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        淺析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類討論思想

        2020-09-12 14:15:30林金山
        關(guān)鍵詞:分類討論思想方程圖形

        林金山

        [摘? 要] 初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是不斷運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行觀察、分析、比較、判斷、概括和推理的過程. 分類討論思想作為數(shù)學(xué)思想中的一個(gè)分支,具有幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念,積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),樹立正向的數(shù)學(xué)觀的作用. 文章從圖形問題、方程問題和實(shí)際問題三個(gè)角度淺析分類討論思想在解題中的應(yīng)用.

        [關(guān)鍵詞] 分類討論思想;方程;圖形;解題

        所謂的分類討論思想是初中數(shù)學(xué)解題過程中常用的一種方法,主要考查學(xué)生在思考問題過程中的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性和全面性,一般需要運(yùn)用這種方法的問題綜合性都比較強(qiáng),有一定難度,在試卷中常作為壓軸題. 因此,運(yùn)用此類解題思想的問題大多屬于區(qū)分學(xué)生層次的問題. 分類是指將數(shù)學(xué)現(xiàn)象的異同點(diǎn),使用各種分類的辦法進(jìn)行區(qū)分,學(xué)生在分類過程中感知分類方法及分類思想,感悟分類的本質(zhì),加深對(duì)知識(shí)的理解程度,從而提高解題能力. 其中特別要注意的是分類必須無重復(fù)、無遺漏,確??紤]的周全.

        分類涉及面及分類原則

        想要學(xué)好數(shù)學(xué),首先要有良好的數(shù)學(xué)思想,數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂. 其中分類討論思想是數(shù)學(xué)思想中的重要思想之一,在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著舉足輕重的作用. 而初中階段涉及分類討論思想的知識(shí)點(diǎn)主要有以下三個(gè)類別:第一是代數(shù)類,其中的方程、絕對(duì)值和根的概念,函數(shù)部分的概念及坐標(biāo)所在象限等均有涉及;第二是幾何類中的圖形位置及對(duì)應(yīng)關(guān)系,相似或全等類情況;第三是代數(shù)與幾何的綜合運(yùn)用類題型. 分類過程中要遵循以下原則:一是分類的各個(gè)部分互相獨(dú)立;二是統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn);三是分類需逐級(jí)有序地進(jìn)行;四是常以公式、性質(zhì)或定理等條件作為分類的標(biāo)準(zhǔn).

        例析分類討論思想的運(yùn)用

        1. 應(yīng)用于幾何問題中

        幾何圖形的學(xué)習(xí)中三角形作為基本圖形,是初中數(shù)學(xué)考核的重點(diǎn)之一. 尤其是相似、等腰三角形的問題常涉及分類討論思想的運(yùn)用,以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯能力.?搖

        案例1? 如圖1,在△ABC中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上,E,F(xiàn)兩點(diǎn)分別在AB,AC上,AD交EF于點(diǎn)H.

        (1)求證: = ;

        (2)設(shè)EF=x,當(dāng)x為何值時(shí),矩形EFPQ的面積最大?請(qǐng)求出其最大值.

        (3)當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí),該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度,沿射線QC做勻速運(yùn)動(dòng)(當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)就停止運(yùn)動(dòng)),假設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒,矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

        分析? 該題的第(1)問很簡(jiǎn)單,只需證明△AEF∽△ABC即可.

        至于第(2)問,可根據(jù)第(1)問的結(jié)論,求出AH的長度為 x,EQ=8- x,矩形EFPQ的面積就是S=x8- x,經(jīng)化簡(jiǎn)整理,可得S=- (x-5)2+20,故當(dāng)x=5時(shí),S最大,為20.

        第(3)問的難度要更大些,可以先求出EF=5,EQ=4,證明△FPC是等腰直角三角形,得PC=FP=EQ=4,QC=QP+PC=9. 根據(jù)實(shí)際,從以下三種情況:0≤t<4,4≤t<5,5≤t≤9進(jìn)行分類討論. 經(jīng)討論可得以下幾種函數(shù)關(guān)系式:

        當(dāng)0≤t<4時(shí),S=- t2+20;

        當(dāng)4≤t<5時(shí),S=-4t+28;

        當(dāng)5≤t≤9時(shí),S= (t-9)2.

        此類題型都比較靈活,學(xué)生只有掌握分類討論的思想,將三角形的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起進(jìn)行思考才能獲取解題的思路.

        2. 應(yīng)用于方程問題中

        方程問題也是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,分類討論思想一般運(yùn)用在帶參數(shù)的方程問題中.

        案例2? 關(guān)于x的方程(m-4)x2-(2m-1)x+m=0,m為何值時(shí),方程有實(shí)數(shù)根?

        分析? 本題沒有具體闡述實(shí)數(shù)根的情況,實(shí)數(shù)根可能有一個(gè)或兩個(gè). 因此,判斷此方程是一元一次方程還是一元二次方程是重要的一步,而判斷標(biāo)準(zhǔn)又由方程的系數(shù)來決定. 鑒于此,本題首先要分類討論的是未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)m-4:

        當(dāng)m-4=0即m=4時(shí),方程為一元一次方程-7x+4=0,求解,得一個(gè)實(shí)數(shù)根x= ;

        當(dāng)m-4≠0即m≠4時(shí),方程是含有參數(shù)m的一元二次方程,根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根,可得Δ≥0,即(2m-1)2-4(m-4)m≥0,解得m≥- .

        因此,當(dāng)m≥- 時(shí),方程有實(shí)數(shù)根.

        由本題可見,含有參數(shù)的方程用分類討論思想解題是最佳的途徑,可避免解題過程中因考慮不周全而出現(xiàn)失誤.

        應(yīng)用于實(shí)際問題中

        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的在于為生活實(shí)際服務(wù). 怎樣利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問題對(duì)于初中階段的學(xué)生來說有一定難度,將抽象的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題需要從多角度全面地思考問題. 學(xué)生的障礙主要表現(xiàn)在方案的選擇上,而分類討論思想對(duì)解決此類問題有很大的幫助.

        案例3? 電吹風(fēng)生產(chǎn)廠家有兩種型號(hào)的電吹風(fēng),A種定價(jià)為200元,B種定價(jià)為40元,受疫情影響,廠家決定開展一次促銷活動(dòng)來促進(jìn)消費(fèi),經(jīng)討論后形成兩套促銷方案:第一種,買A送B;第二種,A,B兩種電吹風(fēng)都打9折,但兩種促銷方案只能選擇一種. 一位經(jīng)銷商計(jì)劃購買20個(gè)A種電吹風(fēng)和若干個(gè)B種電吹風(fēng)(超過20個(gè)),請(qǐng)問他應(yīng)該選擇哪種促銷方案更劃算?

        分析? 哪種方案更省錢跟購買電吹風(fēng)的數(shù)量有關(guān)系,因?yàn)锽種電吹風(fēng)的數(shù)量是未知的,可將B種電吹風(fēng)的數(shù)量假設(shè)為x個(gè).

        采用方案一所需的費(fèi)用為:200×20+(x-20)×40=40x+3200(元);

        采用方案二所需的費(fèi)用為:(200×20+40x)×0.9=36x+3600(元).

        哪種方案更劃算一些,可進(jìn)行分類討論:

        若方案一劃算,40x+3200<36x+3600,解得20

        若方案二劃算,40x+3200>36x+3600,解得x>100.

        問題在分類討論中迎刃而解.

        總之,分類討論思想在數(shù)學(xué)中運(yùn)用較多,師生只有從思想上和行動(dòng)上都高度重視這種解題思想,將它貫徹落實(shí)到各類解題中,通過反復(fù)訓(xùn)練,才能運(yùn)用自如. 用分類討論思想驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)解題,不僅表現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維能力的提升,更表現(xiàn)在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高.

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