林金山

[摘? 要] 初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是不斷運用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行觀察、分析、比較、判斷、概括和推理的過程. 分類討論思想作為數(shù)學(xué)思想中的一個分支，具有幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，樹立正向的數(shù)學(xué)觀的作用. 文章從圖形問題、方程問題和實際問題三個角度淺析分類討論思想在解題中的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 分類討論思想;方程;圖形;解題

所謂的分類討論思想是初中數(shù)學(xué)解題過程中常用的一種方法，主要考查學(xué)生在思考問題過程中的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性和全面性，一般需要運用這種方法的問題綜合性都比較強，有一定難度，在試卷中常作為壓軸題. 因此，運用此類解題思想的問題大多屬于區(qū)分學(xué)生層次的問題. 分類是指將數(shù)學(xué)現(xiàn)象的異同點，使用各種分類的辦法進(jìn)行區(qū)分，學(xué)生在分類過程中感知分類方法及分類思想，感悟分類的本質(zhì)，加深對知識的理解程度，從而提高解題能力. 其中特別要注意的是分類必須無重復(fù)、無遺漏，確?？紤]的周全.

分類涉及面及分類原則

想要學(xué)好數(shù)學(xué)，首先要有良好的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂. 其中分類討論思想是數(shù)學(xué)思想中的重要思想之一，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著舉足輕重的作用. 而初中階段涉及分類討論思想的知識點主要有以下三個類別：第一是代數(shù)類，其中的方程、絕對值和根的概念，函數(shù)部分的概念及坐標(biāo)所在象限等均有涉及;第二是幾何類中的圖形位置及對應(yīng)關(guān)系，相似或全等類情況;第三是代數(shù)與幾何的綜合運用類題型. 分類過程中要遵循以下原則：一是分類的各個部分互相獨立;二是統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn);三是分類需逐級有序地進(jìn)行;四是常以公式、性質(zhì)或定理等條件作為分類的標(biāo)準(zhǔn).

例析分類討論思想的運用

1. 應(yīng)用于幾何問題中

幾何圖形的學(xué)習(xí)中三角形作為基本圖形，是初中數(shù)學(xué)考核的重點之一. 尤其是相似、等腰三角形的問題常涉及分類討論思想的運用，以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯能力.？搖

案例1? 如圖1，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E，F(xiàn)兩點分別在AB，AC上，AD交EF于點H.

（1）求證： = ;

（2）設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？請求出其最大值.

（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度，沿射線QC做勻速運動（當(dāng)點Q與點C重合時就停止運動），假設(shè)運動的時間是t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

分析? 該題的第（1）問很簡單，只需證明△AEF∽△ABC即可.

至于第（2）問，可根據(jù)第（1）問的結(jié)論，求出AH的長度為 x，EQ=8- x，矩形EFPQ的面積就是S=x8- x，經(jīng)化簡整理，可得S=- （x-5）2+20，故當(dāng)x=5時，S最大，為20.

第（3）問的難度要更大些，可以先求出EF=5，EQ=4，證明△FPC是等腰直角三角形，得PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9. 根據(jù)實際，從以下三種情況：0≤t<4，4≤t<5，5≤t≤9進(jìn)行分類討論. 經(jīng)討論可得以下幾種函數(shù)關(guān)系式：

當(dāng)0≤t<4時，S=- t2+20;

當(dāng)4≤t<5時，S=-4t+28;

當(dāng)5≤t≤9時，S= （t-9）2.

此類題型都比較靈活，學(xué)生只有掌握分類討論的思想，將三角形的各個知識點結(jié)合在一起進(jìn)行思考才能獲取解題的思路.

2. 應(yīng)用于方程問題中

方程問題也是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，分類討論思想一般運用在帶參數(shù)的方程問題中.

案例2? 關(guān)于x的方程（m-4）x2-（2m-1）x+m=0，m為何值時，方程有實數(shù)根？

分析? 本題沒有具體闡述實數(shù)根的情況，實數(shù)根可能有一個或兩個. 因此，判斷此方程是一元一次方程還是一元二次方程是重要的一步，而判斷標(biāo)準(zhǔn)又由方程的系數(shù)來決定. 鑒于此，本題首先要分類討論的是未知數(shù)最高項系數(shù)m-4：

當(dāng)m-4=0即m=4時，方程為一元一次方程-7x+4=0，求解，得一個實數(shù)根x= ;

當(dāng)m-4≠0即m≠4時，方程是含有參數(shù)m的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根，可得Δ≥0，即（2m-1）2-4（m-4）m≥0，解得m≥- .

因此，當(dāng)m≥- 時，方程有實數(shù)根.

由本題可見，含有參數(shù)的方程用分類討論思想解題是最佳的途徑，可避免解題過程中因考慮不周全而出現(xiàn)失誤.

應(yīng)用于實際問題中

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的在于為生活實際服務(wù). 怎樣利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決生活實際問題對于初中階段的學(xué)生來說有一定難度，將抽象的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為實際問題需要從多角度全面地思考問題. 學(xué)生的障礙主要表現(xiàn)在方案的選擇上，而分類討論思想對解決此類問題有很大的幫助.

案例3? 電吹風(fēng)生產(chǎn)廠家有兩種型號的電吹風(fēng)，A種定價為200元，B種定價為40元，受疫情影響，廠家決定開展一次促銷活動來促進(jìn)消費，經(jīng)討論后形成兩套促銷方案：第一種，買A送B;第二種，A，B兩種電吹風(fēng)都打9折，但兩種促銷方案只能選擇一種. 一位經(jīng)銷商計劃購買20個A種電吹風(fēng)和若干個B種電吹風(fēng)（超過20個），請問他應(yīng)該選擇哪種促銷方案更劃算？

分析? 哪種方案更省錢跟購買電吹風(fēng)的數(shù)量有關(guān)系，因為B種電吹風(fēng)的數(shù)量是未知的，可將B種電吹風(fēng)的數(shù)量假設(shè)為x個.

采用方案一所需的費用為：200×20+（x-20）×40=40x+3200（元）;

采用方案二所需的費用為：（200×20+40x）×0.9=36x+3600（元）.

哪種方案更劃算一些，可進(jìn)行分類討論：

若方案一劃算，40x+3200<36x+3600，解得20

若方案二劃算，40x+3200>36x+3600，解得x>100.

問題在分類討論中迎刃而解.

總之，分類討論思想在數(shù)學(xué)中運用較多，師生只有從思想上和行動上都高度重視這種解題思想，將它貫徹落實到各類解題中，通過反復(fù)訓(xùn)練，才能運用自如. 用分類討論思想驅(qū)動數(shù)學(xué)解題，不僅表現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維能力的提升，更表現(xiàn)在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高.