王來(lái)全，魏成花，李 碩

(1.昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,新疆 昌吉 831100；2.昌吉高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開(kāi)發(fā)區(qū)管委會(huì) 產(chǎn)業(yè)局, 新疆 昌吉 831100；3.昌吉學(xué)院 數(shù)學(xué)系,新疆 昌吉 830046)

作為傳染病學(xué)和數(shù)學(xué)理論的交叉學(xué)科的傳染病數(shù)學(xué)模型理論迅速發(fā)展起來(lái),許多學(xué)者對(duì)確定性傳染病模型的持久性和平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性做了研究并得到很好的結(jié)果。文獻(xiàn)[1]分析了一類(lèi)具有接種免疫和潛伏期的SEIR傳染病模型的全局性,但沒(méi)有考慮潛伏期疾病的傳播情況。文獻(xiàn)[2]研究了一類(lèi)具有雙線(xiàn)性發(fā)生率的潛伏期與傳染期均傳染的SEIQR傳染病模型,但沒(méi)有考慮對(duì)染病者和隔離者進(jìn)行恢復(fù)治療的情況。文獻(xiàn)[3]說(shuō)明對(duì)染病者采取隔離措施是控制肺結(jié)核蔓延的重要措施,但是,很少有討論傳染病模型在肺結(jié)核病防控中的應(yīng)用。近年來(lái),學(xué)者用飽和發(fā)生率研究了確定性傳染病模型[4],但是人群的生存環(huán)境充滿(mǎn)了隨機(jī)性(如波動(dòng)，噪聲，地震等干擾因素),人群易受到持續(xù)的干擾[5],導(dǎo)致傳染病的傳播具有隨機(jī)性。肺結(jié)核是危害群眾健康的呼吸道傳染病,易于受到氣候等因素的影響,所以考慮肺結(jié)核傳播過(guò)程中存在的隨機(jī)模型尤為重要?；谖墨I(xiàn)[6-7]的理念,本文討論潛伏者和染病者在不同的感染率下,對(duì)染病者和隔離者實(shí)施治療的一類(lèi)具有非線(xiàn)性發(fā)生率的肺結(jié)核隨機(jī)SEIQR模型,利用Lyapunov函數(shù)分析模型正解的全局存在性及唯一性,討論無(wú)病平衡點(diǎn)E0的p-階指數(shù)穩(wěn)定。

1 模型的建立

本文將總?cè)丝贜t分成易感者St、潛伏者Et、染病者It、隔離者Qt、恢復(fù)者Rt,A為易感人群的輸入量,假設(shè)新生兒均為易感者,βE,βI分別表示肺結(jié)核潛伏者和患病者的傳染率,θ為飽和接觸率,μ為死亡率,從潛伏者到發(fā)病者的轉(zhuǎn)化率為ξ,對(duì)潛伏者的隔離措施為σ,對(duì)病人的治療率為ρ,在隔離期的治療率為σ0,r表示對(duì)染病者的隔離措施,δ表示噪聲的干擾,Bt是布朗運(yùn)動(dòng)，t是時(shí)間變量。根據(jù)生物意義,以上參數(shù)均為正數(shù)。建立如下隨機(jī)模型：

(1)

2 預(yù)備知識(shí)

把文獻(xiàn)[7]中的引理3.3與引理3.4記為本文的引理1與引理2。

引理1假設(shè)存在一函數(shù)V(t,x)∈C1,2,(t,x)∈(R+×Rm),滿(mǎn)足不等式:

K1|x|p≤V(t,x)≤K2|x|p,

LV(t,x)≤-K3|x|p。

其中：K1>0；K2>0；K3>0；p>0。則系統(tǒng)

的無(wú)病平衡點(diǎn)p-階指數(shù)穩(wěn)定。

引理2 根據(jù)Yang不等式,令p≥2,ε>0,x,y>0,則不等式成立:

3 平衡點(diǎn)及基本再生數(shù)

本文計(jì)算出系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)為E0(S0,0,0,0,0),基本再生數(shù)R0。其中:

假設(shè)δ=0,當(dāng)R0>1時(shí),系統(tǒng)(1)存在一正的平衡點(diǎn)E*(S*,E*,I*,Q*,R*)。其中:

令X(t)=(St,Et,It,Qt,Rt)。系統(tǒng)(1)的解集為

4 正解的全局存在性及唯一性

定理1 對(duì)任意給定的初值(St0,Et0,It0,Qt0,Rt0)∈Δ,系統(tǒng)(1)存在唯一的正解依概率1位于Δ中。

P(τm≤T)≥ε(?m≥m1)

(2)

根據(jù)伊藤公式[7],得

(3)

則

=

(4)

對(duì)式(3)兩端分別從0到τm∧T積分,并取期望得

(5)

對(duì)m≥m1,令Ωm={τm≤T},由式(5)得

由式(2)和式(5)得

其中IΩm表示Ωm的示性函數(shù)。

從上述證明得到τ=+,顯然能得出P{τ=}=1,與式(2)矛盾,也就是說(shuō),X(t)依概率1不會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破。

5 無(wú)病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性

根據(jù)文中引理1和引理2得到系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0的p-階指數(shù)穩(wěn)定。

選取

使得引理1中的不等式成立。

則

對(duì)所有的t≥0,X(t)∈Δ,得

由文中引理1和引理2得

其中:

Λ5=-λ4pμ+λ4σ0(p-1)ε+λ4ρ(p-1)ε。

6 結(jié)論

考慮了具有非線(xiàn)性發(fā)生率的肺結(jié)核隨機(jī)SEIQR模型,得到基本再生數(shù)R0,定理1利用Lyapunov函數(shù)分析了模型正解的全局存在性及唯一性,定理2討論了隨機(jī)SEIQR模型的無(wú)病平衡點(diǎn)的p-階指數(shù)穩(wěn)定,證明了隨機(jī)SEIQR模型的無(wú)病平衡點(diǎn)圍繞確定性模型平衡點(diǎn)的漸近行為:如果隨機(jī)擾動(dòng)δ較小,系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性將接近δ=0時(shí)確定性SEIQR模型的平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性。