蔡天新

我身體的大部分會(huì)逃脫死亡，我將會(huì)永生，仍然活在后世的贊美聲中。 —（古羅馬）賀拉斯二○一九年春天，包括上海天文臺(tái)在內(nèi)的全球六家天文觀察機(jī)構(gòu)同時(shí)發(fā)表聲明，公布了他們合作拍攝的首張黑洞照片。此前兩年，引力波被直接探測(cè)到和阿蒂亞爵士宣布證明黎曼猜想這兩項(xiàng)重大科學(xué)新聞，同樣引發(fā)了全球公眾的高度關(guān)注，絲毫不亞于一年一度的奧斯卡頒獎(jiǎng)禮。物理學(xué)家愛因斯坦再次成為人們膜拜的偶像，與黑洞一樣，引力波的存在也是他的廣義相對(duì)論所預(yù)言的。然而，有一個(gè)關(guān)鍵性人物被忽視了，那便是十九世紀(jì)的天才數(shù)學(xué)家伯恩哈德 ·黎曼，他建立的黎曼幾何學(xué)是廣義相對(duì)論的基石，同時(shí)他還提出了迄今為止數(shù)學(xué)領(lǐng)域最負(fù)盛名的黎曼猜想。

一、外表文弱羞怯的年輕人

二○一○年秋天，我應(yīng)德國(guó)哥廷根大學(xué)一位數(shù)學(xué)同行的邀請(qǐng)，來到慕名已久的數(shù)學(xué)圣地做客一個(gè)月。一個(gè)星期六的早上，我獨(dú)自開始了火車之旅。那天我上午游覽不來梅，下午游覽漢堡，它們是柏林以外僅有的兩座直轄市，也是德國(guó)吞吐量最大的兩個(gè)港口，分別位于威悉河和易北河下游。在漢堡用過晚餐之后，我踏上了歸途。與來時(shí)路線相反，我選擇了東線，經(jīng)過呂訥堡、于爾岑，到漢諾威后再換車返回哥廷根。

巧合的是，這幾座城鎮(zhèn)恰好都與本文主人公黎曼有著密切的關(guān)聯(lián)。黎曼在漢諾威和呂訥堡念的中學(xué)，而于爾岑是離他出生地和度過童年時(shí)光的兩個(gè)小村（他的父親是村里的牧師）最近的火車站。即便黎曼時(shí)代不通火車，這里也是他去往哥廷根求學(xué)的必經(jīng)之地?；疖囋谌章鋾r(shí)分抵達(dá)，靠站后我下車去拍攝了站牌，在那短促的幾分鐘里，我滿腦子都是黎曼。

然而，關(guān)于黎曼的生平，至今我們所知的仍然不多，他本人也沒有留下內(nèi)心活動(dòng)的記錄，只有部分往來的書信。黎曼的同代人里，只有他的師弟戴德金，在黎曼去世十年以后編撰他的文集時(shí)為他寫下一篇十七頁(yè)的小傳。戴德金是黎曼與他共同的導(dǎo)師高斯的同鄉(xiāng)，出生在不倫瑞克，他是高斯的關(guān)門弟子。

依照戴德金的描述，黎曼是個(gè)極為羞怯的人，每當(dāng)出現(xiàn)在人群中，他都會(huì)覺得不自在。這與他從小所處的宗教環(huán)境不無關(guān)系，他的家族成員都是虔誠(chéng)的路德教徒，他們 “每天在上帝面前自我反省 ”。家族成員之間的關(guān)系則非常親密，每次離開家，黎曼便會(huì)犯思鄉(xiāng)病，如同法國(guó)前輩數(shù)學(xué)家、思想家帕斯卡，或者后來客居英倫的印度數(shù)學(xué)天才拉馬努金。此外，他和拉馬努金還有一個(gè)共同的老朋友 —肺結(jié)核。

除了思鄉(xiāng)病和肺結(jié)核，黎曼還是一位疑病癥患者，這個(gè)詞是如今流行的抑郁癥的同義語(yǔ)。只不過由于黎曼遺孀的請(qǐng)求，戴德金才避免使用它。黎曼的妻子是其姐姐的朋友，他的姐姐是兄弟姐妹六人中唯一比黎曼活得長(zhǎng)久的人。在他們備受崇敬和愛戴的父親去世以后，黎曼經(jīng)常沉浸在痛苦的回憶之中，幸好他有一座安逸的避風(fēng)港，那就是他的數(shù)學(xué)世界。特別地，黎曼對(duì)素?cái)?shù)及其分布有著一種深深的、迷人的依戀。

那時(shí)候德意志已開始實(shí)行教育家馮 ·洪堡倡導(dǎo)的教育改革，大學(xué)的首要任務(wù)是教學(xué)，尤其是培養(yǎng)優(yōu)秀的中學(xué)教師，而把研究工作交給科學(xué)院。于是乎，偉大的數(shù)學(xué)家高斯也被要求講授 “線性代數(shù) ”，唯有馮 ·洪堡本人創(chuàng)辦的柏林大學(xué)例外，那里的數(shù)學(xué)研究處于領(lǐng)先地位，盡管沒有高斯那樣史詩(shī)般的英雄人物。幸好還有條規(guī)則，學(xué)生學(xué)習(xí)期間可以到其他學(xué)校修學(xué)。為了汲取更多的營(yíng)養(yǎng)，黎曼轉(zhuǎn)學(xué)到了柏林。

在柏林大學(xué)的兩年期間，黎曼如饑似渴地學(xué)習(xí)新的、充滿活力的數(shù)學(xué)，那會(huì)兒年富力強(qiáng)的數(shù)學(xué)家雅可比、狄里克萊、施坦納和艾森斯坦等人都在柏大。黎曼向他們學(xué)了很多東西 ——從雅可比那里學(xué)到高等代數(shù)和高等力學(xué)，從狄里克萊那里學(xué)到數(shù)論和分析，從施坦納那里學(xué)到了現(xiàn)代幾何，而從僅僅比他年長(zhǎng)三歲的艾森斯坦那里則學(xué)到了橢圓函數(shù)和自信。他有信心超越前輩同行。

二、一顆太陽(yáng)一樣輝耀的心

一八四九年，黎曼從柏林回到哥廷根。兩年以后，他以一篇題為《單復(fù)變函數(shù)一般理論的基礎(chǔ)》的論文獲得博士學(xué)位，那年他二十五歲。在哥廷根大學(xué)求學(xué)的最后一年半，他以極大的興趣去聽哲學(xué)講座和韋伯的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)課程，把他的純粹數(shù)學(xué)暫時(shí)放到一邊。這使得他后來的數(shù)學(xué)工作常常處于更深的哲學(xué)背景下，同時(shí)畢生保持了對(duì)物理學(xué)的濃厚興趣。雖說黎曼外表文弱、羞怯，內(nèi)心卻勇敢而強(qiáng)大，有一顆像太陽(yáng)那樣輝耀的心，加上卓越的才華，使他具備一種驚人的沖擊力和能量。

復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)的重要分支，黎曼與法國(guó)人柯西、德國(guó)同胞維爾斯特拉斯被公認(rèn)為這一分支的三大奠基人，他們的出發(fā)點(diǎn)有所不同，柯西是從分析出發(fā)，維爾斯特拉斯是從函數(shù)論出發(fā)，而黎曼則是從幾何出發(fā)。黎曼給單值解析函數(shù)下了嚴(yán)格的定義，還對(duì)多值函數(shù)定義了黎曼曲面。此外，他還率先研究了曲面拓?fù)?，并解決了曲面上函數(shù)存在性和唯一性的問題，這對(duì)后世有著重要影響。這篇論文是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)的經(jīng)典，但在當(dāng)時(shí)除了被高斯關(guān)注以外，并未引起太大反響。直到三年以后，黎曼才被哥廷根大學(xué)聘為無薪講師。

一八五四年，黎曼為無薪講師職位做了就職演講。黎曼向系教授會(huì)提交了三個(gè)題目，其中兩個(gè)是關(guān)于數(shù)學(xué)物理的，他原本希望能選中這兩個(gè)題目中的一個(gè)，因?yàn)樗呀?jīng)有所準(zhǔn)備。但是最后時(shí)刻他又說出了第三個(gè)題目，是關(guān)于幾何基礎(chǔ)的。沒想到高斯對(duì)這個(gè)問題更感興趣，他本人對(duì)此已考慮多年，并與俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基、匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶各自建立了一種非歐幾何學(xué)，即羅氏幾何。黎曼并未有完全的把握，也只好硬著頭皮上臺(tái)了。

黎曼演講的題目是《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》，從中他建立起黎曼幾何學(xué)的基礎(chǔ)，并給出了黎曼度量的定義。他把高斯的內(nèi)蘊(yùn)幾何從歐幾里得空間推廣到任意 n維空間，并稱其為流形，再把流形上的點(diǎn)用 n元有序數(shù)組表示。黎曼還引進(jìn)子流形和曲率的概念，讓他尤其關(guān)注的是所謂 “常曲率空間 ”，即每一點(diǎn)上曲率都相等的流形。這種常曲率有三種可能性：曲率為正常數(shù)，曲率為負(fù)常數(shù)，曲率為零。

黎曼指出，第二種和第三種分別對(duì)應(yīng)于羅氏幾何和歐氏幾何，而第一種情形對(duì)應(yīng)的則是他創(chuàng)造的黎曼幾何。在歐氏幾何里，過已知直線外一點(diǎn)恰好能做一條直線與該直線平行;在羅氏幾何里，過已知直線外一點(diǎn)可做不止一條直線與該直線平行;而在黎曼幾何里，過已知直線以外一點(diǎn)不能做任何直線與該直線平行。可以這么說，黎曼是第一個(gè)理解非歐幾何學(xué)全部意義的數(shù)學(xué)家。

黎曼畢生保持著對(duì)物理學(xué)的濃厚興趣，他熱衷于研究熱學(xué)、聲學(xué)、電學(xué)和光學(xué)。黎曼的論文《論有限振幅平面聲波的傳播》討論了壓縮波和膨脹波：壓縮波壓縮得越厲害，波速更快;膨脹波膨脹得越厲害，波速減緩。一八六○年，黎曼發(fā)表了《熱傳導(dǎo)的一個(gè)問題》，從中發(fā)展了二次微分形式，它也是相對(duì)論的基礎(chǔ)。同年，黎曼訪問了巴黎，受到法國(guó)數(shù)學(xué)同行的熱情接待，他們給予黎曼極大的贊賞。

一八六二年夏天，三十六歲的黎曼結(jié)婚了，夫人叫愛麗絲?；楹蟛坏揭粋€(gè)月，他患上了胸膜炎，繼而導(dǎo)致肺結(jié)核。從此黎曼與意大利結(jié)了緣，他生命最后的四年基本上是在亞平寧度過的，那里有著溫暖的氣候。黎曼很喜歡意大利的藝術(shù)，他的獨(dú)女伊達(dá)在比薩出生。有兩次黎曼以為自己康復(fù)了，但穿越阿爾卑斯山的旅途勞頓和嚴(yán)寒天氣又使得病情復(fù)發(fā)，幸好哥廷根大學(xué)方面慷慨地一再延長(zhǎng)他的休假期。

英裔美國(guó)作家德比希爾畢業(yè)于倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)系，他的《素?cái)?shù)之戀》曾獲首屆歐拉圖書獎(jiǎng)（二○○七年，本文從此書中文版選取了一些素材）。他把數(shù)學(xué)家分成兩類，即邏輯型的和直覺型的，并舉維爾斯特拉斯和黎曼為例。他認(rèn)為維爾斯特拉斯是攀巖者，每一步都建立在堅(jiān)實(shí)的論證基礎(chǔ)上，而黎曼則是空中飛人表演者，有很強(qiáng)的直觀想象力和跳躍性的思維。這讓我想起新近因?yàn)樾鹿诜尾∪ナ赖拿绹?guó)物理學(xué)家戴森，他寫的《飛鳥與青蛙》也把天才人物做了相似的分類。

在生命的最后一年，黎曼接連獲得榮譽(yù)。巴黎科學(xué)院選舉他為通訊院士，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)選舉他為外籍會(huì)員。與此同時(shí)，他的病由學(xué)之術(shù)有二，曰致知，曰履事，兼之者上也?！跬⑾嘤诮Y(jié)合了黃疸癥而變得越發(fā)嚴(yán)重。一八六六年七月二十日，黎曼在意大利北部的塞拉斯加與世長(zhǎng)辭。黎曼走時(shí)十分寧?kù)o，由他父親傳遞給他的那份虔誠(chéng)始終伴隨著他。而黎曼這個(gè)名字，無論過去、現(xiàn)在還是將來，都將永遠(yuǎn)伴隨著每一位數(shù)學(xué)工作者。黎曼安葬在阿爾卑斯山南麓的馬焦雷湖畔，墓碑上刻寫著圣徒保羅的一句話：

世間的萬物相互助力，

愛神的人必諸事順暢。

黎曼下葬后，愛麗絲帶著伊達(dá)（英國(guó)詩(shī)人拜倫的獨(dú)女也叫伊達(dá)，她是第一個(gè)計(jì)算機(jī)程序員）返回了哥廷根。伊達(dá)成年以后嫁給一位數(shù)學(xué)博士，黎曼的這位從未謀面的女婿后來出任不來梅一所航海學(xué)校的校長(zhǎng)，把岳母和岳父唯一在世的姐姐（也叫伊達(dá)）接了過去。他們組建了一個(gè)大家庭，兒孫的數(shù)目難以統(tǒng)計(jì)，黎曼的后裔如今已融入普通百姓之中。