陳晶晶，鄒彬彬，郭英歌

(中國科學院聲學研究所東海研究站，上海201815)

參量陣聲源波束寬度影響因素分析

陳晶晶，鄒彬彬，郭英歌

(中國科學院聲學研究所東海研究站，上海201815)

摘要：波束寬度是衡量參量陣聲吶性能的重要技術指標之一，在設計時應該對其正確掌握，以保證整機性能.文章以圓形活塞換能器形成的參量陣聲場為例，利用維斯特維爾特(Westervelt)理論和 Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov(KZK)方程分別計算了參量陣聲場波束寬度，通過試驗驗證了KZK數值計算用于分析波束寬度的準確性及對遠近場的適應性，并指出利用Westervelt理論計算參量陣聲源波束寬度的不足。然后通過仿真，分別分析了頻率、吸收系數、陣長與參量陣波束寬度間的關系，并從物理意義上解釋了陣長對參量陣聲場波束寬度的影響。

關鍵詞：參量陣；波束寬度；Westervelt理論；KZK方程

中圖分類號：TB566

文獻標識碼：A

文章編號：1000-3630(2020)-04-0400-06

收稿日期:2019-05-13;修回日期:2019-06-16

基金項目:中國科學院聲學研究所率先計劃項目(SXJH201610)、中國科學院聲學研究所青年英才項目(QNYC201827)

作者簡介:陳晶晶(1983－)， 女， 廣西柳州人， 博士， 副研究員， 研究方向為非線性聲學理論與應用。

通訊作者:陳晶晶， E-mail: cjj@mail.ioa.ac.cn

引用格式：陳晶晶， 鄒彬彬， 郭英歌. 參量陣聲源波束寬度影響因素分析[J]. 聲學技術， 2020， 39(4): 400-405. [CHEN Jingjing， ZOU Binbin， GUO Yingge. Analysis of influencing factors on beam width of parametric acoustic array source[J]. Technical Acoustics， 39(4): 400-405.] DOI:10.16300/j.cnki.1000-3630.2020.04.003

Analysis of influencing factors on beam width of parametric acoustic array source

CHEN Jingjing， ZOU Binbin， GUO Yingge
(Shanghai Acoustic Laboratory，Chinese Academy of Science，Shanghai201815，China)

Abstract:Beam width is one of important technical indexes to measure the performance of parametric acoustic array(PAA). The PAA's beam width should be calculated correctly in designing to ensure the performance of whole system.Taking the PAA formed by a circular piston transducer as an example， the Westervelt theory and the Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov (KZK) equation are used to calculate the PAA's beam width respectively. The accuracy of the numerical calculation of KZK equation in analyzing beam-width and its adaptability to far and near fields is verified by experimental results. The shortcoming of the Westervelt's formula for beam width calculation is indicated.By simulation， the relationships between the PAA's beam width and the frequency， absorption and array length are analyzed， and the influence of PAA's length on its beam width is explained in the physical sense.

Key words:parametric acoustic array (PAA); beam width; Westervelt theory; KZK equation

0 引 言

在使用聲吶設備進行探測時，聲場的波束寬度是一個重要的指標，影響探測目標的分辨率[1]。參量陣聲吶由于其易于獲得高指向性、幾乎無旁瓣的低頻聲場而被廣泛關注并使用在各種探測領域[2-4]。目前常用于估算參量陣(Parametric Acoustic Array,PAA)波束寬度的公式是根據維斯特維爾特(Westervelt)理論提出的[5]。參量陣是一個累積陣，它的形成需要一定的傳播距離，而在水聲探測的應用中，這個距離一般會很大，例如，對于由300 kHz的原頻完全形成30 kHz的差頻聲場，這個距離至少需要20 m左右(即在20 m以外的距離測量差頻聲源級不再變化)[6]。在水聲探測領域，如果原頻更低，介質對聲波的吸收更小，則需要更遠的距離。所以在實驗室測量參量陣的遠場指向性比較困難，在這種情況下無法驗證估算公式計算結果的有效性。另外由于形成參量陣差頻聲場的距離較遠，很多情況下探測目標所處的位置在陣長范圍以內，把這個距離范圍認為是參量陣聲場的近場，對于這種近場問題的分析，Westervelt理論是不適用的。下文將用數值計算結果與 Westervelt理論估算結果進行對比，并通過實驗驗證，總結出參量陣波束寬度的一些變化規(guī)律并給出相應的物理解釋。

1 波束寬度計算

波束寬度決定探測目標的橫向分辨率。參量陣聲場是兩列不同頻率的聲波同方向傳播時，由共同作用所生成的聲散射聲同相疊加形成的，因此參量陣聲場的指向性是由原頻波聲場繼承而來。本文中用于描述波束寬度的物理量是半功率束寬：即兩個半功率點間的夾角也即功率下降 3 dB的兩個場點間的夾角，所以又稱為-3 dB束寬。為便于計算分析，本文將以圓形活塞換能器生成的參量陣聲場為例，對于圓形活塞換能器，其原頻聲場的遠場-3 dB波束寬度的計算公式為

式中：λ為發(fā)射聲波波長；a為換能器輻射面半徑。

1.1 Westervelt理論

Westervelt于上世紀六十年代提出參量陣理論。Westervelt假設介質為理想流體、不考慮兩個原頻波的波束擴散(簡稱兩原頻波為標準準直束)；同時假設原頻波和差頻波以小振幅波進行傳播，不考慮差頻波的衰減，忽略非線性吸收。根據這些假設條件對萊特希爾(Lighthill)關于任意流體運動的嚴格方程取二級近似，推導出Westervelt非線性方程[7]：

式中：rv為場中觀察點到微元體積dv的距離，再根據遠場近似，式(3)可以表示為

式中：腳標“d”表示的是該物理量對應的是差頻：ωd表示形成的差頻信號的角頻率，kd表示差頻信號的波數；k表示原頻波的波數，p0為原頻波的聲壓振幅(假設兩列原頻波的聲壓振幅一樣)；s0為換能器輻射面的面積，a0為換能器輻射面半徑；β=1+A/2B，表示介質非線性系數；ρ0為介質密度，c0為介質中小信號的聲速，α0為兩原頻波的小振幅平均吸收系數。根據式(4)，可以得到-3 dB束寬為

根據前文介紹的Westervelt理論的基本假設可知，該理論只適用于陣長在瑞利距離以內(對于圓形活塞換能器，瑞利距離以內滿足準直束的假設)以及場點在遠場的情況，即式(5)只適用于文獻[8]中的吸收限制陣，而對于擴散限制陣，則會使用兩原頻波指向性圖的乘積來求波束寬度。為了克服 Westervelt理論存在的問題，Berktay對Westervelt理論加以修正[9]，經過修正后的波束寬度計算公式為

其中，分別為兩列原頻波以及差頻波的吸收系數α稱為等效吸收系數。式(6)也是目前參量陣聲吶在工程設計時常用的束寬估計公式，但正如前面提到的該公式是針對于遠場的估算。對于近場問題，則有學者通過對式(3)的數值計算來解決[10]。這些修正或計算仍以Westervelt理論為基礎。

1.2 KZK方程

1.1 節(jié)所提到的波束寬度的計算都是基于Westervelt理論。Khokhlov-Zabolotskaya- Kuznetsov(KZK)方程是上世紀80年代提出的，對Westervelt方程做拋物線近似可推導出 KZK方程。正是由于做了拋物線近似，使得 KZK方程擺脫了準直束的假設限制，但是拋物線近似是一個近軸近似，所以使得 KZK方程描述的非線性超聲場又限制在了軸旁(一般取軸附近±20°)，對于大多數探測應用來說還是比較寬松的。KZK方程可寫為

式中：p為聲壓，為延遲時間，δ是聲散射度，Δ⊥是橫向拉普拉斯算子，介質的聲吸收系數，即粘滯和熱傳導耗散所引起的聲衰減系數與聲波頻率的平方成正比。式(7)等號右邊第一項描述聲波的衍射效應，第二項描述聲波的吸收效應，第三項描述聲波傳播方向的非線性效應。該方程難以求得精確解析解，常用數值解法求解。

KZK方程的數值計算方法可分為時域和頻域兩種。兩種方法各有其優(yōu)缺點，在選擇了合適的計算參數后，使用這兩種方法計算出來的參量陣聲場是一致的?？紤]到實驗使用的發(fā)射信號為脈沖(burst)信號，使用時域方法更為合適，而圓形活塞換能器輻射聲場是軸對稱的，可用二維時域有限差分算法(Texas code)[11]來計算參量陣聲場。時域方法計算得到的聲場是一個總聲場，會包含由于非線性效應產生的各種頻率成分，要分析參量陣聲場就需要從總聲場中提取出差頻成分。在本文中對計算得到的結果再進行快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)，然后提取出差頻頻率幅度用以分析參量陣束寬。由于KZK方程擺脫了準直束假設，綜合考慮了非線性、吸收、衍射等作用的影響，所以除去數值計算的計算誤差，使用該方法得到的波束寬度比式(6)的計算結果更準確。

2 實驗對比

為了驗證以上兩種方法對聲束寬度計算結果的準確性，進行了相關的驗證性實驗。為了驗證KZK方程對近場聲場的適應性，設計了一個頻率為300 kHz的換能器，發(fā)射的瞬時峰峰值功率為3 000 W。頻率為 300 kHz的聲波在清水中的吸收系數為 23.4 dB·km-1，分別調制形成 10、20 kHz和40 kHz的參量陣差頻聲場，在這種情況下在清水中的陣長約為 20 m左右，這個距離遠超出了實驗水池的距離。在6 m處測量分別測量了300 kHz原頻波和差頻波的波束寬度。實驗結果與 KZK方程的數值計算結果表1所示。

表1 參量陣近場波束寬度測試值與數值結算結果對比Table 1 The measured and caculated near-field beam widths of parametric acoustic array

由表1可見，采用KZK方程數值計算的方法能較為準確地估算出參量陣近場的波束寬度。為了能夠驗證參量陣遠場的情況，把原頻波的頻率提高到1 MHz，發(fā)射瞬時峰峰值功率為242 W，1 MHz聲波在清水中的吸收系數取 240 dB·km-1，生成差頻頻率為80 kHz的參量陣聲場，此時的參量陣的陣長約為1.5 m，在3.5 m的距離測量差頻聲場指向性圖。測量結果和數值計算結果如圖1所示。

圖1 參量陣遠場波束寬度的數值計算結果與實驗測量結果對比圖Fig.1 Comparison between calculated and tested far-field beam widths of parametric array

該情況下數值計算得到的波束寬度為 4.43°，實驗測量結果為4.67°，而式(6)的計算結果為6.38°。由以上的試驗對比結果可以看出，通過 KZK方程的數值計算得到的參量陣聲場遠場波束寬度與測試結果更為接近，而式(6)的計算結果與測試結果相差較大。

3 仿真分析

3.1 頻率下降比與波束寬度間的關系

頻率下降比表示為f0/fd，即原頻頻率與差頻頻率之比。從式(6)可以看出直接影響波束寬度的兩個物理量分別是原頻波的吸收系數和差頻波的波數，波數反映的是聲波的頻率。因此，差頻頻率越高，則波束寬度越小。在原頻波的頻率固定不變的情況下，根據Berktay的包絡自解調理論，考察不同的差頻對應的波束寬度的變化規(guī)律。表2～4分別是用兩種方法計算的 200 kHz和300 kHz、1 MHz原頻形成不同差頻聲場的波束寬度的結果。

在這3個仿真中，原頻波對應的波束寬度分別為3.26°、2.98°和3.19°。從表2～4中的數據可知，無論是用數值計算還是用式(6)估算，參量陣聲場的波束寬度都會隨著差頻頻率的增大而減小，但數值計算的結果和公式估算結果在某些頻率上相差較大。為分析公式估算與數值計算間的差值的規(guī)律，接下來將從頻率下降比的角度進一步分析。將表2～4的數據表示為波束寬度與頻率下降比之間的變化關系，如圖2～4所示。

表2 原頻200 kHz時不同差頻生成參量陣聲場的波束寬度對比Table 2 Comparison of PAA's beam-widths generated by different difference frequencies at the primary frequency of 200 kHz

表3 原頻300 kHz時不同差頻生成參量陣聲場的波束寬度對比Table 3 Comparison of PAA's beam-widths generated by different difference frequencies at the primary frequency of 300 kHz

表4 原頻1 MHz時不同差頻生成參量陣聲場的波束寬度對比Table 4 Comparison of PAA's beam-widths generated by different difference frequencies at the primary frequency of 1 MHz

從圖 2～4可以看出，在每一組數據中，總有一個位置附近的數值計算結果與公式估計結果比較接近，而這個位置會隨著原頻的升高向頻率下降比低的方向移動。從數值計算結果的曲線可看出，頻率下降比與角度的關系基本符合一個線性的關系，對以上各計算結果進行線性擬合，把線性擬合中的截距設置為原頻的波束寬度，這樣設置的理由是在極端的情況下即差頻等于原頻時，差頻對應的波束寬度應該與原頻是一致的，擬合得到的公式分別如圖 2～4中所示。進一步分析擬合公式可看出，隨著原頻的升高，斜率也在不斷的變大，從這3組數據結果表現出來的規(guī)律是，原頻升高 100 kHz，則斜率增大約0.01。雖然斜率變化的規(guī)律只是由這3組數據做出的一個粗略的分析，但是可以在參量陣系統(tǒng)設計波束寬度指標提供指導。

圖2 原頻200 kHz時參量陣聲場波束寬度隨頻率下降比的變化關系圖Fig.2 Variations of PAA's beam width with frequency drop ratio at the primary frequency of 200 kHz

圖3 原頻300 kHz原頻時參量陣聲場波束寬度隨頻率下降比的變化關系圖Fig.3 Variations of PAA's beam width with frequency drop ratio at the primary frequency of 300 kHz

圖4 原頻1 MHz原頻時參量陣聲場波束寬度隨頻率下降比的變化關系圖Fig.4 Variations of PAA's beam width with frequency drop ratio at the primary frequency of 1 MHz

3.2 吸收系數與波束寬度間的關系

式(6)中兩個原頻波的小振幅平均吸收系數α1、α2也是影響參量陣波束寬度的因素之一。固定原頻波和差頻波的頻率為1 MHz和100 kHz，取清水中不同溫度對應的聲吸收系數做仿真，結果如圖5所示。

從圖5可以看出，波束寬度隨著吸收系數的增大而增大。根據式(6)得到的估算值滿足的是一個冪函數的關系，而數值計算結果更接近線性函數關系。

圖5 固定原頻和差頻頻率情況下參量陣波束寬度與吸收系數關系圖Fig.5 Relationship between PAA's beam width and absorption coefficient for fixed primary frequency and diffrence frequency

3.3 陣長與波束寬度間的關系

3.1 、3.2節(jié)是從式(6)中的兩個變量分別來探討差頻頻率與衰減系數對參量陣聲場波束寬度的影響。從物理意義上，能夠更好地解釋影響參量陣聲場束寬的變化規(guī)律的變量是陣長。參量陣實際上可視為由無數個虛源組成的體積陣。一些文獻里會根據源函數的不同，把這種體積陣簡化為不同的模型，例如針對Westervelt理論的準直束假設把體積陣簡化為圓柱模型[12-13]；考慮球面波的擴散效應后把體積陣簡化為圓臺模型[13]。無論簡化為何種模型，陣的尺寸都是決定聲場指向性或者說是波束寬度的一個重要因素，一般是尺寸越大即陣長越長，指向性越尖銳[1]。

參量陣的陣長可理解為兩列原頻波相互作用可以忽略的距離。這個距離受擴散、非線性以及聲吸收的共同影響，其中聲吸收的影響最大。因此一般情況下，陣長的估算公式為[10]

其中：α的定義與式(6)一致。從式(8)可以看出，原頻波吸收系數越大，陣長越短；而差頻波吸收系數越大，陣長越長。結合3.1和3.2節(jié)的仿真結果可知：對于固定原頻的情況下，差頻越大對應的吸收系數越大，則波束寬度越小；而對于固定頻率的情況，在不同溫度下原頻和差頻的吸收系數都有變化，但是由于原頻波的吸收系數一般高于差頻波的吸收系數2個量級，所以在這種情況下波束寬度仍表現出隨原頻吸收系數增大而增大的趨勢。

比較表1和表2中對應差頻頻率的波束寬度結果，表1的結果比表2中的大，這是因為表1中計算的是截斷情況，參量陣還沒有達到陣長距離，還沒有完全形成差頻聲場。另外，關于式(6)的計算結果與數值計算結果相差較大的情況，也可從陣長方面加以解釋。前面已經介紹，式(6)的推導是以準直束為基礎的，對于圓形活塞換能器，其有一個隱含的假設即瑞利距離為參量陣陣長，而這種限制在很多情況下與實際情況并不一致，所以得到的結果也不一致。

由于 KZK方程目前沒有精確解析解，所以以上關于陣長與參量陣聲場波束寬度間的關系，只能進行一些定性的分析，要定量分析兩者間的關系，還需要進一步的理論研究以及更多的仿真結果。

4 結 論

波束寬度是參量陣聲吶一個重要的設計指標，關乎設備對目標的分辨率，因此在設計參量陣聲吶時，需要對所使用的參量陣聲場的波束寬度進行較準確的估算。目前常用的參量陣聲場波束寬度的估算公式的適用情況有限，在很多情況下計算結果誤差較大。KZK方程能準確地描述非線性超聲場，但目前只能通過數值計算得到其聲場解。通過 KZK方程數值計算得到的波束寬度結果與實驗結果吻合，而且不受近遠場的限制以及參量陣模型的限制。本文根據一系列數值計算結果與公式結果的仿真對比，定性地分析了波束寬度受頻率下降比和吸收系數影響的規(guī)律，并通過陣長的概念對這些規(guī)律做出了物理解釋。