減;④ 僅有1個(gè)參數(shù)c，實(shí)際的動(dòng)態(tài)沉陷表達(dá)性不足。

(2)Logistic模型。Logistic增長模型[13]在生態(tài)學(xué)、人口學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛地應(yīng)用;它反映了事物發(fā)生、發(fā)展、成熟并趨于飽和(極限)的過程。其函數(shù)式為

(2)

式中，g,f為與采場上覆巖層巖性有關(guān)的參數(shù)。

(3)Gomepertz模型。由英國數(shù)學(xué)家B.Gomepertz提出并應(yīng)用于動(dòng)植物的消亡規(guī)律，現(xiàn)多用于非采動(dòng)影響下的路堤或地基的沉降，其函數(shù)式[15]為

w(t)=wme-e-ct+d

(3)

式中，c,d為與采場上覆巖層巖性有關(guān)的參數(shù)。

對(duì)該函數(shù)進(jìn)行一階和二階函數(shù)求導(dǎo)，分析該下沉速度v(t)=wmce-ed-cted-ct和下沉加速度a(t)=-wmc2e-ct的函數(shù)，可知Gomepertz時(shí)間函數(shù)具有以下特征:① 下沉曲線是“S型”，與煤礦開采地表沉陷特征較相符;② 地表移動(dòng)初始期，t=0時(shí)，地表下沉速度v≠0、下沉加速度a≠0，這與實(shí)際情況不符。

(4)Weibull模型。Weibull曲線函數(shù)在軟土地基的沉降預(yù)測中適用性較好，其函數(shù)式[11]為

w(t)=wm(1-e-ntk)

(4)

式中，n,k為與采場上覆巖層巖性有關(guān)的參數(shù)。

對(duì)該函數(shù)進(jìn)行一階和二階函數(shù)求導(dǎo)，分析該下沉速度v(t)=wmnktk-1e-ntk和下沉加速度a(t)=wmnke-ntk[(k-1)tk-2-nkt2k-2]的函數(shù)，可知Weibull時(shí)間函數(shù)具有以下特征:① 該函數(shù)是對(duì)Knothe時(shí)間函數(shù)的改進(jìn);② 收斂速度較快，衰退期的下沉“拖尾”性質(zhì)表現(xiàn)不足;③ 時(shí)間函數(shù)中的參數(shù)物理意義尚不明確，難推廣。

(5)Richards時(shí)間函數(shù)。Richard生長方程[7]為一個(gè)3參數(shù)的非線性方程，主要用于生物生長的預(yù)測，其函數(shù)方程為

w(t)=wm(1-b1e-b2t)1/(1-b3)

(5)

式中，b1為初始沉降值參數(shù);b2為初始沉降速度參數(shù);b3為曲線形狀參數(shù)。

對(duì)該函數(shù)進(jìn)行一階和二階函數(shù)求導(dǎo)，分析該下沉速度和下沉加速度的函數(shù)，可知Richard時(shí)間函數(shù)具有以下特征:① Richards函數(shù)可較好地表達(dá)煤礦開采后地表點(diǎn)任意時(shí)刻的下沉、下沉速度、下沉加速度等;② 參數(shù)對(duì)曲線形狀影響敏感性差，不同采礦地質(zhì)條件下曲線形狀變化規(guī)律性不明顯。

(6)雙曲線模型。雙曲線函數(shù)模型主要用于預(yù)測地基和路基的沉降，其函數(shù)模型在一定程度上可反映次固結(jié)的影響。

(6)

式中，b為與采場上覆巖層巖性有關(guān)的參數(shù)。

對(duì)該函數(shù)進(jìn)行一階和二階函數(shù)求導(dǎo)，分析該下沉速度v(t)=b/(b+t/wm)2和下沉加速度a(t)=-2b/[(b+t/wm)3wm]的函數(shù)，可知雙曲線時(shí)間函數(shù)具有以下特征:① 地表動(dòng)態(tài)下沉曲線形狀非S型;② 與Knothe等時(shí)間函數(shù)相似，t=0時(shí)，下沉速度最大，然后逐漸減小為0;③ 下沉加速度恒為負(fù)值，然后逐漸衰減為0。

(7)分段Knothe時(shí)間函數(shù)。

(7)

式中，c為與采場上覆巖層巖性有關(guān)的參數(shù);T,τ分別為地表總移動(dòng)周期與地表下沉速度達(dá)到最大的時(shí)刻。

與Knothe函數(shù)相似，但其又有新的特點(diǎn):① 人為對(duì)時(shí)間函數(shù)進(jìn)行分段劃分，當(dāng)最大下沉速度時(shí)的τ時(shí)刻時(shí)，地表下沉值并非為1/(2wm)，與實(shí)際情況的相差較大;② 下沉的加速過程和減速過程是對(duì)稱的，沒有反映出沉陷中活躍期的快速性、衰退期的長期性和拖尾性。

(8)冪函數(shù)-Knothe時(shí)間函數(shù)?？紤]到巖層與地表移動(dòng)的非線性過程，在Knothe函數(shù)式中增加一個(gè)冪級(jí)系數(shù)k。

w(t)=wm(1-e-ct)k

(8)

式中，c,k為與采場上覆巖層巖性有關(guān)的參數(shù)。

分析下沉速度v(t)=wmcke-ct(1-e-ct)k-1和下沉加速度a(t)=wmc2k(2e-2ct-e-ct)(1-e-ct)k-2的函數(shù)，可知雙曲線時(shí)間函數(shù)具有以下特征:① 在Knothe函數(shù)的基礎(chǔ)之上，增加了冪級(jí)系數(shù)k，可以適當(dāng)?shù)母淖兿鲁燎€的形狀;② 在一定程度上克服了Knothe時(shí)間函數(shù)某些方面缺點(diǎn)，但缺少地表下沉速度對(duì)函數(shù)的控制影響研究。

(9)MMF時(shí)間函數(shù)模型。MMF模型是于1975年提出是一種“S型”生長曲線模型，王軍保等[1]將該模型用于地表沉降時(shí)間預(yù)測中。

(9)

式中，c,b為時(shí)間影響參數(shù)，與采場覆巖巖性有關(guān)。

對(duì)該函數(shù)進(jìn)行一階和二階函數(shù)求導(dǎo)，分析該下沉速度v(t)=wmbctb-1/(c+tb)2和下沉加速度a(t)=wmbctb-2(ba-c-btb-tb)/(c+tb)3的函數(shù)，可知MMF函數(shù)具有以下特征:① 該函數(shù)可以較好地表示不同地質(zhì)采礦條件下的地表下沉;②b與c的物理意義有待研究;③ 時(shí)間t=0時(shí)下沉速度和加速度都無法表示。

(10)Sroka-Schober時(shí)間函數(shù)。Sroka以Knothe函數(shù)為基礎(chǔ)建立的時(shí)間函數(shù)為

(10)

式中，f為巖層的相對(duì)收斂率;ξ為上覆巖層的時(shí)間系數(shù)，用于描述巖層的滯后效應(yīng)。

該函數(shù)具有以下特征:① 該函數(shù)曲線非S型;② 下沉速度更接近于理想的時(shí)間函數(shù)，但下沉加速度曲線形態(tài)不正確;③ 實(shí)際應(yīng)用中，f和ξ不是已有參數(shù)，參數(shù)難以獲取，并且f和ξ難以同時(shí)求出。

大量的實(shí)測資料表明，Knothe,Logistic,Gomepertz與Weibull等常見時(shí)間函數(shù)與實(shí)際的地表沉陷的動(dòng)態(tài)過程不完全符合，這些函數(shù)雖能在一定程度上對(duì)地表動(dòng)態(tài)移動(dòng)變形進(jìn)行預(yù)計(jì)，但這些模型或不能反映地表下沉速度和加速度的變化規(guī)律，或函數(shù)中的參數(shù)物理意義不明確，不能反映各參數(shù)隨地質(zhì)采礦條件的變化。

1.2 理想函數(shù)模型特征

理想的時(shí)間函數(shù)模型應(yīng)該能夠反映:工作面回采尺寸逐步增大，巖層移動(dòng)變形傳播至地表，地表在可監(jiān)測范圍內(nèi)隨時(shí)間變化應(yīng)為規(guī)律性地移動(dòng)變形。依據(jù)煤礦開采后地表移動(dòng)變形的動(dòng)態(tài)變形實(shí)測情況，結(jié)合前述學(xué)者對(duì)地表動(dòng)態(tài)沉陷時(shí)間函數(shù)的研究成果，理想的時(shí)間函數(shù)模型應(yīng)具有以下特點(diǎn):①t=0時(shí)，地表某點(diǎn)的下沉量w(t)=0或?yàn)榭杀O(jiān)測值(受監(jiān)測精度限制，一般取值為10 mm)、下沉速度v(t)=0、下沉加速度a(t)=0;② 在初始期的下沉量、下沉速度與下沉加速度較小、為正值且逐漸增大;③ 活躍期下沉速度與下沉加速度較大，下沉加速度變化過程為先增大至峰值后、逐漸減小至0、然后負(fù)值、負(fù)值達(dá)到峰值后逐漸減小;④ 衰退期下沉速度為正、逐漸變小且逐漸趨于0，下沉加速度由負(fù)值逐漸增大且逐漸趨于0;⑤ 整個(gè)下沉-時(shí)間曲線近似“S”型曲線，由于巖塊與裂隙的壓實(shí)、蠕變歷時(shí)較長，衰退期長而平緩;⑥ 針對(duì)不同地質(zhì)采礦條件，可通過形狀參數(shù)調(diào)整動(dòng)態(tài)下沉曲線形狀的陡峭或平緩、可通過調(diào)整沉降速度參數(shù)調(diào)整地表動(dòng)態(tài)下沉速度。

2 基于Bertalanffy的時(shí)間函數(shù)模型

2.1 模型及其改進(jìn)

Von Bertalanffy模型[17-18]為常見的生物生長模型，主要用于預(yù)測動(dòng)植物的生長規(guī)律，也常應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)與統(tǒng)計(jì)學(xué)中。該模型是Logistic的推廣，且具有較好的靈活性，其函數(shù)方程為

w(t)=wm(1-be-ct)3

(11)

式中，b與c為時(shí)間影響參數(shù)，其中b可反映t=0時(shí)的初始沉降值，c反映t=0時(shí)的初始沉降加速度值。

模型改進(jìn)(三參模型):考慮到巖層與地表移動(dòng)過程的非線性，尤其對(duì)于近淺埋深特厚煤層綜放開采，地表沉陷變形集中、盆地邊緣陡峭等特征，將Bertalanffy函數(shù)式中的3次冪變?yōu)闀r(shí)間影響參數(shù)d(反映曲線的形狀，可反映不同地質(zhì)采礦條件下的曲線陡峭、收斂速度、拖尾性等)，用于煤礦開采地表動(dòng)態(tài)沉陷研究中，可將Bertalanffy函數(shù)改進(jìn)為三參數(shù)模型:

w(t)=wm(1-be-ct)d

(12)

根據(jù)模型中參數(shù)對(duì)曲線形態(tài)或量值的控制性作用，式中的參數(shù)b為初始沉降值參數(shù)(可反映地表初始沉降值及地表移動(dòng)初始期的長短)，c為初始沉降速度參數(shù)，d為曲線形狀參數(shù)。

2.2 模型特點(diǎn)分析

2.2.1不通過原點(diǎn)性

煤礦開采地表沉陷動(dòng)態(tài)預(yù)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用中，在選擇好模型情況后，將實(shí)測參數(shù)代入函數(shù)模型，反算求得各參數(shù)。在實(shí)際“三下”采煤或沉陷保護(hù)應(yīng)用中，受測量精度的限制，開采沉陷預(yù)計(jì)參數(shù)求取及沉陷預(yù)計(jì)所涉及的邊界角、超前影響角等都是基于地表下沉量值為10 mm點(diǎn)作為計(jì)算依據(jù)的。即多個(gè)角量參數(shù)通常以地表下沉量達(dá)到10 mm為地表移動(dòng)起算點(diǎn)，t=0時(shí)，地表下沉取值w(0)=10 mm。

Knothe時(shí)間函數(shù)的收斂速度隨地質(zhì)采礦條件的調(diào)整性較差，僅通過一個(gè)參數(shù)c很難進(jìn)行調(diào)整;在e-ct項(xiàng)之前缺少一個(gè)沉降初始值的控制參數(shù)，改進(jìn)Bertalanffy三參數(shù)函數(shù)將這個(gè)缺陷進(jìn)行了補(bǔ)充。

2.2.2“S型”曲線特征

為進(jìn)一步研究該模型在煤礦開采沉陷預(yù)計(jì)中的適用性，對(duì)該函數(shù)進(jìn)行一階和二階函數(shù)求導(dǎo)(各函數(shù)的時(shí)間函數(shù)曲線如圖1所示)。

v(t)=wmbcd(1-be-ct)d-1e-ct

(13)

a(t)=wmbc2de-ct(1-be-ct)d-2(bde-ct-1)

(14)

圖1 改進(jìn)Bertalanffy三參數(shù)模型動(dòng)態(tài)下沉、下沉速度及下沉加速度時(shí)間函數(shù)Fig.1 Dynamic subsidence,velocity and acceleration time function of improved three-parameters model

結(jié)合圖1所示的形態(tài)曲線，分析改進(jìn)Bertalanffy三參數(shù)時(shí)間函數(shù)的動(dòng)態(tài)下沉、下沉速度和下沉加速度時(shí)間函數(shù)，具有以下特征:

(1)單調(diào)性。因參數(shù)b,c與d均為正值，(1-be-ct)d>0，所以w(t)是t的增函數(shù)。

(2)凹凸性。令w″(t)=a(t)=0，求得拐點(diǎn)的時(shí)間坐標(biāo)t=ln(bd)/c，此時(shí)w(t0)=wm(1-1/d)d，并且當(dāng)tt0時(shí)，下沉曲線是“凸”的;即w(t)為時(shí)間t的“S型”曲線。

(3)漸進(jìn)性。為有界函數(shù)，漸近線為w(t)=wm。

2.3 模型參數(shù)討論

依據(jù)多個(gè)煤礦地表移動(dòng)變形實(shí)測數(shù)據(jù)表明，改進(jìn)Bertalanffy三參模型參數(shù)與地質(zhì)采礦條件關(guān)系密切，不同的采深/采厚比值、采動(dòng)充分程度、控制沉陷的關(guān)鍵層破斷位置高度、工作面推進(jìn)速度等因素，地表移動(dòng)變形越劇烈程度、地表移動(dòng)的初始期與活躍期的時(shí)間跨度、地表點(diǎn)的動(dòng)態(tài)下沉速度、動(dòng)態(tài)下沉加速度有一定的差異。Bertalanffy改進(jìn)三參模型中的參數(shù)取值亦可通過相應(yīng)調(diào)整適應(yīng)不同地質(zhì)采礦條件下的地表動(dòng)態(tài)變形計(jì)算。

2.3.1初始沉降參數(shù)b

改進(jìn)Bertalanffy三參模型中參數(shù)b反映t=0時(shí)的初始沉降值與地表移動(dòng)初始期的長短。b的經(jīng)驗(yàn)取值范圍(0,1]，當(dāng)b=1時(shí)，函數(shù)可通過原點(diǎn);相同地質(zhì)采礦條件下，工作面推進(jìn)速度越快，地表移動(dòng)越劇烈，b越大。該參數(shù)的變化規(guī)律如圖2所示(圖中各曲線的其他變量c=0.032 5，d=36)。

圖2 初始沉降參數(shù)b對(duì)模型的影響規(guī)律Fig.2 Influence law of initial settlement parameter b

2.3.2動(dòng)態(tài)沉降加速度參數(shù)

c反映t=0時(shí)的初始沉降加速度值。c的經(jīng)驗(yàn)取值范圍[0.005,0.500];地表及覆巖移動(dòng)變形越劇烈(工作面推進(jìn)速度越快等因素)，地表動(dòng)態(tài)沉降加速度越大，曲線越陡，c值越大;反之，地表移動(dòng)劇烈程度越低，c值越小。該參數(shù)的變化規(guī)律如圖3所示(其他變量b=0.992 0，d=36)。

圖3 加速度參數(shù)c對(duì)模型的影響規(guī)律Fig.3 Influence law of acceleration parameter c

2.3.3形狀系數(shù)d

d反映S型曲線的形狀，可反映不同地質(zhì)采礦條件下的地表動(dòng)態(tài)下沉初始期的長短、沉陷收斂速度與拖尾性等。d的經(jīng)驗(yàn)取值范圍為[1,100];曲線形狀控制參數(shù)d越大，地表初始期越長，受采動(dòng)影響反映至地表的時(shí)間越長;同時(shí)d越大，地表收斂速度越小，地表移動(dòng)延續(xù)時(shí)間越長;當(dāng)d=1時(shí)(同時(shí)b=1)，即為常見的Knothe時(shí)間函數(shù)。該參數(shù)的變化規(guī)律如圖4所示(其他變量b=0.992 0，c=0.032 5)。

圖4 形狀系數(shù)d對(duì)模型的影響規(guī)律Fig.4 Influence law of curve shape factor d

3 參數(shù)擬合求取與動(dòng)態(tài)沉陷應(yīng)用驗(yàn)證

3.1 研究區(qū)域地質(zhì)采礦及觀測站概況

研究區(qū)域東坡煤礦位于山西朔州市，井田內(nèi)覆蓋有40～60 m厚的黃土，914走向長壁工作面開采9號(hào)煤，工作面傾向長約240 m，連續(xù)推進(jìn)長度約1 250 m，開切眼處平均采深265 m，平均采出煤層厚度為14.4 m;采煤方法為特厚煤層綜放一次采全高，平均煤層傾角2.3°;工作面推進(jìn)速度約為2.8 m/d，開采強(qiáng)度較大[19-20]。

914工作面A測線為走向半盆地觀測線，總長約為480 m，布置測點(diǎn)24個(gè);自2011年11月至2014年5觀測15次，歷時(shí)約30個(gè)月。

3.2 時(shí)間函數(shù)求參及擬合優(yōu)度分析

擬合優(yōu)度是指回歸曲線對(duì)觀測值的擬合程度;度量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計(jì)量是可決系數(shù)(亦稱確定系數(shù))R2;R2取值范圍為(0,1)，R2越接近1，說明回歸曲線對(duì)觀測值的擬合程度越好，反之R2值越小，擬合程度越差。對(duì)于元素個(gè)數(shù)為n的序列Yi，擬合值為yi，則擬合優(yōu)度R2可表示為

(15)

根據(jù)東坡煤礦A測線25號(hào)測點(diǎn)地表移動(dòng)觀測站的實(shí)測數(shù)據(jù)，應(yīng)用Matlab對(duì)改進(jìn)Bertalanffy三參模型時(shí)間函數(shù)進(jìn)行曲線擬合求參，同時(shí)與Knothe時(shí)間函數(shù)作對(duì)比。

3.2.1Knothe時(shí)間函數(shù)

Knothe時(shí)間函數(shù)是我國煤礦動(dòng)態(tài)沉陷預(yù)計(jì)中應(yīng)用最早也是最為常見的時(shí)間函數(shù)，東坡煤礦A測線25號(hào)測點(diǎn)實(shí)測數(shù)據(jù)擬合求取的Knothe時(shí)間函數(shù)(圖5)為

w(t)=wm(1-e-0.005 7t)

(16)

圖5 25號(hào)測點(diǎn)不同時(shí)刻地表下沉曲線Fig.5 Subsidence curves at different times of No.25 points

Knothe時(shí)間函數(shù)中僅有一個(gè)參數(shù)c，不能有效地對(duì)“S型”動(dòng)態(tài)下沉曲線形態(tài)、下沉加速度的曲線陡峭程度及初始沉降數(shù)值進(jìn)行調(diào)整。25號(hào)測點(diǎn)應(yīng)用Knothe時(shí)間函數(shù)的擬合優(yōu)度R2為0.817。

3.2.2改進(jìn)Bertalanffy三參模型時(shí)間函數(shù)

現(xiàn)實(shí)實(shí)測中時(shí)間t=0對(duì)應(yīng)下沉等于0 mm的時(shí)刻受監(jiān)測精度的限制，難以捕捉，實(shí)際應(yīng)用中若仍基于過原點(diǎn)的時(shí)間函數(shù)進(jìn)行擬合求參，再將該函數(shù)應(yīng)用于動(dòng)態(tài)沉陷預(yù)計(jì)工作中，這一過程將對(duì)時(shí)間函數(shù)有一定的誤差影響;改進(jìn)Bertalanffy三參模型時(shí)間函數(shù)可不經(jīng)過原點(diǎn)(初始沉降值參數(shù)b=1時(shí)，可經(jīng)過原點(diǎn))，并將(t0=0,w0=0)=(0,10)作為時(shí)間函數(shù)的初始值進(jìn)行擬合求參(圖5)，25號(hào)測點(diǎn)應(yīng)用改進(jìn)Bertalanffy三參模型時(shí)間函數(shù)擬合優(yōu)度R2為0.984。擬合求取的改進(jìn)Bertalanffy三參模型時(shí)間函數(shù)為

w(t)=wm(1-0.992e-0.032 5t)36

(17)

由圖5可直觀地看出改進(jìn)Bertalanffy三參模型時(shí)間函數(shù)模型與實(shí)測值很接近;應(yīng)用Knothe時(shí)間函數(shù)的擬合優(yōu)度R2為0.817，應(yīng)用改進(jìn)Bertalanffy三參模型時(shí)間函數(shù)擬合優(yōu)度R2為0.982;后者時(shí)間函數(shù)相對(duì)誤差較小，同時(shí)該模型中3個(gè)參數(shù)均被賦予了不同的物理意義，各個(gè)參數(shù)變化均與地質(zhì)采礦條件有一定程度的聯(lián)系。該時(shí)間函數(shù)模型方便簡潔、符合理想時(shí)間函數(shù)模型的要求，可較好地模擬采動(dòng)區(qū)地表動(dòng)態(tài)沉降過程，能夠計(jì)算出地表移動(dòng)持續(xù)時(shí)間和地表點(diǎn)在某一時(shí)刻的下沉值、下沉速度、加速度等動(dòng)態(tài)參數(shù)，且模型的可塑性較強(qiáng)，具有較廣泛的適用性。

3.3 高壓線塔受動(dòng)態(tài)沉陷影響現(xiàn)場驗(yàn)證

隨著高壓輸電網(wǎng)的規(guī)?；ㄔO(shè)，高壓線塔下伏煤炭開采及對(duì)地面線塔的動(dòng)態(tài)變形影響與抗采動(dòng)治理工作越來越受到重視。中煤平朔井工一礦試驗(yàn)工作面采煤工藝為特厚煤層綜放開采，開采4號(hào)煤，機(jī)采高度為3.2～3.5 m，平均采出煤厚為8.7 m;工作面中部對(duì)應(yīng)地表有1個(gè)基塔，線塔附近工作面采深為200～260 m，開切眼側(cè)工作面平均推進(jìn)速度為4.2 m/d。井工一礦與東坡煤礦工作面最近平面距離約2 km。

對(duì)于高壓線下采煤地面控制變形一般可分為井下特殊采煤控制與地面線塔加固與糾偏措施。為保證高壓線壓覆煤炭的安全回采，首先基于地表動(dòng)態(tài)沉陷變形預(yù)計(jì)，對(duì)線塔周邊一定范圍(沿工作面推進(jìn)方向的開切眼側(cè)60 m、沿工作面推進(jìn)方向的終采線側(cè)30 m、工作面回采巷道兩側(cè)各50 m)采取只采不放的措施。地面線塔為4個(gè)獨(dú)立體基礎(chǔ)，平行工作面推進(jìn)方向(垂直于線路延伸方向)的兩個(gè)基礎(chǔ)間距為10 m，沿工作面推進(jìn)方向的兩個(gè)基礎(chǔ)間距為8 m;為提高線塔的抗采動(dòng)能力，將線塔原獨(dú)立基礎(chǔ)加固改造為鋼筋混凝土連體的“井字形”基礎(chǔ)，同時(shí)實(shí)現(xiàn)工作面開采過程中的糾斜。

參考巖性對(duì)地表沉陷的影響規(guī)律[21]，結(jié)合2個(gè)礦井差異，依據(jù)改進(jìn)Bertalanffy三參模型時(shí)間函數(shù)各參數(shù)隨地質(zhì)采礦條件的差異規(guī)律(4號(hào)煤層位于9號(hào)煤層的上部，比9號(hào)煤層工作面地表移動(dòng)初始期短、盆地邊緣相對(duì)平緩;同時(shí)4號(hào)煤試驗(yàn)工作面采厚約8.7 m，比東坡煤礦914工作面平均采厚為14.4 m的數(shù)值小)，對(duì)各參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，井工一礦試驗(yàn)工作面選用的動(dòng)態(tài)下沉?xí)r間函數(shù)為

w(t)=wm(1-0.994e-0.152t)32

(18)

考慮到部分區(qū)域的只采不放范圍，結(jié)合工作面推進(jìn)速度，對(duì)試驗(yàn)工作面沿水平方向?qū)⒉沙雒簩雍穸?.7 m，劃分為機(jī)采高度部分3.2 m和放煤高度部分5.5 m，地表下沉系數(shù)取值q=0.83;根據(jù)實(shí)測資料當(dāng)工作面超前線塔約96 m時(shí)，線塔地表首次擾動(dòng)，t=0;當(dāng)工作面超前線塔為60 m時(shí)，t=8.6 d;當(dāng)工作面推過線塔30 m時(shí)，t=21.5 d，因此井工一礦試驗(yàn)工作面的動(dòng)態(tài)下沉?xí)r間函數(shù)分段表述為

(19)

其中，f1(x)與f2(x)為線塔開切眼側(cè)和終采線側(cè)距離線塔為x時(shí)設(shè)計(jì)規(guī)劃的放煤部分對(duì)線塔處的影響函數(shù)，如圖6所示。

圖6 線塔兩側(cè)放煤區(qū)對(duì)線塔的影響函數(shù)Fig.6 Influence function of top coal caving area on tower

線塔兩側(cè)放煤部分距離線塔越近，對(duì)線塔的采動(dòng)影響越大，反之越小;其中f1(x)與f2(x)可由含主要影響半徑r的函數(shù)表示為

(20)

借鑒東坡煤礦實(shí)測資料及巖移數(shù)據(jù)成果取tanβ=2.6，則r=96 m，代入式(20)并經(jīng)積分運(yùn)算可求得f1(x)=0.059，f2(x)=0.217。應(yīng)用式(19)所示的分段函數(shù)繪制的地表動(dòng)態(tài)下沉曲線與線塔基礎(chǔ)的實(shí)測值對(duì)比情況如圖7所示。

圖7 時(shí)間函數(shù)+影響函數(shù)法的變采高地表動(dòng)態(tài)沉陷曲線Fig.7 Dynamic surface subsidence curve of variable mining height based on time function and influence function method

由于式(20)僅考慮了沿工作面推進(jìn)方向的各影響函數(shù)疊加，無法對(duì)只采不放段x=(-60,30 m)沿工作面布置方向放煤段對(duì)影響函數(shù)的影響數(shù)值;同時(shí)特厚煤層綜采放頂煤開采工藝復(fù)雜性，采放煤層厚度不容易控制等;圖7繪制的基于影響函數(shù)的變采高地表動(dòng)態(tài)沉陷曲線與實(shí)測數(shù)據(jù)相比雖有一定誤差，但在實(shí)踐生產(chǎn)中，應(yīng)用該思路安全有效地采出了線塔壓覆煤炭資源，并應(yīng)用基于影響函數(shù)結(jié)合改進(jìn)Bertalanffy三參模型時(shí)間函數(shù)指導(dǎo)線塔的動(dòng)態(tài)傾斜糾偏，為該類工作提供借鑒意義。

4 結(jié) 論

(1)分析了常見Knothe等時(shí)間函數(shù)各時(shí)間段的地表下沉曲線形態(tài)、下沉速度與下沉加速度，對(duì)各函數(shù)優(yōu)缺點(diǎn)及適用性進(jìn)行了分析。

(2)引入Bertalanffy時(shí)間函數(shù)并對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，分析了改進(jìn)Bertalanffy三參時(shí)間函數(shù)中各參數(shù)的物理意義及隨地質(zhì)采礦條件的聯(lián)系。該函數(shù)與實(shí)測值符合性較好，擬合優(yōu)度較高;該函數(shù)模型的可塑性較強(qiáng)，具有較廣泛的適用性。

(3)針對(duì)特厚煤層綜放開采的地面線塔等建(構(gòu))筑物的動(dòng)態(tài)沉陷預(yù)計(jì)與動(dòng)態(tài)糾偏，提出基于改進(jìn)Bertalanffy三參時(shí)間函數(shù)結(jié)合影響函數(shù)法，以解決只采不放等區(qū)域性變采高條件下地表動(dòng)態(tài)沉陷預(yù)計(jì)問題。