邸健，張旭晴，楊國東，張元元

1.吉林大學 地球探測與科學技術學院，長春 130026;2.北京市勘察設計研究院有限公司，北京 100038

0 引言

近年來，中國基坑工程呈現(xiàn)出新的難點，主要表現(xiàn)為基坑工程所處環(huán)境復雜、周圍管線眾多且建筑物密集、環(huán)境保護要求高。因此，基坑支護結構除滿足自身的強度要求外，還需要滿足變形要求，確保基坑周圍的建筑物和管線可以正常使用，基坑工程的設計和施工逐漸從強度控制轉向變形控制?；又ёo結構變形分析與預報也逐漸成為眾多學者的主要研究方向。

鄧聚龍于20世紀80年代提出灰色系統(tǒng)理論學說，主要解決一些包含未知因素的特殊領域問題，且隨著應用領域的逐步擴大，灰色系統(tǒng)理論被引入到巖土工程中，使得中國施工人員可以更加方便地實施基坑建設[1-3]?；疑到y(tǒng)理論具有使抽象系統(tǒng)實體化、模型化、量化和優(yōu)化的功能，其中GM(1，1)模型是灰色系統(tǒng)理論中最重要的模型，目前針對該模型的研究越來越多，姜剛等[4]基于GM(1，1)灰色模型、小波分析和神經(jīng)網(wǎng)絡結合的相關理論對地鐵工程進行沉降預測，同時建立組合預測模型，結果顯示該模型具有很穩(wěn)定的預測效果；何君等[5]采用GM(1，1)灰色模型對吉林市世紀廣場北側擋水墻進行變形監(jiān)測，并對精度和可行性進行分析，精確度達到良好以上；李樹文等[6]以濟南軌道交通R2線濟鋼新村站基坑監(jiān)測為例，運用GM(1,1)模型預測變形趨勢，結果表明模型穩(wěn)定性較好。但這些都是針對于灰色理論GM(1，1)模型在建筑物沉降方面的研究，鮮有文獻對其在基坑鋼筋應力監(jiān)測方面進行分析，鋼筋應力監(jiān)測對確定混凝土結構的工作水平和預測其耐久性具有重要意義。因此，本文針對北京中國尊基坑工程，利用灰色理論GM(1，1)模型對基坑鋼筋應力變化進行預測分析，研究GM(1，1)模型在基坑變形監(jiān)測中的適用性，為基坑變形研究提供一種快速精準的數(shù)據(jù)分析方法。

1 灰色系統(tǒng)GM(1,1)模型

1.1 GM(1,1)原理

灰色動態(tài)模型是以灰色生成函數(shù)概念為基礎[7-9]、以微分擬合為核心的建模方法，灰色系統(tǒng)理論認為：所有隨機量都是在一定時段上、一定范圍內變化的灰色量及灰色過程。對于灰色量的處理，不是去尋求其統(tǒng)計規(guī)律或概率分布，而是從雜亂無章的原始數(shù)據(jù)中找出規(guī)律，即對數(shù)據(jù)通過一定的分析方法進行處理后，使其成為有規(guī)律的數(shù)據(jù)列，再建立動態(tài)模型[10]。對于原始數(shù)據(jù)運用一定的方法進行處理，其目的主要有兩個方面：一是為了更好地建立數(shù)據(jù)模型，提供中間信息；二是通過分析原始數(shù)據(jù)，將其中的波動性進行減弱處理。

灰色系統(tǒng)建模思想主要是通過將時間序列轉化為微分方程[11]，從而建立起抽象系統(tǒng)的發(fā)展變化動態(tài)模型GM(Grey Model)[12]。GM(h,n)是指微分方程的時間連續(xù)函數(shù)模型，其中，h代表方程的階數(shù)，n代表變量的個數(shù)。即：

(1)

一元一階灰色模型GM(1,1)的微分方程表示式為：

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(2)

式中：a為發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量[13]。

灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的最小二乘估計參數(shù)應滿足:

涓涓溪流匯聚浩瀚，滴滴微水蘊成大海。教師只有不斷深掘文本源，拓展練筆場，才能讓學生有話想傾訴，有話可表達，才能讓學生漸入“我筆書我心”的悠然境界，從而讓小練筆這種短、平、快的訓練方式真正成為語文課堂中一道亮麗的風景線。

(3)

1.2 GM(1,1)模型精度檢驗

(4)

(5)

(6)

后驗差比值計算公式為：

(7)

小誤差概率計算公式為：

p={e(t)<0.674 5s1}

(8)

根據(jù)后驗差比值(c)和小誤差概率(p)的值確定模型精度等級，詳細評判標準見表1。

表1 各指標的數(shù)值與其對應精度Table 1 Numbers of indicators and their corresponding accuracy

若此模型經(jīng)殘差檢驗、關聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗都能通過，則可以用所建模型進行預測。否則，需要進行殘差修正[16]。

2 灰色系統(tǒng)模型在基坑鋼筋應力監(jiān)測中的應用

2.1 鋼筋應力監(jiān)測數(shù)據(jù)

北京中國尊基坑工程位于北京市朝陽區(qū)國貿(mào)橋東北側，東至金和東路，南鄰規(guī)劃中的綠地，西至金和路，北至光華路，基礎埋深約38 m，局部達到40 m，其基礎底板東西長136 m，南北寬84 m，塔樓區(qū)、過度區(qū)基礎底板厚度分別為6.5 m、4.5 m，建筑高度約528 m，占地面積11 478 m2，在施工過程中定期對監(jiān)測點的鋼筋應力進行觀測。本文從東西管廊監(jiān)測點處編號為YL-07-01的鋼筋應力數(shù)據(jù)中選取13期數(shù)據(jù)進行灰色系統(tǒng)分析(表2)，其中前8期數(shù)據(jù)用于進行灰色系統(tǒng)建模，后5期數(shù)據(jù)用于模型預測。

表2 鋼筋應力監(jiān)測數(shù)據(jù)Table 2 Stress monitoring data of reinforcement bars

2.2 模型精度檢驗

通常由離散點所組成的序列并不可導，不具備像光滑連續(xù)函數(shù)處處可導的特性，所以不能根據(jù)導數(shù)對序列的光滑性進行研究。通過對該序列進行光滑性檢驗，使其與某可導連續(xù)函數(shù)曲線具有大致相近的特點，因此近似認為該序列是光滑序列[17]。

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論對原始序列進行1次累加(AGO)后，得到一個新的序列，即：

x(1)(t)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))

(9)

對x(0)(t)進行準光滑性檢驗得：

(10)

當ρ(t)<0.5時， 準光滑條件成立， 且p(t)是光滑比， 對數(shù)據(jù)進行光滑性檢驗的結果如表3所示。

表3 光滑性檢驗Table 3 Smoothness test

從表3可以看出，當期次t>3時，光滑比ρ(t)<0.5，準光滑條件成立。

(2)級比檢驗

檢驗x(1)是否具有準指數(shù)規(guī)律，其中級比序列計算公式為：

(11)

令a=max(σ(1)(t))，b=min(σ(1)(t))，δ=a-b，當δ<0.5時，稱x(1)具有指數(shù)規(guī)律，可以對其進行GM(1,1)模型建模，σ(1)(t)稱為序列x(1)的級比[18]。經(jīng)計算所得級比數(shù)值見表 4。

表4 級比序列Table 4 Sequence of stepwise ratio

當級比數(shù)值均落在區(qū)間(e-2/(n+1)，e2/(n+1))即(0.800 7,1.248 8)內，表明數(shù)據(jù)序列滿足準指數(shù)規(guī)律，可以進行GM(1,1)模型建模[19]。

(3)模型參數(shù)估計

通過構建數(shù)據(jù)矩陣和矩陣向量，并利用最小二乘法估計模型參數(shù)，得a=-0.186 8，u=1.447 7，因此模型表達式為：

X(K+1)=10.160 9*exp(0.186 78K)-7.750 9

(12)

(4)生成數(shù)列預測值及擬合效果圖

采用所建灰色理論GM(1,1)模型(式12)對基坑鋼筋應力變形值進行預測，并對預測精度進行評定，最終生成擬合效果圖。從擬合效果圖(圖1)中可以看出，對于線性的數(shù)據(jù)使用GM(1，1)模型預測，擬合效果很好，模型對數(shù)據(jù)的預測結果如表5所示。

表5 數(shù)列預測值及其誤差Table 5 Sequence prediction values and their errors

圖1 擬合效果圖Fig.1 Fitting result diagram

(5)模型檢驗

利用東西管廊監(jiān)測點(YL-07-01)的8期監(jiān)測數(shù)據(jù)，計算得出GM(1，1)模型的后驗差比值c=0.254 5、小誤差概率p=1(表6)，根據(jù)表1模型精度等級表可以看出，模型適用性較強，精度等級為一級。

表6 模型檢驗值Table 6 Model test values

(6)預測分析

根據(jù)1～8期監(jiān)測數(shù)據(jù)建立模型，向后預測5期數(shù)據(jù)，預測值、觀測值和相對誤差值如表7所示。結果表明，5期以內的變形預測都具有良好的效果。同時根據(jù)預測值和觀測值數(shù)據(jù)生成兩者的對比圖(圖2)。

表7 預測值及其與觀測值的相對誤差Table 7 Prediction values and its relative errors with observation value

圖2 預測值與觀測值對比Fig.2 Comparison of predicted and observed values

2.3 結果分析

利用北京中國尊基坑工程中東西管廊監(jiān)測點(YL-07-01)的8期監(jiān)測數(shù)據(jù)，通過后驗差檢驗法求得GM(1,1)模型對應的發(fā)展系數(shù)，后驗差比值c=0.254 5，小誤差概率p=1，預測模型的精度等級為一級。同時運用GM(1,1)模型對9～13期數(shù)據(jù)進行預測，從表7和圖2中的數(shù)據(jù)可以看出，前3期預測結果與實測值的相對誤差最大值為0.078 7，且預測曲線與觀測值對應的曲線非常接近，表明該模型設計合理準確，后2期預測值的精確度并不是很高，屬于可行的預測，精確度隨時間變化，時間越長，檢測的精確度越低。因此，GM(1,1)模型的短期預測效果較好，3期以內的變形預測值精度較高。

3 結論

(1)GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論中核心的一種預測模型，在基坑鋼筋應力變形監(jiān)測中適用性較強。本文采用1～8期監(jiān)測數(shù)據(jù)建立預測模型對后5期數(shù)據(jù)進行預測，模型殘差<0.7 kN，預測結果前3期相對誤差<0.08，表明該模型對基坑的變形值進行預測可行且可靠，運用該模型可以協(xié)助施工人員進行風險控制。

(2)GM(1,1)模型可對基坑變形中一些隨機性波動較大、難以擬合的數(shù)據(jù)進行有序預測，且具有較高精度。同時，通過將后5期監(jiān)測數(shù)據(jù)與預測數(shù)據(jù)進行對比，可以看出該模型適合短期預測，在短期的預測中精準度有保障，時間上采取3周期為好，可為基坑變形監(jiān)測提供更有價值的參考。