劉盛循， 鄧小偉， 吳益文， 余征躍

（1． 上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240；2． 上海海關(guān)工業(yè)品中心，上海200135）

0 引 言

彈性模量是材料的基本參數(shù)，測(cè)量方法包括靜態(tài)法和動(dòng)態(tài)法。由于動(dòng)態(tài)法測(cè)量精度高［1］，不會(huì)對(duì)試件產(chǎn)生破壞，對(duì)材料的測(cè)量不受限制，對(duì)于靜態(tài)法難以測(cè)量的脆性材料仍可適用［2］，因此被廣泛使用。該方法通過(guò)對(duì)試件的一端施加一個(gè)激振力，從另一端接收信號(hào)測(cè)量試件的固有頻率，以此計(jì)算出試件的彈性模量［3］。傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)法常常為懸線法，操作繁瑣，測(cè)量精度不高，許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn)。段卓琦［4］認(rèn)為內(nèi)插法與外延法可有效測(cè)量精度；何熙起［5］研究了內(nèi)插法擬合函數(shù)冪次對(duì)基頻測(cè)量的結(jié)果影響；張雄等［6］研究了懸掛點(diǎn)的對(duì)稱度對(duì)基頻測(cè)量的影響并提出了優(yōu)化動(dòng)態(tài)內(nèi)插法；樊聰聰?shù)龋?］對(duì)測(cè)量裝置進(jìn)行了改進(jìn)，由懸掛法改為支撐法。這些方法分別從實(shí)驗(yàn)測(cè)量與數(shù)據(jù)處理上對(duì)傳統(tǒng)方法進(jìn)行了改進(jìn)，對(duì)細(xì)長(zhǎng)金屬棒試件一定程度上提高了測(cè)量精度。但薄板試件的彈性模量測(cè)量，相關(guān)的優(yōu)化研究不多，原因?qū)ψ杂蛇吔鐥l件薄板的力學(xué)建模比較復(fù)雜，解析解的形函數(shù)難以求得。美國(guó)材料實(shí)驗(yàn)協(xié)會(huì)標(biāo)準(zhǔn)ASTM E11［8］及國(guó)標(biāo)GBT 22315［9］均給出了近似公式，兩者并無(wú)實(shí)質(zhì)區(qū)別。該方法采用一組基頻計(jì)算彈性模量，測(cè)量效率高，但測(cè)量結(jié)果的波動(dòng)性較大，不滿足精度要求較高的測(cè)量。

本文以薄板為試樣，采用激光測(cè)振儀精確測(cè)量薄板試樣的多階固有頻率。同時(shí)以彈性模量參數(shù)為變量對(duì)試樣進(jìn)行有限元仿真，比較各階固有頻率仿真值與實(shí)測(cè)值，取結(jié)果最為吻合的彈性模量參數(shù)作為測(cè)試結(jié)果。該方法綜合了多階固有頻率的誤差，避免了基頻的波動(dòng)對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，提供了一種精確測(cè)量彈性模量的方法。

1 多階固有頻率測(cè)量薄板彈性模量的方法

首先，由于該方法對(duì)各階頻率的測(cè)量精度較為敏感，故選用高精度的激光測(cè)振儀進(jìn)行測(cè)量。激光測(cè)振儀的原理是通過(guò)激光測(cè)得多普勒頻移，計(jì)算出垂直物體表面的振動(dòng)速度，進(jìn)而準(zhǔn)確測(cè)得各階固有頻率［10-11］。其次，對(duì)于不同形狀的試樣，其形函數(shù)各不相同，尤其是形狀不規(guī)則的試樣，精確計(jì)算的顯式解難以求得［12］，需要通過(guò)取振型系數(shù)的最大項(xiàng)進(jìn)行簡(jiǎn)化［13-14］，考慮到方法的便利性與通用性，采用有限元仿真的Block-Lanczos計(jì)算方法。該算法有效性、可靠性高［15］。然后，在仿真階段通過(guò)調(diào)整彈性模量參數(shù)，計(jì)算出不同彈性模量下的各階固有頻率，形狀簡(jiǎn)單的材料可采用高密度網(wǎng)絡(luò)，提升數(shù)值解的精度。最后，比較各階頻率在不同彈性模量參數(shù)下的仿真值與激光測(cè)振儀測(cè)得的實(shí)測(cè)值，將綜合各階誤差最小的彈性模量仿真參數(shù)作為最終的精確測(cè)量結(jié)果。

2 激光測(cè)振儀測(cè)薄板頻率

實(shí)驗(yàn)儀器為游標(biāo)卡尺、激光測(cè)振儀、海綿墊、力錘、計(jì)算機(jī)ANSYS軟件。實(shí)驗(yàn)構(gòu)件為3 塊A356-T6 材料的鋁合金薄板。使用游標(biāo)卡尺測(cè)得3 個(gè)試件的尺寸，如表1 所示。

金屬薄板置于海綿墊上，將激光測(cè)振儀的激光束照射在金屬薄板的1 ／ 7 ～1 ／ 8 處，盡可能避開(kāi)前幾階模態(tài)的節(jié)點(diǎn)，使用小型力錘輕擊金屬薄板，使之產(chǎn)生自由振動(dòng)。測(cè)量軟件選用PSV acquisition，測(cè)振儀靈敏度設(shè)置為［（mm·s-1）·V-1］，預(yù)觸發(fā)的樣本時(shí)間設(shè)置為20%。以試件1 為例，敲擊試件后采集到的自由振動(dòng)速度曲線，如圖2 所示。經(jīng)過(guò)多次敲擊，經(jīng)傅里葉分析得到平均后頻譜曲線，如圖3 所示，并將測(cè)得的多階彎曲固有頻率繪制在表2 中。

表1 試件幾何參數(shù) mm

圖1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖

圖2 自由振動(dòng)速度曲

圖3 振動(dòng)頻譜曲線

表2 試件頻率測(cè)量結(jié)果 Hz

3 數(shù)值結(jié)合測(cè)薄板彈性模量

由于理論解中彈性模量的形函數(shù)不易求得，為了盡可能逼近彈性模量的理論解，本文采用有限元法進(jìn)行計(jì)算，找出最理想的彈性模量參數(shù)，使在該參數(shù)下計(jì)算出的各階固有頻率與激光測(cè)振儀實(shí)測(cè)的各階固有頻率最為吻合，將此時(shí)的彈性模量參數(shù)作為最終測(cè)試結(jié)果。具體算法如下：

（1）設(shè)定一個(gè)彈性模量的預(yù)估范圍［Emin，Emax］與計(jì)算步長(zhǎng)Δh。

（2）使用Ansys 有限元軟件建模并輸入試件參數(shù)，單元定義為殼單元，類型為3D 8node 281，殼單元設(shè)置中輸入厚度。第1 次計(jì)算時(shí)彈性模量參數(shù)為設(shè)定范圍的最小值E1＝Emin。選擇合適的單元長(zhǎng)度劃分單元網(wǎng)格，以試件1＃為例，單元長(zhǎng)度為0． 5 mm，劃分單元的網(wǎng)格。分析類型為模態(tài)分析，在分析設(shè)置中選擇Block Lanczos法，提取20 階模態(tài)，擴(kuò)展20 階模態(tài)，設(shè)置最低頻率為10 Hz，去掉剛體位移，得到仿真的多階固有頻率與振型。通過(guò)振型判斷其中的多階彎曲頻率，本文選取了前三階彎曲頻率，其振型如圖4、5、6 所示。同時(shí)使用獲得的振型來(lái)判定實(shí)測(cè)固有頻率所對(duì)應(yīng)的振型。

圖4 一階彎曲振型

圖5 二階彎曲振型

圖6 三階彎曲振型

分別與激光測(cè)振儀實(shí)測(cè)試件的多階彎曲頻率比較，計(jì)算出綜合誤差e1，e1同時(shí)也是目前計(jì)算的最小綜合誤差e，綜合誤差的計(jì)算方法如下式表示：

將第1 次計(jì)算采用的彈性模量參數(shù)E1保存為E。

（3）將上一次彈性模量參數(shù)增加步長(zhǎng)Δh，即Ei＝Ei-1+ Δh，得到新的彈性模量參數(shù)下計(jì)算出的多階固有頻率，再次計(jì)算出其綜合誤差ei，比較ei與最小綜合誤差e，若ei＜e，則將最小綜合誤差e更新為此次計(jì)算出的綜合誤差ei，并將此時(shí)的彈性模量參數(shù)Ei保存為E。

（4）重復(fù)過(guò)程（3），直到最新的彈性模量Ei超過(guò)設(shè)定范圍的最大值Emax，輸出保存的最終的彈性模量E。

整個(gè)數(shù)值計(jì)算框圖如圖7 所示。

圖7 數(shù)值計(jì)算框圖

上述算法可通過(guò)命令流進(jìn)行自動(dòng)計(jì)算。以試件1為例，本次實(shí)驗(yàn)試件彈性模量的預(yù)估范圍設(shè)置為50 ～100 GPa，記錄多階彎曲固有頻率。將有限元仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果比較，并計(jì)算出綜合誤差，取部分?jǐn)?shù)據(jù)繪制出表3。試件1 在不同彈性模量參數(shù)下計(jì)算出的綜合誤差如圖8 所示。

圖8 彈性模量的綜合誤差曲線

由圖8 或表3 可知，彈性模量為71． 3 GPa時(shí)綜合誤差最小。而采用ASTM標(biāo)準(zhǔn)中近似公式計(jì)算出的彈性模量為69． 8 GPa，兩者結(jié)果較為接近。

采用相同方法測(cè)量試件2、3，其結(jié)果分別為73． 7、71． 1 GPa，采用ASTM 標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算結(jié)果分別為72． 4，69． 6 GPa。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

采用單軸拉伸法（靜態(tài)法）對(duì)被測(cè)試樣的彈性模量進(jìn)行再次測(cè)量，將其結(jié)果作為參照，分別比較本方法的測(cè)量結(jié)果與ASTM標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)量結(jié)果，繪制成表4。

表3 各彈性模量參數(shù)的綜合誤差

表4 結(jié)果比較

由表4 可以看出，基于多階固有頻率法測(cè)得的彈性模量結(jié)果與拉伸法的結(jié)果更為接近，基于多階固有頻率法測(cè)得的彈性模量與ASTM標(biāo)準(zhǔn)的近似公式法相比，相對(duì)精度由3． 03%提高至1． 24%，方差由1． 626 7降低為1． 395 6，結(jié)果更為準(zhǔn)確穩(wěn)定。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種更精確的動(dòng)態(tài)測(cè)量彈性模量方法，使用激光測(cè)振儀精確測(cè)得薄板的多階固有頻率，通過(guò)數(shù)值計(jì)算改變彈性模量的參數(shù)，比較各階固有頻率的仿真值與實(shí)測(cè)值，取綜合各階誤差最小的彈性模量參數(shù)作為最終測(cè)試結(jié)果。傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)法僅采用基頻作為測(cè)量數(shù)據(jù)；本方法綜合了各階頻率的誤差，降低了基頻數(shù)據(jù)的波動(dòng)對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，提高了測(cè)量結(jié)果的穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性。傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)法常常要求被測(cè)試件的形狀較為規(guī)則；本方法由于采用了數(shù)值仿真計(jì)算，對(duì)所測(cè)試件的形狀可不作要求，擴(kuò)大了測(cè)量試件的范圍。且該方法還可擴(kuò)展至剪切模量的測(cè)量。